中考数学复习：二次函数的综合题课件-53张 53页

二次函数的综合题 类型一　特殊三角形存在性问题 ( 2019,24 ) 知识储备 1 . 等腰三角形存在性问题 (1) 等腰三角形要分类讨论 . 　　 如图 Z7-1, 当一个三角形为等腰三角形时 , 存在三种情况 : AB = AC ; AB = BC ; BC = AC , 所以要进行分类讨论 . 图 Z7-1 图 Z7-2 (3) 等腰三角形存在性问题 . 代数法 : 若 △ ABC 的边长平方 AB 2 , BC 2 , AC 2 方便用勾股定理求解 , 则由 AB 2 = AC 2 , BC 2 = BA 2 , CA 2 = CB 2 分别建立方程 , 依次求解 . 几何法 : 两圆一线法 : 如图 Z7-3, 已知线段 AB , 在平面内找一点 C , 使得 △ ABC 为等腰三角形 , 满足条件的点 C 如图 Z7-3 所示 ( 在以点 A , B 为圆心 , AB 的长为半径的圆和线段 AB 的垂直平分线上 , 除了与点 A , B 在同一直线上的点外所有的点 ) . 其他方法 : 可用等腰三角形的性质 ( 作垂线 , 三线合一 ), 将证明两腰相等转化为证明中点 , 或 用相似三角形的性质 , 或用哪个定角的三角函 数比来建立方程 . 图 Z7-3 2 . 直角三角形存在性问题 若 △ ABC 是以 AB 为直角边的直角三角形 , 则点 C 在过点 A 且垂直于 AB 的直线或过点 B 且垂直于 AB 的直线上 . 若 △ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 , D 为斜边 BC 的中点 , 则 DA = DB = DC , ∠ BAC =90° . 若以点 A , B , C 为顶点的三角形是直角三角形 , 则分三种情况 . 几何法 : 把∠ A =90° 或∠ B =90° 或∠ C =90° 转化为相似三角形对应边成比例建立方程求解 ; 代数法 : 用勾股定理表示 AB 2 , BC 2 , AC 2 , 由 AB 2 + BC 2 = AC 2 或 AB 2 + AC 2 = BC 2 或 BC 2 + AC 2 = AB 2 建立方程依次求解 . 例 1 如图Z7-4,抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (-2,0),点 B (4,0),点 D (2,4),与 y 轴交于点 C ,直线 y = kx + b' 经过点 B 和点 C ,连接 AC. (1) 求抛物线和直线 BC 的函数表达式 . (2) 若点 F 是抛物线上一动点 , 当点 F 运动到什么位置时 ,△ ACF 是以∠ ACF 为直角的直角三角形 ? (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 G , 使 以 C , B , G 为顶点的三角形是等腰三角形 ? 图 Z7-4 例 1 如图Z7-4,抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (-2,0),点 B (4,0),点 D (2,4),与 y 轴交于点 C ,直线 y = kx + b' 经过点 B 和点 C ,连接 AC. (2) 若点 F 是抛物线上一动点 , 当点 F 运动到什么位置时 ,△ ACF 是以∠ ACF 为直角的直角三角形 ? 图 Z7-4 例 1 如图Z7-4,抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (-2,0),点 B (4,0),点 D (2,4),与 y 轴交于点 C ,直线 y = kx + b' 经过点 B 和点 C ,连接 AC. (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 G , 使以 C , B , G 为顶点的三角形是等腰三角形 ? 图 Z7-4 类型二　相似三角形存在性问题 ( 2013,26 ) 知识储备 图 Z7-6 注意事项 : (1) 求相似三角形的第三个顶点时 , 先要分析已知三角形的边和角的特点 , 进而得出已知三角形是否为特殊三角形 . (2) 根据已知三角形中对应角 , 在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小 . (3) 若两个三角形的各边均未给出 , 则应先设 所求点的坐标 , 进而用函数解析式来表示各 边的长度 , 之后利用相似来列方程求解 . 图 Z7-6 图 Z7-7 (4) 设抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 E , 点 P 是位于直线 BC 上方抛物线上的一动点 , 连接 PE , 交 CB 于 F. 当 △ BEF 与 △ ACB 相似时 , 求点 P 的坐标 . (5) 若点 Q 是线段 BC 上一动点 , 是否存在点 Q , 使 △ AOC 与 △ OCQ 相似 ? 若存在 , 求出点 Q 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 图 Z7-7 图 Z7-7 图 Z7-7 图 Z7-7 图 Z7-7 类型三　二次函数与四边形的结合 ( 2018,23/2017,23/2015,24/2013, 26 ) 知识储备 1 . 平行四边形存在性问题 题型 3 个定点 +1 个动点 2 个定点 +2 个动点 例图 ( 续表 ) 题型 3 个定点 +1 个动点 2 个定点 +2 个动点 例图 A , M , N 为定点 , D 为动点 A , C 为两个定点 , 另两个动点中一点在 x 轴上 , 另一点在抛物线上 ( 续表 ) 知识原理 平行四边形的对边平行且相等 , 对角线互相平分 ( 中心对称性 ) 解 题 策 略 方法 具体思路 适用情况 (1) 直接 计算法 根据已知两点的连线为边 , 或者为对角线分两大类 , 分别计算 　 已知两点的连线在坐标轴上或平行于坐标轴 (2) 构 造全 等法 　 过平行四边形的某两个顶点作坐标轴的垂线 , 利用平行四边形一组对边所在的两个三角形全等 , 把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等 　 已知两点的连线不与坐标轴平行 ; 　 容易画出草图 ( 续表 ) 解 题 策 略 方法 具体思路 适用情况 (3) 中 心对 称法 　 已知两点的连线为对角线时 , 它的中点也是另外待定的两点连线的中点 , 设待定两点的坐标 , 用中点坐标公式表示其中点坐标 , 由中点重合 , 建立方程 ( 组 ) 即可 　 已知两点的连线不与坐标轴平行 ; 　 不方便画出草图 (4) 平 移坐 标法 　 利用平移的意义 , 根据已知两点间横、纵坐标的距离关系 , 得待定两点也有同样的数量关系 　 已知两点的连线不与坐标轴平行 ; 　 仅适用于不要去书写过程的题目 2 . 矩形存在性问题 由于矩形是含 90° 角的平行四边形 , 因此 , 解决矩形存在性问题 , 需要综合平行四边形和直角三角形存在性问题的方法 . 3 . 菱形存在性问题 由于菱形是一组邻边相等的平行四边形 , 因此 , 解决菱形存在性问题 , 需要综合平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法 . 4 . 正方形存在性问题 由于正方形既是矩形也是菱形 , 因此 , 解决正方形存在性问题 , 需要灵活选用所有存在性问题的方法 . 例 3 如图 Z7-10 ① , 抛物线经过点 A (-5,0), B (-1,0), C (0,5) 三点 , 顶点为 M , 连接 AC , BC , 抛物线的对称轴为 l , l 与 x 轴交于点 D , 与 AC 交于点 E. (1) 求此抛物线的解析式 , 顶点 M 的坐标 , 对称轴 l ; 图 Z7-10 (2) 抛物线沿直线 AB 平移 , 使得点 A 落在点 B 处 , 此时点 C 的对应点为 C' , 求 C' 的坐标 , 试判断四边形 ABC'C 的形状 , 并说明理由 ; 图 Z7-10 (3) 设点 C' 是平面内一点 , 是否存在以点 A , B , C , C' 为顶点的四边形是平行四边形 . 若存在 , 求出点 C' 的坐标 , 若不存在 , 请说明理由 ; 图 Z7-10 (4) 设点 G 是抛物线对称轴上一点 , 点 K 是平面内一点 , 是否存在点 G , 使得以 A , C , G , K 为顶点的四边形是矩形 , 若存在 , 求出点 G 的坐标 , 若不存在 , 请说明理由 ; 图 Z7-10 (5) 设点 G 是抛物线对称轴上一点 , 过点 G 作平行于 AB 的一条直线 l' , 点 K 在 l' 上 , 若以 A , O , G , K 为顶点的四边形是菱形 , 写出所有满足条件的点 G , 点 K 坐标 ; 图 Z7-10 (6) 设点 P 是抛物线对称轴上一点 , 点 Q 是平面内一点 , 是否存在以 A , P , Q , E 为顶点的四边形为正方形 , 若存在 , 求出点 P , Q 的坐标 , 若不存在 , 请说明理由 . 图 Z7-10 例 3 如图 Z7-10 ① , 抛物线经过点 A (-5,0), B (-1,0), C (0,5) 三点 , 顶点为 M , 连接 AC , BC , 抛物线的对称轴为 l , l 与 x 轴交于点 D , 与 AC 交于点 E. (2) 抛物线沿直线 AB 平移 , 使得点 A 落在点 B 处 , 此时点 C 的对应点为 C' , 求 C' 的坐标 , 试判断四边形 ABC'C 的形状 , 并说明理由 ; 图 Z7-10 解 : (2) 如图① , ∵ A (-5,0), B (-1,0), C (0,5), ∴ C' (4,5), ∴四边形 ABC'C 是平行四边形 . 理由如下 : 根据平移性质得 : AB = CC' =4, AB ∥ CC' , ∴四边形 ABC'C 是平行四边形 . 例 3 如图 Z7-10 ① , 抛物线经过点 A (-5,0), B (-1,0), C (0,5) 三点 , 顶点为 M , 连接 AC , BC , 抛物线的对称轴为 l , l 与 x 轴交于点 D , 与 AC 交于点 E. (3) 设点 C' 是平面内一点 , 是否存在以点 A , B , C , C' 为顶点的四边形是平行四边形 . 若存在 , 求出点 C' 的坐标 , 若不存在 , 请说明理由 ; 图 Z7-10 解 : (3) 存在 , 理由如下 : (i) 当线段 AB 为平行四边形的边时 , 当点 C' 在点 C 右侧时 , 如图① , 将线段 AB 沿 AC 平移 , 使点 A 与点 C 重合 , 此时点 C' 坐标为 (4,5); 当点 C' 在点 C 左侧时 , 如图② , 将线段 BC 沿 BA 平移 , 使点 B 与点 A 重合 , 此时点 C' 的坐标为 (-4,5); (ii) 当线段 AB 为平行四边形对角线时 , 如图③ , 将线段 AC 沿 CB 平移 , 使点 C 与点 B 重合 , 此时 点 C' 的坐标为 (-6,-5) . 综上所述 , 满足条件的点 C' 的坐标为 (4,5),(-6,-5),(-4,5) . 例 3 如图 Z7-10 ① , 抛物线经过点 A (-5,0), B (-1,0), C (0,5) 三点 , 顶点为 M , 连接 AC , BC , 抛物线的对称轴为 l , l 与 x 轴交于点 D , 与 AC 交于点 E. (4) 设点 G 是抛物线对称轴上一点 , 点 K 是平面内一点 , 是否存在点 G , 使得以 A , C , G , K 为顶点的四边形是矩形 , 若存在 , 求出点 G 的坐标 , 若不存在 , 请说明理由 ; 图 Z7-10 解 : (4) 存在 . 理由如下 : 以 A , C , G , K 为顶点的四边形是矩形 , 则 △ ACG 一定是直角三角形 , 如图④ , 设点 G 的坐标为 (-3, g ), 作 GH ⊥ y 轴于点 H ( 以图④中 G 1 为例 ) . ∵ AC 2 =5 2 +5 2 =50, AG 2 =(5-3) 2 + g 2 =4+ g 2 , CG 2 =3 2 +(5- g ) 2 = g 2 -10 g +34 . (i) 若∠ ACG =90°, 则 AC 2 + CG 2 = AG 2 , 即 50+ g 2 -10 g +34=4+ g 2 , 解得 g =8, 此时点 G 的坐标为 (-3,8); (ii) 若∠ CAG =90°, 则 AC 2 + AG 2 = CG 2 . 即 50+4+ g 2 = g 2 -10 g +34, 解得 g =-2, 此时点 G 的坐标为 (-3,-2); (iii) 若∠ CGA =90°, 则 CG 2 + AG 2 = AC 2 , 即 g 2 -10 g +34+4+ g 2 =50, 解得 g 1 =6, g 2 =-1, 此时点 G 的坐标为 (-3,6) 或 (-3,-1) . 综上所述 , 满足条件的点 G 共有 4 个 , 分别为 (-3,8),(-3,6),(-3,-1),(-3,-2); 例 3 如图 Z7-10 ① , 抛物线经过点 A (-5,0), B (-1,0), C (0,5) 三点 , 顶点为 M , 连接 AC , BC , 抛物线的对称轴为 l , l 与 x 轴交于点 D , 与 AC 交于点 E. (5) 设点 G 是抛物线对称轴上一点 , 过点 G 作平行于 AB 的一条直线 l' , 点 K 在 l' 上 , 若以 A , O , G , K 为顶点的四边形是菱形 , 写出所有满足条件的点 G , 点 K 坐标 ; 图 Z7-10 例 3 如图 Z7-10 ① , 抛物线经过点 A (-5,0), B (-1,0), C (0,5) 三点 , 顶点为 M , 连接 AC , BC , 抛物线的对称轴为 l , l 与 x 轴交于点 D , 与 AC 交于点 E. (6) 设点 P 是抛物线对称轴上一点 , 点 Q 是平面内一点 , 是否存在以 A , P , Q , E 为顶点的四边形为正方形 , 若存在 , 求出点 P , Q 的坐标 , 若不存在 , 请说明理由 . 图 Z7-10 解 : (6) 存在 , 理由如下 : ∵点 P 在抛物线对称轴上 , ∴设点 P (-3, t ) . 如图⑥ , 当 AE 是正方形的边时 , 点 E 与点 P 1 关于 AB 对称 , 点 Q 1 与点 B 重合 , ∴点 P 1 的坐标为 (-3,-2), 点 Q 1 的坐标为 (-1,0); 当 AE 是正方形的对角线时 , 点 P 2 与点 D 重合 , ∴点 P 2 的坐标为 (-3,0), 点 Q 2 的坐标为 (-5,2) . 【 方法点析 】 平行四边形存在性问题 , 如果已经确定了对边平行关系 , 那么只需要根据对边相等列出方程即可求解 ; 如果是由两个定点、两个动点构成的平行四边形 , 往往需要确定哪条边为对角线来作为分类的标准 , 分成三类 , 可以设两个未知数 , 然后根据对角线互相平分 , 即两条对角线中点重合来列方程组求解即可 . 矩形存在性问题 , 可以转化为直角三角形存在性问题 ; 菱形存在性问题 , 可以转化为等腰三角形存在性问题 ; 正方形存在性问题 , 可以转化为等腰直角三角形存在性问题 . 类型四　二次函数与圆的结合 ( 2019,24/2014,24 ) 例 4 [2019· 鄂尔多斯改编 ] 如图 Z7-14, 抛物线 y = ax 2 + bx -2( a ≠0) 与 x 轴交于 A (-3,0), B (1,0) 两点 , 与 y 轴交于点 C. (1) 求抛物线的解析式 ; (2) 求 △ ABC 外接圆圆心 N 的坐标 ; (3) 变式 1: 以点 C 为圆心 ,1 为半径作☉ C , 过点 B 作☉ C 的切线 , 求切点 M 的坐标 ; (4) 变式 2: 直线 y = k 与抛物线 交于 E , F 两点 , 以 EF 为直径 的☉ M 与 x 轴相切 , 求 k 的值 . 图 Z7-14 例 4 [2019· 鄂尔多斯改编 ] 如图 Z7-14, 抛物线 y = ax 2 + bx -2( a ≠0) 与 x 轴交于 A (-3,0), B (1,0) 两点 , 与 y 轴交于点 C. (2) 求 △ ABC 外接圆圆心 N 的坐标 ; 图 Z7-14 例 4 [2019· 鄂尔多斯改编 ] 如图 Z7-14, 抛物线 y = ax 2 + bx -2( a ≠0) 与 x 轴交于 A (-3,0), B (1,0) 两点 , 与 y 轴交于点 C. (3) 变式 1: 以点 C 为圆心 ,1 为半径作☉ C , 过点 B 作☉ C 的切线 , 求切点 M 的坐标 ; 图 Z7-14 例 4 [2019· 鄂尔多斯改编 ] 如图 Z7-14, 抛物线 y = ax 2 + bx -2( a ≠0) 与 x 轴交于 A (-3,0), B (1,0) 两点 , 与 y 轴交于点 C. (4) 变式 2: 直线 y = k 与抛物线交于 E , F 两点 , 以 EF 为直径的☉ M 与 x 轴相切 , 求 k 的值 . 图 Z7-14