2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题36 规律探索(含解析) 10页

规律探索 ‎ 一.选择题 ‎1.（2020•湖北武汉•3分）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．‎ 把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　）‎ A．160 B．128 C．80 D．48‎ ‎【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．‎ ‎【解答】解：观察图象可知（4）中共有4×5×2＝40个3×2的长方形，‎ 由（3）可知，每个3×2的长方形有4种不同放置方法，‎ 则n的值是40×4＝160．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．‎ ‎2.（2020•黑龙江省牡丹江市•3分）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（　　）‎ A．37 B．41 C．55 D．71‎ ‎【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果．‎ ‎【解答】解：1＝1×2﹣1，‎ ‎5＝2×3﹣1，‎ ‎11＝3×4﹣1，‎ ‎19＝4×5﹣1，‎ ‎…‎ 第n个数为n（n+1）﹣1，‎ 则第7个数是：55．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n个数为n（n+1）﹣1．‎ ‎3.（2020•湖南省常德•3分）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）‎ A．C.E B．E.F C．G、C.E D．E.C.F ‎【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．‎ ‎【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．‎ 设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，‎ 因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，‎ 这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，‎ k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，‎ 若7＜k≤2020，‎ 设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），‎ 由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，‎ 故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎1.（2020•贵州省铜仁市•4分）观察下列等式：‎ ‎2+22＝23﹣2；‎ ‎2+22+23＝24﹣2；‎ ‎2+22+23+24＝25﹣2；‎ ‎2+22+23+24+25＝26﹣2；‎ ‎…‎ 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　m（2m﹣1）　（结果用含m的代数式表示）．‎ ‎【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．‎ ‎【解答】解：∵220＝m，‎ ‎∴220+221+222+223+224+…+238+239+240‎ ‎＝220（1+2+22+…+219+220）‎ ‎＝220（1+221﹣2）‎ ‎＝m（2m﹣1）．‎ 故答案为：m（2m﹣1）．‎ ‎2. .（2020•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　22020　．‎ ‎【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．‎ ‎【解答】解：∵点A1（0，2），‎ ‎∴第1个等腰直角三角形的面积＝＝2，‎ ‎∵A2（6，0），‎ ‎∴第2个等腰直角三角形的边长为＝2，‎ ‎∴第2个等腰直角三角形的面积＝＝4＝22，‎ ‎∵A4（10，4），‎ ‎∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，‎ ‎∴第3个等腰直角三角形的面积＝＝8＝23，‎ ‎…‎ 则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；‎ 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，确定各个等腰直角三角形的边长是本题的关键．‎ ‎3. （2020•湖南省怀化市•3分）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　（2，0）　．‎ ‎【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2.A3的坐标，即可发现一般规律．‎ ‎【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，‎ ‎∵△OA1B1为等边三角形，‎ ‎∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，‎ ‎∴B1C＝OC，‎ 设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），‎ 把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），‎ ‎∴OA1＝2OC＝2，‎ ‎∴A1（2，0），‎ 设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），‎ 把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），‎ ‎∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，‎ ‎∴A2（，0）‎ 设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），‎ 把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，‎ ‎∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，‎ ‎∴A3（，0），‎ 综上可得：An（，0），‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出A1.A2.A3的坐标是解题的关键．‎ ‎4.（2020•湖北孝感•3分）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是　﹣81　．‎ ‎【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，‎ 依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，‎ 解得：x＝﹣81．‎ 故答案为：﹣81．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ ‎5. （2020年辽宁省辽阳市）18．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　　．（用含正整数n的式子表示）‎ ‎【分析】先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2‎ 的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积，以及△BCFn的面积，再根据面积的和差关系即可求解．‎ ‎【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，‎ ‎∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，‎ ‎∵点F2是CF1的中点，‎ ‎∴△EF1F2的面积等于，‎ 同理可得△EFn﹣1Fn的面积为，‎ ‎∵△BCFn的面积为2×÷2＝，‎ ‎∴△EFnB的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查了矩形的性质，规律型：图形的变化类，三角形的面积，本题难点是得到EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积．‎ ‎6. (2020•江苏省徐州市•3分)如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1＝．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于　219　．‎ ‎【分析】利用三角形中位线定理证明A2B2＝2A1B1，A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，寻找规律解决问题即可．‎ ‎【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，‎ ‎∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1＝A2B2，∴A2B2＝2A1B1，‎ 同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，由此规律可得A20B20＝219•A1B1，‎ ‎∵A1B1＝OA1•tan30°＝×＝1，∴A20B20＝219，故答案为219．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．‎ ‎7. （2020年滨州市）19．（5分）观察下列各式：a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，根据其中的规律可得an＝　　（用含n的式子表示）．‎ ‎【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为‎3.5.7‎，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．‎ ‎【解答】解：由分析可得an＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．‎ ‎8. （2020年内蒙古通辽市）14.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第n个正方形多_____个小正方形．‎ ‎【答案】2n+3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案．‎ ‎【详解】解：∵第一个图形有22=4个正方形组成，‎ 第二个图形有32=9个正方形组成，‎ 第三个图形有42=16个正方形组成，‎ ‎∴第n个图形有（n+1）2个正方形组成，第n+1个图形有（n+2）2个正方形组成 ‎∴（n+2）2-（n+1）2‎ ‎=2n+3‎ 故答案为：2n+3．‎ ‎【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据图形得出小正方形的变化规律是解题关键．‎ http://www.czsx.com.cn ‎9. （2020年德州市）12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（　　）‎ A．148 B．152 C．174 D．202‎ ‎【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．‎ ‎【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，‎ 第2个图案有22枚棋子，‎ 第3个图案有34枚棋子，‎ ‎…‎ 第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，‎ 故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎10.‎ 三.解答题 ‎1.‎ ‎2.‎ ‎3.‎ ‎4.‎ ‎5.‎ ‎6.‎ ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎