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- 2021-11-12 发布
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2019 年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)
1.(3 分)如图,数轴上表示﹣2 的相反数的点是( )
A.M B.N C.P D.Q
2.(3 分)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.(3 分)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工
业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至 2017 年止,我国已探明稀土储量约 4400
万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000 为( )
A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109
4.(3 分)下列运算正确的是( )
A.( x2)3=x5 B. + = C.x•x2•x4=x6 D. =
5.(3 分)一元二次方程 2x2+3x﹣5=0 的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.(3 分)下列采用的调查方式中,合适的是( )
A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式
B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式
C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式
D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式
7.(3 分)如图,分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线
段 AB 的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O.在直线 EF 上任取一点 P(不
与 O 重合),连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是( )
A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB
8.(3 分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方
形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF
的边长是( )
A. B.2 C. D.4
二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分)
9.(3 分)二次根式 中,x 的取值范围是 .
10.(3 分)若 = ,则 = .
11.(3 分)如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截.若 a∥b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3
的度数为 度.
12.(3 分)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下:9,8,7,6,9,9,7,这
组数据的中位数是 .
13.(3 分)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示:
日期 1 2 3 4
数量(瓶) 120 125 130 135
观察此表,利用 所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 瓶
.
14.(3 分)如图是甲、乙两人 6 次投篮测试(每次投篮 10 个)成绩的统计图,甲、乙两
人测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2,则 s 甲 2 s 乙 2.(填“>”,“=”或“<
”)
15.(3 分)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为 5,底边长为 4
的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 .(结果保留 π)
16.(3 分)如图,点 A,C 分别是正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象的交
点,过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B,则四边形 ABCD 的面积为
.
三、解答题(17~19 题每题 6 分,20~23 题每题 8 分,24~25 题每题 10 分,26 题 12 分,
共 82 分)
17.(6 分)计算:(3﹣π)0﹣2cos30°+|1﹣ |+( )﹣1.
18.(6 分)先化简,再求值: ﹣ ,其中 a= .
19.(6 分)如图,▱ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,连接 CE 并延长交 BA 的 延长线于点
F,连接 AC,DF.求证:四边形 ACDF 是平行四边形.
20.(8 分)我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范
市”.我市有 A,B,C,D,E 五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期
间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统
计结果制作了如下两幅不完整的统计图:
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人,m= ,并补全
条形统计图;
(2)若该小区有居民 1200 人,试估计去 B 地旅游的居民约有多少人?
(3)小军同学已去过 E 地旅游,暑假期间计划与父母从 A,B,C,D 四个景区中,任选
两个去旅游,求选到 A,C 两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
21.(8 分)如图所示,巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,距离 A 处 30km.
在灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已
知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少?
(精确到 0.01km.参考数据: ≈1.414, ≈1.732, ≈2.449)
22.(8 分)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批 A,B 两种型号的机器.已知
一台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件,且一台 A 型机器加工 80 个零件
与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等.
(1)每台 A,B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?
(2)如果该企业计划安排 A,B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件,为了如期
完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件,同时为了保障机器的正常运转
,两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件,那么 A,B 两种型号的机器可以各安排多
少台?
23.(8 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 D,且 AD∥OC.
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)延长 CO 交⊙O 于点 E.若∠CEB=30°,⊙O 的半径为 2,求 的长.(结果保
留 π)
24.(10 分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的
函 数 为 分 段 函 数 . 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 , 探 究 分 段 函 数 y =
的图象与性质.列表:
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的函数值 y 为纵坐标,
描出相应的点,如图所示.
(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点 A(﹣5,y1),B(﹣ ,y2),C(x1, ),D(x2,6)在函数图象上,则 y1 y2
,x1 x2;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值 y=2 时,求自变量 x 的值;
③在直线 x=﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P(x3,y3),Q(x4,y4),且 y3
=y4,求 x3+x4 的值;
④若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围.
25.(10 分)如图 1,矩形 ABCD 中,点 E 为 AB 边上的动点(不与 A,B 重合),把△ADE
沿 DE 翻折,点 A 的对应点为 A1,延长 EA1 交直线 DC 于点 F,再把∠B EF 折叠,使点 B
的对应点 B1 落在 EF 上,折痕 EH 交直线 BC 于点 H.
(1)求证:△A1DE∽△B1EH;
(2)如图 2,直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴,若点 A1 恰好落在直线 MN 上,试判断△
DEF 的形状,并说明理由;
(3)如图 3,在(2)的条件下,点 G 为△DEF 内一点,且∠DGF=150°,试探究 DG
,EG,FG 的数量关系.
26.(12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A(﹣3,0),B(1,0)两点,与
y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标;
(2)点 F 是线段 AD 上一个动点.
①如图 1,设 k= ,当 k 为何值时,CF= AD?
②如图 2,以 A,F,O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似?若相似,求出点 F 的坐标;
若不相似,请说明理由.
2019 年湖南省郴州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)
1.(3 分)如图,数轴上表示﹣2 的相反数的点是( )
A.M B.N C.P D.Q
【考点】13:数轴;14:相反数.菁优网版权所有
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
【解答】解:﹣2 的相反数是 2,
故选:D.
【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.[来源:Z+xx+k.Com]
2.(3 分)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【考点】P3:轴对称图形;R5:中心对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称
轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分
重合
3.(3 分)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工
业品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至 2017 年止,我国已探明稀土储量约 4400
万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000 为( )
A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a×10n,其中 1≤|a|<10,n 为整数
,据此判断即可.
【解答】解:将 44 000 000 用科学记数法可表示为 4.4×107.
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其
中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
4.(3 分)下列运算正确的是( )
A.( x2)3=x5 B. + = C.x•x2•x4=x6 D. =
【考点】46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方;79:二次根式的混合运算.菁优网版权
所有
【分析】根据幂的乘方法则判断 A;先把 化为最简二次根式,再合并同类二次根式,
即可判断 B;根据同底数幂的乘法法则判断 C;根据二次根式的除法法则判断 D.
【解答】解:A、( x2)3=x6,故本选项错误;
B、 + = +2 =3 ,故本选项错误;
C、x•x2•x4=x7,故本选项错误;
D、 = ,故本选项正确;
故选:D.
【点评】本题考查了二次根式的运算,整式的运算,掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘
方法则、以及二次根式的除法法则是解题的关键.
5.(3 分)一元二次方程 2x2+3x﹣5=0 的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【考点】AA:根的判别式.菁优网版权所有
【分析】求出△的值即可判断.
【解答】解:一元二次方程 2x2﹣3x+5=0 中,
△=32﹣4×2×9(﹣5)>0,
∴有两个不相等的实数根.
故选:B.
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>
0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔
方程没有实数根.
6.(3 分)下列采用的调查方式中,合适的是( )
A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式
B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式
C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式
D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式
【考点】V2:全面调查与抽样调查.菁优网版权所有
【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可.
【解答】解:A、为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式,合适;
B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率,因调查范围广,工作量大采用普查的方式
不合适;
C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,因调查范围小采用抽样调查
的方式不合适;
D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,因调查范围广,采用普查的方式不合
适,
故选:A.
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识,解题的关键是能够了解两种调查方式
的优缺点,难度不大.
7.(3 分)如图,分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线
段 AB 的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O.在直线 EF 上任取一点 P(不
与 O 重合),连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是( )
A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB
【考点】KG:线段垂直平分线的性质;N2:作图—基本作图.菁优网版权所有
【分析】依据分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线段 AB
的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O,即可得到 EF 垂直平分 AB,进而得
出结论.
【解答】解:∵由作图可知,EF 垂直平分 AB,
∴PA=PB,故 A 选项正确;
OA=OB,故 B 选项正确;
OE=OF,故 C 选项错误;
PO⊥AB,故 D 选项正确;
故选:C.
【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分
线的作法,利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题.
8.(3 分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方
形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF
的边长是( )
A. B.2 C. D.4
【考点】1O:数学常识;KQ:勾股定理;LE:正方形的性质.菁优网版权所有
【分析】设正方形 ADOF 的边长为 x,在直角三角形 ACB 中,利用勾股定理可建立关于 x
的方程,解方程即可.
【解答】解:设正方形 ADOF 的边长为 x,
由题意得:BE=BD=4,CE=CF=6,
∴BC=BE+CE=BD+CF=10,
在 Rt△ABC 中,AC2+AB2=BC2,
即(6+x)2+(x+4)2=102,
整理得,x2+10x﹣24=0,
解得:x=2,或 x=﹣12(舍去),
∴x=2,
即正方形 ADOF 的边长是 2;
故选:B.
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定
理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分)
9.(3 分)二次根式 中,x 的取值范围是 x≥2 .
【考点】72:二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
【分析】二次根式的被开方数是非负数,即 x﹣2≥0.
【解答】解:根据题意,得
x﹣2≥0,
解得,x≥2;
故答案是:x≥2.
【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二
次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
10.(3 分)若 = ,则 = .
【考点】S1:比例的性质.菁优网版权所有
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出 x,y 之间的关系进而得出答案.
【解答】解:∵ = ,
∴2x+2y=3x,
故 2y=x,
则 = .
故答案为: .
【点评】此题主要考查了比例的性质,正确将原式变形是解题关键.
11.(3 分)如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截.若 a∥b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3
的度数为 100 度.
【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案.
【解答】解:∵a∥b,
∴∠3=∠4,
∵∠1=∠2+∠4=∠2+∠3,∠1=130°,∠2=30°,
∴130°=30°+∠3,
解得:∠3=100°.
故答案为:100.
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角,正确应用平行线的性质是解
题关键.
12.(3 分)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下:9,8,7,6,9,9,7,这
组数据的中位数是 8 .
【考点】W4:中位数.菁优网版权所有
【分析】根据中位数计算:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果
数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数
是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
【解答】解:把这组数据按照从小到大的顺序排列为:6,7,7,8,9,9,9,
故这组数据的中位数是 8.
故答案为:8.
【点评】本题考查了中位数的定义,解题的关键是牢记定义,此题比较简单,易于掌握.
13.(3 分)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示:
日期 1 2 3 4
数量(瓶) 120 125 130 135
观察此表,利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶
.
【考点】FH:一次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】这是一个一次函数模型,设 y=kx+b,利用待定系数法即可解决问题,
【解答】解:这是一个一次函数模型,设 y=kx+b,则有 ,
解得 ,
∴y=5x+115,
当 x=7 时,y=150,
∴预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶,
故答案为 150.
【点评】本题考查一次函数的性质,解题的关键是学会构建一次函数解决问题,属于中
考常考题型.
14.(3 分)如图是甲、乙两人 6 次投篮测试(每次投篮 10 个)成绩的统计图,甲、乙两
人测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2,则 s 甲 2 < s 乙 2.(填“>”,“=”或“<
”)
【考点】VD:折线统计图;W7:方差.菁优网版权所有
【分析】根据数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定,方差越大;数据偏离
平均数越小,即波动越小,数据越稳定,方差越小进行判断.
【解答】解:由图象可知:乙偏离平均数大,甲偏离平均数小,所以乙波动大,不稳定,
方差大,即 S 甲 2<S 乙 2.
故答案为:<.
【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表
明这组数据偏 离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组
数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
15.(3 分)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为 5,底边长为 4
的等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 10π .(结果保留 π)
【考点】I4:几何体的表面积;I6:几何体的展开图;U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
【分析】由三视图可知,该几何体是圆锥,根据圆锥是侧面积公式计算即可.
【解答】解:由三视图可知,该几何体是圆锥,
∴侧面展开图的面积=π•2•5=10π,
故答案为 10π.
【点评】本题考查三视图,圆锥等知识,解题的关键是记住圆锥的侧面积公式.
16.(3 分)如图,点 A,C 分别是正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象的交
点,过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B,则四边形 ABCD 的面积为 8
.
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
【分析】由反比例函数的对称性可知 OA=OC,OB=OD,则 S△AOB=S△BOC=S△DOC=
S△AOD,再根据反比例函数 k 的几何意义可求 得这四个三角形的面积,可求得答案.
【解答】解:∵A、C 是两函数图象的交点,
∴A、C 关于原点对称,
∵CD⊥x 轴,AB⊥x 轴,
∴OA=OC,OB=OD,
∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD,
又∵反比例函数 y= 的图象上,
∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD= ×4=2,
∴S 四边形 ABCD=4S△AOB=4×2=8,
故答案为:8.
【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和 k 的几何意义,根据条件得出 OA=OC,OB
=OD 是解题的关键,注意 k 的几何意义的应用.
三、解答题(17~19 题每题 6 分,20~23 题每题 8 分,24~25 题每题 10 分,26 题 12 分,
共 82 分)
17.(6 分)计算:(3﹣π)0﹣2cos30°+|1﹣ |+( )﹣1.
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数
值.菁优网版权所有
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三
角函数值计算即可求出值.
【解答】解:原式=1﹣2× + ﹣1+2=2.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.[来源:学.科.网]
18.(6 分)先化简,再求值: ﹣ ,其中 a= .
【考点】6D:分式的化简求值.菁优网版权所有
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子,然后将 a 的值代入化简后的式子即可
解答本题.
【解答】解: ﹣
=
=
=
=
= ,
当 a= 时,原式= = =1.
【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
19.(6 分)如图,▱ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点
F,连接 AC,DF.求证:四边形 ACDF 是平行四边形.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;L7:平行四边形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】利用平行四边形的性质,即可判定△FAE≌△CDE,即可得到 CD=FA,再根据
CD∥AF,即可得出四边形 ACDF 是平行四边形;
【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠FAE=∠CDE,
∵E 是 AD 的中点,
∴AE=DE,
又∵∠FEA=∠CED,
∴△FAE≌△CDE(ASA),
∴CD=FA,
又∵CD∥AF,
∴四边形 ACDF 是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握平
行四边形的判定和性质定理是解题的关键.
20.(8 分)我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范
市”.我市有 A,B,C,D,E 五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期
间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统
计结果制作了如下两幅不完整的统计图:
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 200 人,m= 35 ,并补全条
形统计图;
(2)若该小区有居民 1200 人,试估计去 B 地旅游的居民约有多少人?
(3)小军同学已去过 E 地旅游,暑假期间计划与父母从 A,B,C,D 四个景区中,任选
两个去旅游,求选到 A,C 两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率)
【考点】V5:用样本估计总体;VB:扇形统计图;VC:条形统计图;X6:列表法与树
状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)先由 D 景区人数及其所占百分比求出总人数,再根据百分比的概念和各景
区人数之和等于总人数求解可得;
(2)利用样本估计总体思想求解可得;
(3)画树状图得出所有等可能结果,从中找到选到 A,C 两个景区的结果数,再根据概
率公式计算可得.
【解答】解:(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 20÷10%=200(人)
,
则 m%= ×100%=35%,即 m=35,
C 景区人数为 200﹣(20+70+20+50)=40(人),
补全条形图如下:
故答案为:200,35;
(2)估计去 B 地旅游的居民约有 1200×35%=420(人) ;
(3)画树状图如下:
由树状图知,共有 12 种等可能结果,其中选到 A,C 两个景区的有 2 种结果,
所以选到 A,C 两个景区的概率为 = .
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握
扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数
之比.
21.(8 分)如图所示,巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,距离 A 处 30km.
在灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已
知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少?
(精确到 0.01km.参考数据: ≈1.414, ≈1.732, ≈2.449)
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【分析】延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D,则∠CDA=90°,由题意得:AC=30km,∠
CAD=45°,∠BAD=30°,由直角三角形的性质得出 AD=CD= AC=15 ,AD=
BD,BD= =5 ,由勾股定理即可得出答案.
【解答】解:延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D,如图所示:
则∠CDA=90°,
由题意得:AC=30km,∠CAD=90°﹣45°=45°,∠BAD=90°﹣60°=30°,
∴AD=CD= AC=15 ,AD= BD,
∴BD= =5 ,
∴AB= = =10 ≈10×2.449≈24.49(km);
答:巡逻船与渔船的距离约为 24.49km.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题目中所给方向角构
造直角三角形,然后利用三角函数的知识求解,难度适中.
22.(8 分)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批 A,B 两种型号的机器.已知
一台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件,且一台 A 型机器加工 80 个零件
与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等.
(1)每台 A,B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件?
(2)如果该企业计划安排 A,B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件,为了如期
完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件,同时为了保障机器的正常运转,
两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件,那么 A,B 两种型号的机器可以各安排多少
台?
【考点】B7:分式方程的应用;CE:一元一次不等式组的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件,则每台 A 型机器每小时加工(x+2)
个零件,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合一台 A 型机器加工 80 个零件与一台 B
型机器加工 60 个零件所用时间相等,即可得出关于 x 的分式方程,解之经检验后即可得
出结论;
(2)设 A 型机器安排 m 台,则 B 型机器安排(10﹣m)台,根据每小时加工零件的总量
=8×A 型机器的数量+6×B 型机器的数量结合每小时加工的零件不少于 72 件且不能超
过 76 件,即可得出关于 m 的一元一次不等式组,解之即可得出 m 的取值范围,再结合 m
为正整数即可得出各安排方案.
【解答】解:(1)设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件,则每台 A 型机器每小时加工(
x+2)个零件,
依题意,得: = ,
解得:x=6,
经检验,x=6 是原方程的解,且符合题意,
∴x+2=8.
答:每台 A 型机器每小时加工 8 个零件,每台 B 型机器每小时加工 6 个零件.
(2)设 A 型机器安排 m 台,则 B 型机器安排(10﹣m)台,
依题意,得: ,
解得:6≤m≤8.
∵m 为正整数,
∴m=6,7,8.
答:共有三种安排方案,方案一:A 型机器安排 6 台,B 型机器安排 4 台;方案二:A 型
机器安排 7 台,B 型机器安排 3 台;方案三:A 型机器安排 8 台,B 型机器安排 2 台.
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1
)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次
不等式组.
23.(8 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 D,且 AD∥OC.
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)延长 CO 交⊙O 于点 E.若∠CEB=30°,⊙O 的半径为 2,求 的长.(结果保
留 π)
【考点】M5:圆周角定理;ME:切线的判定与性质;MN:弧长的计算.菁优网版权所有
【分析】(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB,得到∠ODC=
∠OBC=90°,即可证得结论;
(2)根据圆周角定理得到∠BOD=120°,然后根据弧长公式求得即可.
【解答】(1)证明:连接 OD,[来源:学§科§网]
∵CD 与⊙O 相切于点 D,
∴∠ODC=90°,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD∥OC,
∴∠COB=∠OAD,∠COD=∠ODA,
∴∠COB=∠COD,
在△COD 和△COB 中
,
∴△COD≌△COB(SAS),
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴BC 是⊙O 的切线;
(2)解:∵∠CEB=30°,
∴∠COB=60°,
∵∠COB=∠COD,
∴∠BOD=120°,
∴ 的长: = π.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,平行线的性质,圆周角定理以及三角形全等的
判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
24.(10 分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的
函 数 为 分 段 函 数 . 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 , 探 究 分 段 函 数 y =
的图象与性质.列表:
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … 1[来源:学#科#网
Z#X#X#K]
2 1 0 1 2 …
描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的函数值 y 为纵坐标,
描出相应的点,如图所示.
(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点 A(﹣5,y1),B(﹣ ,y2),C(x1, ),D(x2,6)在函数图象上,则 y1 <
y2,x1 < x2;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值 y=2 时,求自变量 x 的值;
③在直线 x=﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P(x3,y3),Q(x4,y4),且 y3=
y4,求 x3+x4 的值;
④若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围.
【考点】E9:分段函数;F3:一次函数的图象;F5:一次函数的性质;G2:反比例函数
的图象;G4:反比例函数的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)描点连线即可;
(2)①A 与 B 在 y=﹣ 上,y 随 x 的增大而增大,所以 y1<y2;C 与 D 在 y=|x﹣1|上,
观察图象可得 x1<x2;
②当 y=2 时,2=|x﹣1|,则有 x=3 或 x=﹣1;
③由图可知﹣1≤x≤3 时,点关于 x=1 对称,当 y3=y4 时 x3+x4=2;
④由图象可知,0<a<2;
【解答】解:(1)如图所示:
(2)①A(﹣5,y1),B(﹣ ,y2),
A 与 B 在 y=﹣ 上,y 随 x 的增大而增大,∴y1<y2;
C(x1, ),D(x2,6),
C 与 D 在 y=|x﹣1|上,观察图象可得 x1<x2;
故答案为<,<;
②当 y=2 时,x≤﹣1 时,有 2=﹣ ,∴x=﹣1;
当 y=2 时,x>﹣1 时,有 2=|x﹣1|,∴x=3 或 x=﹣1(舍去),
故 x=﹣1 或 x=3;
③∵P(x3,y3),Q(x4,y4)在 x=﹣1 的右侧,
∴﹣1≤x≤3 时,点 P,Q 关于 x=1 对称,
则有 y3=y4,
∴x3+x4=2;
④由图象可知,0<a<2;
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质,一次函数的图象及性质;能够通过描点准
确的画出函数图象是解题的关键.
25.(10 分)如图 1,矩形 ABCD 中,点 E 为 AB 边上的动点(不与 A,B 重合),把△ADE
沿 DE 翻折,点 A 的对应点为 A1,延长 EA1 交直线 DC 于点 F,再把∠BEF 折叠,使点 B
的对应点 B1 落在 EF 上,折痕 EH 交直线 BC 于点 H.
(1)求证:△A1DE∽△B1EH;
(2)如图 2,直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴,若点 A1 恰好落在直线 MN 上,试判断△
DEF 的形状,并说明理由;
(3)如图 3,在(2)的条件下,点 G 为△DEF 内一点,且∠DGF=150°,试探究 DG
,EG,FG 的数量关系.
【考点】SO:相似形综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)由折叠图形的性质可得∠DA1E=∠EB1H=90°,∠DEA1+∠HEB1=90°
从而可得∠DEA1=∠EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得△A1DE∽△B1EH;
(2)由 A1 恰好落在直线 MN 上可知 A1 在 EF 的中点,由 SAS 易证△A1DE≌△A1DF,
即可得∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°,
(3)将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置,由旋转的旋转将 DG,EG,FG 集中到△
G′GF 中结合∠DGF=150°,可得△G′GF 为直角三角形,由勾股定理可得 G'G2+GF2
=G'F2,即可证明 DG2+GF2=GE2,
【解答】解:(1)证明:由折叠的性质可知:∠DAE=∠DA1E=90°,∠EBH=∠EB1H
=90°,∠AED=∠A1ED,∠BEH=∠B1EH,
∴∠DEA1+∠HEB1=90°.
又∵∠HEB1+∠EHB1=90°,
∴∠DEA1=∠EHB1,
∴△A1DE∽△B1EH;
(2)结论:△DEF 是等边三角形;
理由如下:
∵直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴,
∴点 A1 是 EF 的中点,即 A1E=A1F,
在△A1DE 和△A1DF 中
,
∴△A1DE≌△A1DF(SAS),
∴DE=DF,∠FDA1=∠EDA1,
又∵△ADE≌△A1DE,∠ADF=90°.
∴∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°,
∴∠EDF=60°,
∴△DEF 是等边三角形;
(3)DG,EG,FG 的数量关系是 DG2+GF2=GE2,
理由如下:由(2)可知△DEF 是等边三角形;将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置
,如解图(1),
∴G'F=GE,DG'=DG,∠GDG'=60°,
∴△DGG'是等边三角形,
∴GG'=DG,∠DGG'=60°,
∵∠DGF=150°,
∴∠G'GF=90°,
∴G'G2+GF2=G'F2,
∴DG2+GF2=GE2,
【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩
形的性质等知识,解(3)题的关键是灵活运用旋转得全等三角形,构造 Rt△G′GF.
26.(12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A(﹣3,0),B(1,0)两点,与
y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标;
(2)点 F 是线段 AD 上一个动点.
①如图 1,设 k= ,当 k 为何值时,CF= AD?
②如图 2,以 A,F,O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似?若相似,求出点 F 的坐标;
若不相似,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对
应的函数表达式,可求得顶点 D(﹣1,4);
(2)①由 A、C、D 三点的坐标求出 AC=3 ,DC= ,AD=2 ,可得△ACD 为
直角三角形,若 CF= ,则点 F 为 AD 的中点,可求出 k 的值;
②由条件可判断∠DAC=∠OBC,则∠OAF=∠ACB,若以 A,F,O 为顶点的三角形与△
ABC 相似,可分两种情况考虑:当∠AOF=∠ABC 或∠AOF=∠CAB=45°时,可分别
求出点 F 的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+3 过点 A(﹣3,0),B(1,0),
∴ ,解得: ,
∴抛物线解析式为 y=﹣x2﹣2x+3;
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4
∴顶点 D 的坐标为(﹣1,4);
(2)①∵在 Rt△AOC 中,OA=3,OC=3,
∴AC2=OA2+OC2=18,
∵D(﹣1,4),C(0,3),A(﹣3,0),
∴CD2=12+12=2[来源:Z_xx_k.Com]
∴AD2=22+42=20
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD 为直角三角形,且∠ACD=90°.
∵ ,
∴F 为 AD 的中点,
∴ ,
∴ .
②在 Rt△ACD 中,tan ,
在 Rt△OBC 中,tan ,
∴∠ACD=∠OCB,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠FAO=∠ACB,
若以 A,F,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则可分两种情况考虑:
当∠AOF=∠ABC 时,△AOF∽△CBA,
∴OF∥BC,
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,
∴ ,解得: ,
∴直线 BC 的解析式为 y=﹣3x+3,
∴直线 OF 的解析式为 y=﹣3x,
设直线 AD 的解析式为 y=mx+n,
∴ ,解得: ,
∴直线 AD 的解析式为 y=2x+6,
∴ ,解得: ,
∴F(﹣ ).
当∠AOF=∠CAB=45°时,△AOF∽△CAB,
∵∠CAB=45°,
∴OF⊥AC,
∴直线 OF 的解析式为 y=﹣x,
∴ ,解得: ,
∴F(﹣2,2).
综合以上可得 F 点的坐标为(﹣ )或(﹣2,2).
【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似
三角形的判定与性质和直角三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标
与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
日期:2019/8/5 11:13:31;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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