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- 2021-11-12 发布
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华师版九年级数学上册教学课件
第24章 解直角三角形
24.1 测 量
华师版九年级数学上册教学课件
1.能够借助刻度尺等工具进行测量;(重点)
2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度; (重点)
3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.(难点)
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
当你走进学校,仰头望着操场旗杆上高高飘扬的
五星红旗时,你也许很想知道,操场旗杆有多高?
你可能会想到利用相
似三角形的知识来解
决这个问题.
你能设计出一种测
量的方案吗?
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
要求 :(1)画出测量图形;
(2)写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量
的数据);
(3)根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.
用不同的方案进行测量
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旗杆影长
A
B C D
E
F
标杆影长
影长法
比例式:
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人
平面镜
平面镜法
比例式:
华师版九年级数学上册教学课件
A
B C D
E F G
H
标杆法
人
标杆
比例式:
∴AB=AE+EB
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D
A
B
E
1.在测点D安置测倾器,测得点B的仰角∠BAC=34°;
C
2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米;
3.量出测倾器的高度AD=1.5米.
34°
你能利用
这些数据
算出旗杆
的高度吗
?
测倾器法
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D
A
B
E
1.在测点D安置测倾器,测得点B的仰角∠BAC=34°;
C
2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米;
3.量出测倾器的高度AD=1.5米.
34°
B′
C′A′
(精确到0.1米)
你知道计
算的方法
吗?
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D
A
B
E
实际上,我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的
高度,而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系.
C
我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾
股定理),那么它的边与角又有什么关系?
34°
本章主要
探究的内
容就是直
角三角形
中的边角
关系
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(朝阳中考)某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老
师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20步有一树C,继续前行20步到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡
住的E处停止行走;
④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性.
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【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题,然后利用全
等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的
正确性.
【解答】证明:如图,由做法知:
在Rt△ABC和Rt△EDC中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA),
∴AB=ED,
即他们的做法是正确的.
华师版九年级数学上册教学课件课堂小结
利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻,
物高与影长成比例.
利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理.
构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例,对应角
相等.
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24.2 直角三角形的性质
第24章 解直角三角形
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1.理解直角三角形及在实际生活中的应用;(重点)
2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程,体会
探究过程中的乐趣.(难点)
学习目标
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问题1 什么是直角三角形?
有一个内角是直角直角的三角形叫直角三角形.
直角三角形可表示为:Rt△ABCA
C B
斜边
直角边
直
角
边
想一想:直角三角形的两个锐角有什么关系?三边之
间有什么关系?
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
(1)直角三角形的两个锐角_________;互余
(2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和______斜边的
平方.
等于
下面我们探索直角三角形的其他性质
问题2 你知道我们学过了直角三角形的哪些性质?
华师版九年级数学上册教学课件
1. 在Rt△ABC中,两锐角的和∠A+∠B=?
∠A+∠B=90°
2. 在△ABC中,如果∠A+∠B= 90º ,那么△ABC是直角
三角形吗? 是
3. 在Rt△ABC中,AB、AC、BC之间
有什么关系?
AB2=AC2+BC2
A
B
C
讲授新课
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半一
问题引导
华师版九年级数学上册教学课件
任意画一个直角三角形,作出斜边上的中线,并利用圆规
比较中线与斜边的一半的长短,你发现了什么?再画几个
直角三角形试一试,你的发现相同吗?
我们来验证一下!
A
B
C
D
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
直角三角形的性质之一
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言表述为:
在Rt△ABC中
∵CD是斜边AB上的中线,
∴CD=AD=BD= AB.
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
C
B AD
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A
B C
∟
D
【证明】
思路引导:中线辅助线作法:将中线延长一倍.
延长CD到点E,使DE=CD,连结AE、BE.
E∵ CD是斜边AB的中线,
∴ AD=BD.
又∵ DE=CD,
∴ 四边形ACBE是平行四边形.
又∵∠ACB=90⁰,
∴ ACBE是矩形,
∴ CE=AB.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.
求证:CD= AB.
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1.1.已知已知RtRt△△ABCABC中,斜边中,斜边ABAB=10cm=10cm,则斜边上的中线的长为,则斜边上的中线的长为
______.______.
2.2.如图,在如图,在RtRt△△ABCABC中,中,CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线∠∠CDACDA=80°=80°,,
则则∠∠AA=_____ =_____ ,,∠∠BB=_____.=_____.
5cm5cm
50°50° 40°40°
练一练
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例 Rt△ABC中,∠ACB=90 ° ,∠A=30°,求证:BC=
AB.
证明: 作斜边上的中线CD,
则CD=AD=BD= AB
(在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)
∵ ∠A=30°
∴ ∠B=60°
∴ △CDB是等边三角形,
∴ BC=BD= AB
CB
A
D
对此,你对此,你
能得出什能得出什
么结论?么结论?
直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半二
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1.如图,在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,
AD⊥AC于点A,BD=3,则BC=______.9
当堂练习
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2.如图, ∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点
E,交BC边于点D,BD=16cm,则AC的长为______.8cm
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3.如图,在△ABC中,BD、CE是高,M、N分别是BC、
ED的中点,试说明:MN⊥DE.
解:连结EM、DM.
∵BD、CE是高,M是BC中点,
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中,
∴EM=DM.
又∵N是ED的中点,
∴MN⊥ED
N
M
DE
B C
A
,, BC
2
1
DMBC
2
1
EM ==
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我们学习了直角三角形哪些性质?
性质1 直角三角形两个锐角互余
性质2 直角三角形的勾股定理
性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半
性质4 直角三角形30⁰角所对直角边等
于斜边的一半
课堂小结
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24.3 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数的定义;(重点)
2.掌握三角函数之间的关系并会计算.(难点)
学习目标
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1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,AC=______.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10cm,则BC=
,理由是 .
导入新课
回顾与思考
8
5 30°所对直角边是斜边的一半
华师版九年级数学上册教学课件
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=
∠A'=α,那么 与 有什么关系.能解释一下吗?
A
B
C A'
B'
C'
讲授新课
锐角三角函数定义及三角函数之间的关系
华师版九年级数学上册教学课件
在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
这就是说,在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,
不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个
固定值.
华师版九年级数学上册教学课件
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边
与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA 即
例如,当∠A=30°时,我们有
当∠A=45°时,我们有
A
B
C
c a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
引出定义:
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角∠A确定时,∠A
的对边与斜边的比就随之确定,此时,其他边之间的比是
否也确定了呢?为什么?
B
对边a
A C邻边b
斜边c
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠B=
∠B'=α,那么 与 有什么关系.能解释一下吗?
A
B
C A'
B'
C'
在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠B=∠B'=α,所
以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
华师版九年级数学上册教学课件
这就是说,在直角三角形中,当锐角∠B的度数一定时,不
管三角形的大小如何,∠B的对边与斜边的比也是一个固定值
.
当锐角∠B的大小确定时,∠B的邻边与斜边的比也是固定的,
我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦(cosine),记作
cosB,即
引出定义:
归纳
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1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形
结合,构造直角三角形).
2.sinA、 cosA是一个比值(数值).
3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的
边长无关.
如图:在Rt △ABC中,∠C=90°,
正弦
余弦
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当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻
边比值也是唯一确定的吗?
探究归纳
华师版九年级数学上册教学课件
在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角
形的大小如何,∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
BC
B′C′ A′C′
AC
=所以
如图,Rt△ABC和Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α
,问: 有什么关系?
由于∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α,所以Rt△ABC ∽
Rt△A′B′C′
AC
BC
A′C′
B′C′
与
即
AC
BC
A′C′
B′C′
=
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如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的 正切,记作 tanA.
一个角的正切
表示定值、比
值、正值.
归纳
华师版九年级数学上册教学课件
A
B
C
┌
思考:锐角∠A的正切值可以等于1吗?为什么?可以大
于1吗?
对于锐角∠A的每一个确定的值,tanA都有唯一的确定
的值与它对应.
解:可以等于1,此时为等腰直角三角形;可以大于1.
延伸
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1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,图中sinB可
由哪两条线段比求得.
D
C
BA
解:在Rt△ABC中,
在Rt△BCD中,
因为∠B=∠ACD,所以
求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为
求和它相等角的正弦值.
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB =10,BC=6,求
sinA、cosA、tanA的值.
解:∵
又
A
B
C
6
10
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3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= ,求sinA、
tanA的值.
解:∵
A
B
C设AC=15k,则AB=17k
所以
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4.下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空.
A
B
C
D
(1) tanA = =
AC
( ) CD
( )
(2) tanB= =
BC
( ) CD
( )
BC
AD
BD
AC
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5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA= ,
求:sinA、cosB的值.
A
B
C 8
解:
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在Rt△ABC中
= a
b
tanA=
课堂小结
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定义中应该注意的几个问题:
1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐
角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA、 cosA、tanA是一个比值(数值).
3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角
三角形的边长无关.
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24.3 锐角三角函数
第2课时 特殊角的三角函数值
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1.掌握特殊锐角的三角函数值;(重点)
2.掌握30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程并会计
算.(难点)
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA= , BC=8,则
AB=_______,AC=_______,sinB=_______,△ABC的周长
是______.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,则∠A=_____,设
AB=k,则AC=_____,BC=_____,sinB= sin45°=____,
cosB =cos45°=____,tanB= tan45°= ____.
导入新课
回顾与思考
10 6
24
45°
1
华师版九年级数学上册教学课件
两块三角尺中有几个不同的锐角?分别求出这几个锐角的正
弦值、余弦值和正切值.
30°
60°
45° 45°
讲授新课
特殊角的三角函数一
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设30°所对的直角边长为a,那么斜边长为2a
另一条直角边长=
30°
华师版九年级数学上册教学课件
设两条直角边长为a,则斜边长=
60°
45°
华师版九年级数学上册教学课件
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
锐角a
三角函数
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
归纳:
华师版九年级数学上册教学课件
1.求下列各式的值:
(1)cos260°+sin260°
(2)
解: (1) cos260°+sin260°
=1
(2)
=0
特殊三角函数值的运用三
华师版九年级数学上册教学课件
2.操场里有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度,小明
站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线
的夹角为30°,并已知目高为1.65米.然后他很快就算出旗杆
的高度了.
1.65米 10米
?
30°
你想知道小明怎样算出的吗?
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1.如图,在△ABC中,∠A=30°,
求AB.
A B
C
D
解:过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30°,
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
2.求下列各式的值:
(1)1-2 sin30°cos30°
(2)3tan30°-tan45°+2sin60°
(3)
解: (1)1-2 sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60°
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,
求∠A、∠B的度数. B
A C
解: 由勾股定理
∴ ∠A=30°
∠B = 90°- ∠ A = 90°-30°= 60°
华师版九年级数学上册教学课件
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:
锐角a
三角函数
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大;(α为锐角)
对于cosα,角度越大,函数值越小.
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
24.3 锐角三角函数
第3课时 用计算器求锐角三角函数值
华师版九年级数学上册教学课件
1.会用计算器求锐角三角函数值;(重点)
2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.(重点)
学习目标
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1.同学们,前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值,
一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢
?
导入新课
回顾与思考
华师版九年级数学上册教学课件
A
1.6m
D
BE 20m
42°
C
2.升国旗时,小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗
升至顶端时,小明看国旗视线的仰角为42°(如图),若小明
双眼离地面1.60m,你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗?
这里的tan42°是多少呢?
华师版九年级数学上册教学课件
1.求sin18°.
第一步:按计算器 键,sin
第二步:输入角度值18,
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
(也有的计算器是先输入角度再按函数名称键)
讲授新课
用计算器求锐角三角函数值一
华师版九年级数学上册教学课件
tan第一步:按计算器 键,
2.求 tan30°36'.
第二步:输入角度值30,分值36 (可以使用 键),°' ″
屏幕显示答案:0.591 398 351
第一种方法:
第二种方法:
tan第一步:按计算器 键,
第二步:输入角度值30.6 (因为30°36'=30.6°)
屏幕显示答案:0.591 398 351
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如果已知锐角三角函数值,也可以使用计算器求出相应
的锐角.
根据三角函数值求锐角度数二
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例:已知sinA=0.501 8;用计算器求锐角A可以按照下面方法
操作:
还可以接着按 键,进一步得到
∠A=30°7'8.97 "
第一步:按计算器 键,SHIFT sin
第二步:然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案: 30.119 158 67° (按实际需要进行精确)
°'″
典例精析
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1.用计算器求下列锐角三角函数值;
(1) sin20°= , cos70°= ;
(2)tan3°8 ' = ,tan80°25'43″=
sin35°= ,cos55°= ;
sin15°32 ' = ,cos74°28 ' =
分析第
1(1)题的
结果,你能
得出什么猜
想,你能说
明你的猜想
吗?
拓广探索
华师版九年级数学上册教学课件
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
归纳:
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1. 已知下列锐角三角函数值,用计算器求其相应的锐角:
(1)sinA=0.6275,sinB=0.0547;
(2)cosA=0.6252,cosB=0.1659;
(3)tanA=4.8425,tanB=0.8816.
当堂练习
∠A=38°51′57.3 ″, ∠B=3°8′8.32 ″
∠A=51°18′11.27 ″, ∠B=80°27′1.72 ″
∠A=78°19′55.74 ″, ∠B=41°23′57.84 ″
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A2.下列各式中一定成立的是( )
A.tan75°>tan48°>tan15°
B. tan75°<tan48°<tan15°
C. cos75°>cos48°>cos15°
D. sin75°<sin48°<sin15°
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1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值,可以用计算器求其相应的锐角.
3.正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
课堂小结
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24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其简单应用
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1.会运用勾股定理解直角三角形;(重点)
2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三
角形;(重点)
3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.(难点)
学习目标
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B
A C
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____;
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=_____;
(3)边角之间的关系:sinA=_____,cosA=_____,
tanA=_____.
在Rt△ABC中,共有六个元素(三条边,三个角),其中
∠C=90°,那么其余五个元素之间有怎样的关系呢?
c2
90°
导入新课
观察与思考
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比萨铁塔倾斜问题,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直
中心线的夹角为∠A,过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点
C(如图),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=
54.5m.
所以∠A≈5°28′
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角.你愿意试着计算一下吗?
A
BC
A
BC
讲授新课
已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用一
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要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所
成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子,问:
(1)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角a等于多
少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?
(2)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)?
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对于问题(1),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地
面所成的角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC
=2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数
由于
利用计算器求得
a≈66°
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子
与地面所成的角大约是66°.
由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的.
A
B
C
α
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在图中的Rt△ABC中,
(1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角
形的其他元素吗?
A
B
C
α
6
=75°
已知一边和一锐角解直角三角形二
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在图中的Rt△ABC中,
(2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角
形的其他元素吗?
A
B
C
α
6
2.4
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由 得
问题(2)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°,斜
边AB=6,求∠A的对边BC的长.
问题(2)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与
地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
所以 BC≈6×0.97≈5.8
由计算器求得 sin75°≈0.97
A
B
α
C
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事实上,在直角三角形的六个元素中,
除直角外,如果再知道两个元素(其
中至少有一个是边),这个三角形就
可以确定下来,这样就可以由已知的
两个元素求出其余的三个元素.
A
Ba
b c
C
解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素
的过程.
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1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ,解
这个直角三角形.
解:
A
BC
当堂练习
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2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6, ∠BAC的平分
线 ,解这个直角三角形.
D
A
BC
6
解:
因为AD平分∠BAC
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3.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;
(1)a = 30 , b = 20 ;
解:根据勾股定理
A
B
Cb=20
a=30c
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在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;
(2) ∠B=72°,c = 14.
A
B C
b
a
c=14
解:
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4. 如下图,某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾
斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,
那么梯子的长至少为多少米?
解:如图所示,依题意可知,当∠B=60°时,
答:梯子的长至少3.5米
C
A
B
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(2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系 (勾股定理)A
Ba
b c
C
在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
课堂小结
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1.数形结合思想.
方法:把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示
意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,构造出
直角三角形.
2.方程思想.
3.转化(化归)思想.
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24.4 解直角三角形
第2课时 仰角、俯角问题
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1.了解仰角、俯角的概念;(重点)
2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.(难点)
学习目标
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问题1 在三角形中共有几个元素?
问题2 解直角三角形的应用问题的思路是怎样?
导入新课
观察与思考
华师版九年级数学上册教学课件
热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角
为30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平
距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m).
分析:我们知道,在视线与水平线所
成的角中视线在水平线上方的是仰角,
视线在水平线下方的是俯角,因此,
在图中,α=30°,β=60°
Rt△ABD中,α=30°,AD=120,
所以利用解直角三角形的知识求出
BD;类似地可以求出CD,进而求出BC.
A
B
C
Dα
β
仰角 水平线
俯角
讲授新课
仰角、俯角问题
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解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120.
答:这栋楼高约为277.1m
A
B
C
Dα
β
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建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观
察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部B的仰角为
45°,求旗杆的高度(精确到0.1m).
A
B
CD 40m
54° 45°
A
B
CD 40m
54° 45°解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
所以AB=AC-BC=55.2-40=15.2
答:旗杆的高度为15.2m.
练一练
华师版九年级数学上册教学课件
1.如图1,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上
一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的
水平距离BC=_________米.
2.如图2,两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得
D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高
为_____米.
100
当堂练习
图1 图2B C B C
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解:依题意可知,在Rt∆ADC中
所以树高为19.2+1.72≈20.9(米)
3.为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测
得仰角∠ACD=52°,已知人的高度是1.72米,求树高(精确
到0.1米).
A
D
BE
C
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4.如图3,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是
45°和30°,已知CD=200米,点C在BD上,则树高AB等
于 (根号保留).
5.如图4,将宽为1cm的纸条沿BC折叠,使∠CAB=45°,则
折叠后重叠部分的面积为 (根号保留).
图3 图4
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铅
直
线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
1.在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;
从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
课堂小结
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3.认真阅读题目,把实际问题去掉情境转化为数学中
的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形(矩形或平
行四边形)与三角形来解决.
2.梯形通常分解成矩形和直角三角形(或分解成平行
四边形与直角三角形)来处理.
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24.4 解直角三角形
第3课时 坡度问题
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1.了解坡度的概念;(重点)
2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.(难点)
学习目标
华师版九年级数学上册教学课件
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理);
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º;
(3)边角之间的关系:
tanA= a
bsinA= a
c
cosA= b
c
(必有一边)
A C
B
a
b
c
别忽略我哦!
导入新课
回顾与思考
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水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的
坡度i=1∶3 ,斜坡CD的坡度i=1∶2.5 , 则斜坡CD的坡面角α ,
坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少?
A D
B C
i=1:2.523
6
讲授新课
坡度问题
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α
l
hi= h : l1.坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α .
2.坡度(或坡比)
坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.
如图所示,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)
的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i, 即 i=——h
l
3.坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡
面
水平面
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1.斜坡的坡度是 ,则坡角α=______度.
2.斜坡的坡角是45°,则坡比是 _______.
3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.
α
l
h
30
1:1
练一练
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例:水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB
的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:
(1)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m );
(2)斜坡CD的坡角α(精确到 1°).
E F
A D
B C
i=1:2.5 23
6
α
分析:由坡度i会想到产生铅垂高度,即分别过点B、C
作AD的垂线;
典例精析
华师版九年级数学上册教学课件
垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE,Rt△CFD和矩形
BEFC,则AD=AE+EF+FD, EF=BC=6m,AE、DF可结合坡度,
通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出;
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解
Rt△ ABE和Rt△ CDF.
解:(1)分别过点B、C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E、
F,由题意可知
E FA D
B C
i=1:2.5 23
6
α
BE=CF=23m ,EF=BC=6m.
在Rt△ABE中
华师版九年级数学上册教学课件
在Rt△DCF中,同理可得
=69+6+57.5=132.5m
在Rt△ABE中,由勾股定理可得
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4,
由计算器可算得
答:坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.斜坡
CD的坡角α约为22°.
华师版九年级数学上册教学课件
如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面
的铅直高度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求:
(1)坡角a和β;
(2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
B
A D
F E C
6m
α β
i=1:
3i=1:1.5
解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90°
在Rt△CDE中,∠CED=90°
探究归纳
完成第(2)题
华师版九年级数学上册教学课件
与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而
山坡是“曲”的,怎样解决这样的问题呢?
hh
αα
ll
华师版九年级数学上册教学课件
我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“
化整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,
划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,
可以量出这段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出
这段山坡的高度h1=l1sina1.
h
α
l
华师版九年级数学上册教学课件
在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法
分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”
,把h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,
以直代曲”的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在
数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面
的内容.
方法归纳
华师版九年级数学上册教学课件
解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情
况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的
高度h时,只要测出仰角a和大坝的坡面长度l,就能算出
h=lsina,但是,当我们要测量如图所示的山高h时,问题就
不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长
度l.
化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问
题的策略
华师版九年级数学上册教学课件
1.一段路基的横断面是梯形,高为4米,上底的宽是12米,
路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°,求路基下底
的宽(精确到0.1,米, ).
45° 30°
4米
12米
A B
C
E F
D
当堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F.由题意可知
DE=CF=4(米),
CD=EF=12(米).
在Rt△ADE中,
在Rt△BCF中,同理可得
因此AB=AE+EF+BF≈4+12+6.93≈22.93(米).
答: 路基下底的宽约为22.93米.
45° 30°
4米
12米
A B
C
E F
D
华师版九年级数学上册教学课件
2.如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角
∠ABC=74°,坝顶到坝脚的距离AB=6 m.为了提高拦河坝的
安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D,请
你计算AD的长(精确到0.1 m).
华师版九年级数学上册教学课件
[解析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边,将坡
角看做直角三角形的一个锐角,分别作AE,DF垂直于BC,构
造直角三角形,求出BE,BF,进而得到AD的长.
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化
为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数去解直
角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
复习和小结
第24章 解直角三角形
华师版九年级数学上册教学课件
锐角三角
函数
特殊角的三
角函数
解直角三
角形
简单实际
问题
c
a
b
A
BC
知识构架
华师版九年级数学上册教学课件
锐角三角
函数
(两边之比)
华师版九年级数学上册教学课件
特殊角的三
角函数
2
1
30°
1
1
45°
2
1 60°
30°
+
60°=
90°
华师版九年级数学上册教学课件
解直角
三角形
∠A+ ∠ B=90°
a2+b2=c2
三角函数
关系式
计算器
由锐角求三角函数值
由三角函数值求锐角
华师版九年级数学上册教学课件
简单实
际问题 数学模型
解直角三角形
梯形
组合图形
三角形
构建
作高转
化为直
角三角
形
华师版九年级数学上册教学课件回顾思考
华师版九年级数学上册教学课件
(2)∠A的余弦:cosA= = ;
(3)∠A的正切:tanA= = .
华师版九年级数学上册教学课件[易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前
提是在直角三角形中.
2.30°,45°,60°角的三角函数值
sin30°= ,sin45°= ,sin60°= ;
cos30°= ,cos45°= ,cos60°= ;
tan30°= ,tan45°= ,tan60°= .
3.解直角三角形的依据
(1)在 Rt△ABC中 , ∠C= 90°, a, b, c分 别 是 ∠A,
∠B,∠C的对边.
1
华师版九年级数学上册教学课件
三边关系: ;
三角关系: ;
边角关系:sinA=cosB= ,cosA=sinB= ,
tanA= ,tanB= .
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件:解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是
边),就可以求出其余的3个未知元素.
a2+b2=c2
∠A=90°-∠B
华师版九年级数学上册教学课件
解法:①一边一锐角,先由锐角关系求出另一锐角;知
斜边,再用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一
直角边,再用正弦或勾股定理求斜边.②知两边:先用勾股
定理求另一边,再用边角关系求锐角.③斜三角形问题可通
过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题.
华师版九年级数学上册教学课件
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=4,AD
=BC,cos∠ADC= ,求:(1)DC的长;(2)sinB的值.
分析:题中给出了两个直角三角形,DC和sinB可分别在
Rt△ACD和ABC中求得,由AD=BC,图中CD=BC-BD,由
此可列方程求出CD.
A
B CD
随堂练习
华师版九年级数学上册教学课件
解:(1)设CD=x,在Rt△ACD中,cos∠ADC= ,
又BC-CD=BD
解得x=6
∴CD=6
A
B CD
华师版九年级数学上册教学课件
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD
在Rt△ACD中
在Rt△ABC中
华师版九年级数学上册教学课件
[解析] 要求△ABC的周长,先通过解Rt△ADC求出CD和
AD的长,然后根据勾股定理求出AB的长.
华师版九年级数学上册教学课件
华师版九年级数学上册教学课件
3.如图所示,电视塔高AB为610米,远处有一栋大楼,
某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°,在楼顶D处测得塔
顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC;
(2)求大楼的高度CD(精确到1米).
华师版九年级数学上册教学课件[解析] (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长;
(2)在Rt△BDE中,运用直角三角形的边角关系即可求出
BE的长,用AB的长减去BE的长度即可.
华师版九年级数学上册教学课件
A
B
Cb
ac
课堂小结
华师版九年级数学上册教学课件
解应用题时,先要将实际问题转化为数学问题,找出直角三
角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁,从而利用解直角
三角形的知识得到数学问题的答案,最后得到符合实际情况
的答案.
解直角三角形的一般思路是:有斜(斜边)用弦(正弦、余
弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中.对于较复杂的
图形,要善于将其分解成简单的图形,并借助桥梁(相等的边、
公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起,
从而达到解题的目的.
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