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  • 2021-11-12 发布

中考数学专题复习练习:中心对称和中心对称图形

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典型例题一 例01. 下列几组几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形,完全正确的一组是( ).‎ ‎ A.正方形、菱形、矩形、平行四边形 B.正三角形、正方形、菱形、矩形 ‎ C.正方形、矩形、菱形 D.平行四边形、正方形、等腰三角形 ‎ 分析 A中平行四边形不是轴对称图形,B中正三角形不是中心对称图形,D中平行四 边形不是轴对称图形.正选C.‎ ‎ 解答 本题主要考查轴对称和中心对称图形的判定,易错点是弄错图形的对称性,解题关键是要熟悉所学过的图形的对称性.‎ 典型例题二 例02.如图,已知:四边形ABCD关于O点成中心对称图形. ‎ 求证:四边形ABCD是平行四边形. ‎ 分析:因为四边形ABCD是中心对称图形,所以A点与C点,B点与D点是对称点. 所以线段AC过O点,线段BD也过O点,且两条线段都被O点平分,故四边形ABCD是平行四边形. ‎ 证明:连结AC、BD. ‎ ‎∵ 四边形ABCD关于O点成中心对称图形,‎ ‎∴ O点在AC上,也在BD上,并且 ‎∴ 四边形ABCD是平行四边形. ‎ 说明:要应用轴对称或中心对称解决问题,应该判断清楚图形的对称的特点,找到对称点. ‎ 典型例题三 例03.如图,已知:矩形ABCD和关于点A对称. ‎ 求证:四边形是菱形. ‎ 分析:根据题意知点B与关于点A对称,点D和点关于点A对称,又四边形ABCD和是矩形,由中心对称的性质及矩形的性质即可证明. ‎ 证明:∵矩形ABCD和关于点A成中心对称图形. ‎ ‎∴ ,(关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分). ‎ ‎∴ 四边形是平行四边形. ‎ 又∵四边形ABCD是矩形,∴‎ ‎∴四边形是菱形. ‎ 典型例题四 例04.(西安市,2000)已知:如图,AD是中的平分线,交AB于E,交AC于F. ‎ 求证:点E,F关于直线AD对称. ‎ 证明:∵,‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形. ‎ ‎∵,,‎ ‎∴. ∴‎ ‎∴AEDF是菱形. ‎ ‎∴点E,F关于直线AD对称. ‎ 说明 证明菱形是关键 典型例题五 例05.(南昌市,1999)按要求画一个图形:所画图形中同时要有正方形和圆,并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形. ‎ 分析 这是一道具有开放特色的考题,题中给定的两个图形都既是轴对称图形,也是中心对称图形,故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可.这样的图形观出很多.‎ 解答 具体作法是:先作出正方形,连结对角线找出对角线交点,再以对角线交点为圆心,以任意长为半径画图,所得图形都满足题设要求.举例如下:‎ 说明 本题考查轴对称图形和中心对称图形的应用,解题关键是要探索出两个图形的对称中心重合.‎ 选择题 ‎1.(四川省,2000)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ A.角 B.等边三角形 C.线段 D.平行四边形 ‎2.下列多边形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )‎ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ‎3.已知下列命题:(1)关于中心对称的两个图形一个不全等;(2)关于中心对称的两个图形是全等的图形;(3)两个全等的图形一定关于中心对称,其中真命题的个数是( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎4.在平面上一个菱形绕它的中心旋转,使它与原来的菱形重合,那么旋转角度至少是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列命题:(1)如果与关于中心对称,则;(2)如果,则与关于中心对称;(3)相交的两条直线是中心对称图形;(4)等边三角形是中心对称图形;(5)菱形是中心对称图形. 其中正确的命题的个数是()‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6.(威海市,2001;北京市东城区,2002)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()‎ A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.③‎ ‎7.下列图形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是().‎ ‎ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ‎8.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是().‎ ‎ A.等腰三角形 B.等边三角形 C.平行四边形 D.矩形 ‎9.下列说法中正确的是().‎ ‎ A.矩形的每一条对角线都是矩形的对称轴 ‎ B.平行四边形对角线的交点是平行四边形的对称中心 ‎ C.菱形是轴对称图形,但不是中心对称图形 ‎ D.中心对称图形就是中心对称 参考答案:‎ ‎1.C 2.A 3.B 4. A 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 填空题 ‎1.在平行四边形,菱形,等边三角形中,轴对称图形有_____种,中心对称图形有______种. ‎ ‎2.既是中心对称图形,又是轴对称图形,且只有两条对称轴的四边形是_______. ‎ ‎3.关于中心对称的两个图形,对应线段_______. ‎ ‎4.(徐州市,2000)在下面四个图形中,图形①与图形_______成轴对称;图形①与图形________成中心对称(填写符合要求的图形所对应的序号)‎ 参考答案:‎ ‎1.3,3 ‎ ‎2.矩形或菱形 ‎ ‎3.平行且相等 ‎4.④,③‎ 解答题 ‎1.如图,已知线段AB及AB外一点P,求作线段,使与AB关于点P对称. ‎ ‎2.如图,已知及点P,求作,使与关于点P对称. ‎ ‎3.如图,已知及其内部一点O,求作,使与关于点O对称. ‎ ‎4.如图,已知:矩形ABCD和矩形关于A点对称. ‎ 求证:四边形是菱形. ‎ ‎5.已知ABCD,作四边形,使它与已知平行四边形关于顶点A对称,并证明四边形是平行四边形. ‎ ‎6.如图,四边形ABCD关于O点成中心对称图形,‎ 求证:四边形ABCD是平行四边形. ‎ ‎7.(山西省,2000)如图,矩形ABCD是篮球场地简图,请你画图找出它们的对称中心O. ‎ ‎8.(南昌市,2001)如图,将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形. 试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系,填空:‎ A与______对应;B与______对应;C与______对应;D与______对应. ‎ ‎9.(遵义市,2000)如图,请画出把下列矩形的面积两等分的直线,并填空. (一个矩形只画一条直线,不写画法)‎ 在一个矩形中,把此矩形面积两等分的直线最多有______条,这些直线都必须经过该矩形______点. ‎ ‎10.(聊城市,2000)如图,已知矩形ABCD中,,,将矩形折叠使C点与A点重合. ‎ ‎(1)作出折痕EF,并写出作法(E点在BC边上,F点在AD边上);‎ ‎(2)翻折后点D落在上,求此时B、之间的距离. ‎ ‎11.(济南市,2001)如图是未完成的上海大众汽车的标志图案. 该图案应该是以直线为对称轴的轴对称图形,现已完成对称轴左边的部分,请你补全标志图案,画出对称轴右边的部分(要求用尺规作图,保留痕迹,不写作法). ‎ ‎12.(荆州市,2002)有一块方角形钢板如图所示,请你用一条直线将其分为面积相等的两部分(不写作法,保留作图痕迹,在图中直接画出). ‎ ‎13.(盐城市,2002)已知:如图,矩形ABCD. ‎ ‎(1)作出点C关于BD所在直线的对称点(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)‎ ‎(2)连结,,若与重叠部分的面积等于面积的,求的度数. ‎ ‎14.(福州市,2002)已知:图(1),图(2)分别是正方形网格上的两个轴对称图形(阴影部分),其面积分别为,(网格中最小的正方形面积为一个平方单位),请观察图形并解答下列问题. ‎ ‎(1)填空:的值是_______;‎ ‎(2)请在图(3)的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形. ‎ 参考答案:‎ ‎1.略 2.略 3.略 ‎4.因矩形ABCD和矩形关于A点对称,∴ , ∴ 四边形是平行四边形. ∵ ,∴是菱形 ‎ ‎5. 图略,证法同第4题. ‎ ‎6.证明:连结AC,BD. ‎ ‎∵ 四边形ABCD关于O点成中心对称图形,‎ ‎∴ O点在AC和BD上,且. ‎ ‎∴ 四边形ABCD是平行四边形. ‎ ‎7.连结AC,BD交于O ‎ ‎8.M,P,Q,N ‎ ‎9.略 10.略 11.图略 12.略 ‎13.(1)略;(2)连结,,设与AD相交于E. 证,求得,∴ ‎ ‎14.(1);(2)略