2020年秋九年级数学上册 第3章图形的相似 7页

第3章 　图形的相似 ‎3.4.2　‎相似三角形的性质 第2课时 与相似三角形的周长、面积有关的性质 知识点 1　相似三角形的周长比等于相似比 ‎1．如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么这两个相似三角形的周长比是(　　)‎ A．3∶5 B.∶ C．9∶25 D．6∶10‎ ‎2．如图3－4－66，在▱ABCD中，AE ∶ EC＝1 ∶ 2，△AEF的周长为‎6 cm，那么△CDE的周长为(　　)‎ A．‎6 cm B．‎12 cm C．‎18 cm D．‎‎24 cm 图3－4－66‎ ‎　　‎ 图3－4－67‎ ‎3．2017·云南如图3－4－67，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝________．‎ 图3－4－68‎ ‎4．2016·郴州期中如图3－4－68，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________．‎ ‎5．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为‎20 cm和‎25 cm，且BC＝‎5 cm，DF＝‎4 cm，求EF和AC的长．‎ 7‎ 知识点 2　相似三角形的面积比等于相似比的平方 ‎6．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形的面积比是(　　)‎ ‎ A．2∶3 B.∶ C．4∶9 D．8∶27‎ 图3－4－69‎ ‎7．如图3－4－69，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是(　　)‎ A．8 B．12‎ C．16 D．20‎ ‎8．2016·常德模拟若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，△ABC的面积为24，则△A′B′C′的面积为________．‎ 图3－4－70‎ ‎9．如图3－4－70，△AED∽△ACB，△AED的面积为△ACB面积的，则AD∶AB＝________．‎ ‎10．已知△ABC∽△DEF，BC＝‎24 cm，EF＝‎16 cm.若它们的面积之差是‎420 cm2，则这两个三角形的面积分别为多少？‎ ‎11．两个相似三角形的最短边的长分别是‎5 cm和‎3 cm，它们的周长之差为‎12 cm，那么小三角形的周长为(　　)‎ A．‎14 cm B．‎‎16 cm C．‎18 cm D．‎‎30 cm ‎12．已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长分别为3，4，5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是(　　)‎ A．1.5 　B．‎2 C．2.5 D．3‎ ‎13．2017·永州如图3－4－71，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(　　)‎ 7‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 图3－4－71‎ ‎　　　‎ 图3－4－72‎ ‎14．如图3－4－72，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(　　)‎ A．2∶3 B．2∶5‎ C．3∶5 D．3∶2‎ 图3－4－73‎ ‎15．如图3－4－73，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，设AD＝a，BC＝b，△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列各式中错误的是(　　)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D．S1＋S3＝S2＋S4‎ ‎16．在△ABC中，AB＝‎6 cm，AC＝‎5 cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝________ cm.‎ ‎17．教材练习第3题变式已知一个三角形的三边长分别是1，2 ，3，另一个与它相似的三角形的最大边长为3 ，求另一个三角形的周长和面积．‎ ‎18．如图3－4－74，四边形ABCD是平行四边形，已知AE∶EB＝1∶2.‎ ‎(1)求△AEF与△CDF的周长之比；‎ ‎(2)如果S△AEF＝‎6 cm2，求S△CDF.‎ 7‎ 图3－4－74‎ ‎19．如图3－4－75，在等边三角形ABC中，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB交BC于点F，求△EFC与△ABC的面积之比．‎ 图3－4－75‎ ‎　　　　‎ ‎ ‎ 7‎ ‎1．A　[解析] 根据相似三角形的周长比等于相似比求解．‎ ‎2．B　[解析] ∵CD∥AB，∴△AEF∽△CED，∴△AEF与△CED的周长比等于相似比1∶2，∴△CDE的周长为‎12 cm.故选B.‎ ‎3.　[解析] 直接利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的周长比等于相似比得出答案．‎ ‎4．2　[解析] ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD∶AB＝2∶3.∵AD＝4，∴AB＝6，∴DB＝AB－AD＝6－4＝2.‎ ‎5．解：∵相似三角形的周长比等于相似比，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴EF＝BC＝×5＝(cm)．‎ 同理＝＝，‎ ‎∴AC＝DF＝×4＝(cm)．‎ ‎∴EF的长是 cm，AC的长是 cm.‎ ‎6．C　[解析] 相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ ‎7．C　[解析] ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，＝，∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝()2＝.‎ ‎∵△ADE的面积为4，∴＝，∴S△ABC＝16.‎ ‎8．96　[解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，‎ ‎∴△A′B′C′的面积＝96.‎ ‎9.∶3　[解析] ∵△AED∽△ACB，△AED的面积为△ACB面积的，‎ ‎∴＝＝.‎ 故答案为∶3.‎ ‎10．∵△ABC和△DEF的相似比为BC∶EF＝24∶16＝3∶2，‎ ‎∴这两个三角形的面积比为9∶4.‎ 设△ABC的面积为9x cm2，则△DEF的面积为4x cm2.‎ ‎∵它们的面积差是‎420 cm2，‎ ‎∴(9－4)x＝420，∴x＝84，‎ 7‎ ‎∴9x＝9×84＝756，4x＝4×84＝336.‎ ‎∴△ABC的面积为‎756 cm2，△DEF的面积为‎336 cm2.‎ ‎11．C　[解析] 根据题意得两个三角形的周长比为5∶3，设这两个三角形的周长分别为5x cm，3x cm，则5x－3x＝12，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为‎18 cm.故选C.‎ ‎12．D　[解析] ∵△ABC的三边长分别为3，4，5，∴△ABC的周长为12，∴＝＝2.‎ A项，1.5×2＝3，与△ABC一边长相符，故本选项不符合题意；‎ B项，2×2＝4，与△ABC一边长相符，故本选项不符合题意；‎ C项，2.5×2＝5，与△ABC一边长相符，故本选项不符合题意；‎ D项，3×2＝6，故本选项符合题意．‎ ‎13．C　[解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝()2＝.∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，‎ ‎∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.故选C.‎ ‎14．A　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEF.‎ 又∵∠AFB＝∠DFE，∴△DEF∽△BAF.‎ ‎∵S△DEF∶S△ABF＝4∶25，∴＝.‎ ‎∵AB＝CD，∴DE∶EC＝2∶3.故选A.‎ ‎15． D ‎16．2或　[解析] 由于△ADE与△ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．‎ ‎∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∴△ADE与△ABC的相似比为1∶3.‎ ‎①若∠AED与∠B对应，则＝，‎ ‎∵AC＝‎5 cm，∴AD＝ cm；‎ ‎②若∠ADE与∠B对应，则＝，‎ ‎∵AB＝‎6 cm，∴AD＝‎2 cm.‎ ‎17．解：∵边长分别是1，2 ，3的三角形的最大边长为3，与其相似的三角形的最大边长为3 ，‎ ‎∴两个三角形的相似比为3∶3 ＝1∶.‎ ‎∵已知三角形的周长＝1＋2 ＋3＝4＋2 ，‎ ‎∴另一个三角形的周长＝(4＋2 )×＝4 ＋4.‎ ‎∵12＋(2 )2＝32，‎ ‎∴已知三角形是直角三角形，直角边长分别为1，2 ，‎ ‎∴它的面积＝×1×2 ＝，‎ ‎∴另一个三角形的面积＝×()2＝2 .‎ ‎18．解： (1)∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝1∶3.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝‎ 7‎ CD，∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.‎ 又∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴△AEF∽△CDF，‎ ‎∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝1∶3.‎ ‎(2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9.∵S△AEF＝‎6 cm2，∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)．‎ ‎19．：过点B作AC边上的高BG，‎ ‎∵DE⊥AC于点E，∴DE∥BG.‎ 又∵D为AB边的中点，‎ ‎∴AE＝GE.‎ ‎∵△ABC为等边三角形，且BG为高，‎ ‎∴AG＝GC，‎ ‎∴4AE＝AC，即CE＝AC.‎ ‎∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC.‎ 又∵CE＝AC，‎ ‎∴△EFC与△ABC的面积之比＝(AC)2∶AC2＝9∶16.‎ 7‎