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- 2021-11-12 发布
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角平分线
角平分线的定义:一条射线,把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.
角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上.
三角形角平分线性质:三角形三条角平分线交于三角形内部一点,并且交点到三边距离相等.
方法总结:
M
N
P
Q
T
(1)有角平分线时,常国角平分线上的点向角两边作垂线段,利用角平分线上的点到角两边距离相等.
(2)有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形.
例1. 如图,MP⊥NP,MQ为ΔNMP的角平分线,MT=MP,连接TQ,
则下列结论中,不正确的是( )
A. TQ=PQ B. ∠MQT=∠MQP
C.∠QTN=900 D. ∠NQT=∠MQT
例2. 如图,OD平分∠AOB,在OA,OB边上取OA=OB,点P在OD上,PM⊥BD,PN⊥AD.
求证:PM=PN.
B
O
A
D
M
P
N
D
C
A
B
M
例3. 如图,∠B=∠C=900,M点是BC中点,DM平分∠ADC.求证:AM平分∠DAB.
B
A
C
D
E
变式题. 如图,AB∥CD, ∠ABC、∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E,试说明BC=AB+CD.
例4.如图,CE⊥AB于E,BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O,且AO平分∠BAC.
(1)求证:OB=OC;
(2 )若将条件“AO平分∠BAC”和结论“OB=OC”互换,命题还能成立吗?请说明理由.
A
B
CC
E
D
O
例5. 如图,BD平分∠ABC,AD=DC,BC>AB,问∠A与∠C有怎样的关系?
D
C
A
B
变式题:若上题中条件该为“BD平分∠ABC,BC>AB, ∠A+∠C=1800.”求证:AD=DC.
O
D
B
P
C
A
例6. 如图,BD平分∠ABC,ΔPAC的面积与ΔPBD面积相等.求证:OP平分∠AOB.
例7. EG,FG分别是∠MEF和∠NFE的平分线,交点是G点,BP,CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线,交点是P点,点F,C在AN上,点B,E在AM上.如果∠G=470,那么∠P的度数大小你能知道吗?试求出来.点A,P,G的位置关系如何?证明你的结论.
A
B
E
F
C
P
G
B
E
A
D
C
F
例8. 如图,CE⊥AB,BF⊥AC,BF交CE于D,且BD=CD,求证:点D在∠BAC的平分线上.
B
M
E
P
N
C
A
例9.如图,BD=DC,ED⊥BC交∠BAC的平分线于E,作EM⊥AB,EN⊥AC,求证:BM=CN.
A
B
D
C
例10.如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,AC=AB+AD.求证:∠B=2∠C
变式题: 如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,∠B=2∠C.
求证: AC=AB+AD
A
B
D
C
例11.如图,D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,DBP=DBC.求证:P=
A
B
D
P
C
例12.如图,在△ABC中,∠A=90°,且AB=AC,BE平分∠ABC交AC于F,过C作BE的垂线交BE于E.求证:BF=2CE
A
B
C
E
F
A
E
FA
D
B
C
例13. D是的平分线与的外角平分线的交点,DE∥BC,交AB于E,交AC于F.求证:
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