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- 2021-11-12 发布
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华师版九年级数学上册教学课件
第21章 二次根式
21.1 二次根式
华师版九年级数学上册教学课件
学习目标
1.理解二次根式的概念;
2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点)
3.探索二次根式的性质; (难点)
4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
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问题2 什么是一个数的算术平方根?如何表示?
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
问题1 什么叫做一个数的平方根?如何表示?
一般地,若一个数的平方等于a,则这个数就叫做a的平方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是 .
用 (a≥0)表示.
观察与思考
导入新课
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正数有两个平方根且互为相反数;
0有一个平方根就是0;
负数没有平方根.
问题3 平方根的性质:
问题4 所有实数都有算术平方根吗?
正数和0都有算术平方根;
负数没有算术平方根.
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S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,则半径为__________.
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如图所示的值表示正方形的面积,则
正方形的边长是 . b-3
表示一些正数的算术平方根.
你认为下列各代数式有哪些共同特点?
讲授新课
二次根式的定义及有意义的条件一
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二次根式的定义
理解要点:两个必备特征
①外貌特征:含有“ ”
②内在特征:被开数a ≥0
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a既可以是一个数,也可以是一个式子.
1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
知识归纳
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识!
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例 下列各式是二次根式吗?
(m≤0), (x,y 异号)
解析:(1)、(4)、(6)均是二次根式,其中 +1属于
“非负数+正数”的形式一定大于零.而(5)中
xy<0,
(7)根指数不是2,是3.而(3)不是,是因为在实
数范围内,负数没有平方根.
典例精析
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4 2
0
1.根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
二次根式的性质1及应用二
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一般地,有
归纳
由其定义我们还可进一步知道:二次根式具有双重非负性.
到目前为止,非负数的三种表现形式归纳如下:a2, ︱a︱,
文字叙述:任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.
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计算
解:
(2)用到了
(ab)2=a2b2这个
结论.
练一练
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类似地,计算:
再计算:
0.5
0
0.5
二次根式的性质2及应用三
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一般地,有
a
-a
(a≥0)
(a<0)
归纳
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2.从取值范围来看,
a≥0 a取任何实数
1.从运算顺序来看,
先开方,后平方 先平方,后开方
3.从运算结果来看:
=a a (a≥0)
-a(a<0)
==∣a∣
知识要点
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化简
解:
练一练
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解:由x-1≥0,得 x≥1
1. 当x取何值时, 二次根式有意义?
当x≥1时, 在实数范围内有意义.
试求当x=5时,二次根式 的值.
当x=5时,
思考:当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?
x为全体实数.
当堂练习
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2.(1)若 ,
则a-b+c=___ ;
解:
(1)由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
(2)由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015,
所以x+2y=1+2×2015=4031.
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(1)二次根式的概念
(2)根号内字母的取值范围
(3)二次根式的值
抓住被开数必须为非负数,从而建立不等式求出其解集.
课堂小结
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二
次
根
式
定义
性质
(a≥0)
(即 表示一个非负数)
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21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根
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学习目标
1.利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算;
(重点)
2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点)
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问题1 什么叫二次根式?
问题2 两个基本性质:
=a
a (a≥0)
-a (a<0)
==∣a∣
(a≥ 0)
导入新课
观察与思考
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当a 是正数或0 时, 是实数吗?取a 值分别为1,2,3
,4,5试一试!
类比有理数的运算,你认为任何两个实数之间可以进行
哪些运算?
加、减、乘、除四则运算
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两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算?怎样运算?
让我们从研究乘法开始.
请写出两个二次根式,猜一猜,它们的积应该是多少?
特殊化,从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考!
?
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计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律?
1. × =____
(a≥0,b≥0)
6 6
20 20
一般地,对于二次根式的乘法法则是:
讲授新课
二次根式的乘法法则及运算一
_____2516___,25162. =×=×
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a、b必须都是非负数!
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
(a≥0,b≥0)
知识要点
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计算
解:
练一练
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反过来:
(a≥0,b≥0)
(a≥0,b≥0)
一般地,有
在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表示正数.
积的算术平方根的性质及化简二
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化简:
(1) (2)
解:
练一练
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1.把被开方数分解因式(或因数) ;
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因
数)的算术平方根的积;
化简二次根式的步骤:
3.如果因式中有平方式(或平方数),应用关系式
(a≥0)把这个因式(或因数)开出来,将二次根式化简.
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想一想?
成立吗?为什么?
非
负
数
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解:解:
1.1.计算:计算:
当堂练习
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2.2.计算:计算:
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1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根.
(a≥0,b≥0)
2.化简二次根式的步骤:
3)将平方项应用 化简.
1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2)应用
课堂小结
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21.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
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学习目标
1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质;
(重点)
2.会利用除法法则进行二次根式的运算.(难点)
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1.二次根式的两个基本性质:
=a (a ≥ 0)
=∣a∣
a (a≥ 0)
-a (a<0)=
导入新课
观察与思考
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2.二次根式的乘法:
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
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3.二次根式乘法运算规律公式
(a≥0,b≥0)
关键:将被开方数因式分解或因数分解,使被开方数出现
“完全平方数”或“偶次方因式偶次方因式”.
如何化简二次根式
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(2)
(3)
_______;
_______;
_______;
_______;
_______;
_______.
计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?
讲授新课
二次根式的除法法则及运算一
我们知道,两个二次根式可以进行乘法运算,那么,
两个二次根式能否进行除法运算呢?
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归纳
一般地,二次根式的除法法则
(a≥0,b>0)
两个二次根式相除,等于把被开方数相除,作为商的被开
方数.
思考:等式中
的a和b有没有
条件的限制?
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解:
典例精析
例1 计算:
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商的算术平方根的性质及化简二
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注意:(1) 这里的被开方数是一个整式(可以是多项式,也
可以是单项式).
(2) 注意被开方数的取值范围.
1.与积的算术平方根的性质比较:
共同点:一个根号变成两个根号.
区别:取值范围不同.
商的算术平方根:
2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题:
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解:
提示:(1)要进行根式化简,关键是要搞清楚分式的分子和分
母都乘什么,有时还要对分母进行化简;(2)有理化因式确定
方法.如 有理化因式是它本身, 的有理化因式是 .
这种方法有的地方称之
为分母有理化,即把分
母中的根号化去的过程.
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例2 化简
解:
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观察上面各数并思考:
(1)你觉得这些数能否再化简,它们已经是最简二次根式
了吗?
(2)这些结果有什么共同特点,你认为一个二次根式满足
什么条件就可以说它是最简二次根式了?
最简二次根式的概念及判断三
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可以发现这些式子有如下两个特点:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
简记为:分母
无根号,根号
无分母
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解:
解题支招:为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次
根式,需要熟记1~100以内非二次根式的化简.
如 等.
典例精析
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1.化简:
2.把下列各式分母有理化:
当堂练习
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1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2. 二次根式的除法有两种常用方法:
(1)利用公式:
(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有理化运算.
课堂小结
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3.最简二次根式的概念
被开方数不含分母;
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
4.如何化去分母中的根号,请举例说明.
可以用二次根式的性质,乘除运算法则及分数基本性质化去
分母中的根号.
5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么?
把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本
性质,二次根式的乘除运算,分数基本性质.
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21.3 二次根式的加减
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学习目标
1.探索二次根式加减运算的步骤和方法;(重点)
2.了解二次根式的混合运算可类比整式的混合运算及数的混
合运算;(重点)
3.准确熟练地进行二次根式的混合运算.(难点)
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二次根式计算、化简的结果符合什么要求?
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
导入新课
回顾思考
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观察下列二次根式有什么共同特征:
(1) … , , ,
(2) … , , ,
每组的二次根式的被开方数相同
讲授新课
同类二次根式一
探究归纳
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, , , , , (3)
…
经过化简后,各
根式被开方数相
同,像这样的几
个二次根式被称
为同类二次根式.
下列根式又有什么共同特征?
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(1)说出 的三个同类二次根式;
(2)下列各式中哪些是同类二次根式?
巩固概念:
答案不唯一,如
先化成最
简二次根
式,再作
判断.
答:
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问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板,能否采用如图的方
式,在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木
板?
7.5dm
5dm
二次根式的加减法则及运用二
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(化成最简二次根式)
(逆用分配律)
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正
方形木板.
解:列式如下:
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思考:如何合并同类二次根式?
合并同类二次根式的方法是:
(1)化为最简二次根式
(2)系数相加减
(3)二次根式不变
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二次根式的加减法则
类比合并同类项,说说计算过程有什么规律?
二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,
再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.
一化 二找 三合并
知识要点
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例 计算
提示 按照二次根式的加减法则进行,即先化简,后判定,
再合并.
典例精析
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解:
比较二次根式的加减与整式的加减,你能得出什么结论?
二次根式的加减实质是合并同类二次根式(被开方数相同).
整式的加减的实质是合并同类项.
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(1) (2)
计算:
思考:(1)中,先计算什么?后计算什么,最后的目
标是什么?(2)呢?
二次根式的混合运算方法三
典例精析
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与有理数、实数运算一样,在混合运算中先乘除,
后加减;
对于(1):先算乘,再化简,若有相同的二次根
式进行合并,最后的目标是二次根式是最简二次根式;
对于(2):先算除,再化简,若有相同的二次根
式进行合并,把所有的二次根式化成最简二次根式.
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解:(1)
思考:(1)中,每一步的依据是什么?
第一步的依据是:分配律或多项式乘单项式;
第二步的依据是:二次根式乘法法则;
第三步的依据是:二次根式化简.
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解:(2)
思考:(2)中,每一步的依据是什么?
第一步的依据是:多项式除以单项式法则;
第二步的依据是:二次根式除法法则.
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二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样,
体现在:运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然
适用.
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
完全平方公式
知识要点
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1.计算
解:
解:
解题反思:(1)有括号的先去括号再进行运算;
(2)被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的.
当堂练习
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2. 计算:
(1) (2)
(3)
提示 把二次根式看成“项”,(1)、(2)、(3)分别
可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、
“多项式×多项式”的运算.
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看看和你做的一样吗?
(1)
解:
(2)
(3)
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3. 计算: 用了公式(a+b)
(a-b)
=a2-b2.
用了公式
(a+b)2
=a2+2ab+b2.
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1.同类二次根式的定义.
2.二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式;
(2)把各个同类二次根式合并.
3.如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果
的系数,根号及根号内部都不变.
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这
几个二次根式就叫做同类二次根式.
课堂小结
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谈一谈本节课自己的收获和感受?
(1) 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立;
(2)计算结果最后一定要化成最简形式;
(3)二次根式的混合运算与整式的运算非常类似,即运算性质
和运算律是一致的,体现了数式通性的特点;
(4)计算时要做到准确熟练.
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复习和小结
第21章 二次根式
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加 、减、乘、除
二
次
根
式
三个概念
两个性质
两个公式
四种运算
最简二次根式
同类二次根式
有理化因式
1.
2.
2.
1.
知识梳理
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1.二次根式的概念
一般地,形如____(a≥0)的式子叫做二次根式;
对于二次根式的理解:
①带有根号;②被开方数是非负数,即a≥0.
[易错点] 二次根式中,被开方数一定是非负数,否则就没
有意义.
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2.二次根式的性质
3.最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
(1)被开方数不含_______;
(2)被开方数中不含能___________的因数或因式.开得尽方
分母
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4.二次根式的运算
=______(a≥0,b≥0); =____(a≥0,b>0).
二次根式加减时,可以先将二次根式化成_____________,
再将________________的二次根式进行合并.被开方数相同
最简二次根式
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1. 当x _____ 时, 有意义.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解得 - 5≤x<3
解: ①
②
说明:二次根式被开方数不小于
0,所以求二次根式中字母的取
值范围常转化为不等式(组).
≤3
a=4
考点分类
确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围一
2. 有意义的条件是 .
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1.已知: + =0,求 x-y 的值.
2.已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解:由题意,得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
D
二次根式的非负性的应用二
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方法技巧
初中阶段主要涉及三种非负数: ≥0, ≥0,a2≥0.如
果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.即
由a≥0,b≥0,c≥0且a+b+c=0,一定得到a=b=c=0,这
是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.
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二次根式性质的应用三
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设 =a, =b,用含a,b的式子表示 ,则下列表
示正确的是( )
A.0.03ab B.3ab
C.0.1ab3 D.0.1a3b
C
二次根式的化简四
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A
二次根式的运算五
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1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
2.二次根式的非负性的应用
3.二次根式性质的应用
4.二次根式的化简
5.二次根式的运算
复习归纳
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C
0
课后演练
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33.若1.若1<<xx<<4,则化简 4,则化简
的结果是_____ 的结果是_____
4.下列各式中,是最简二次根式的是( )
3
B
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55..下列各式中那些是二次根式?那些不是?为什么?下列各式中那些是二次根式?那些不是?为什么?
⑧⑧⑦⑦
⑥⑥⑤⑤④④
①① ②② ③③a<0
-(a2+1)<0
(a-1)2≥0
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6.计算:
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若a为底,b为腰,此时底边上的高为
∴三角形的面积为
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形
的面积.
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0√
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为
∴三角形的面积为
7.
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(2)如图所示,AD⊥DC于D,
BC⊥CD于C,
A
B
PD C若点P为线段CD上动点.
已知△ABP的一边AB=
①则AD=____ BC=____12
(1)在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP,使三角形的
三边为
8.
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② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP,BP,则AP=_________,
BP=__________.
③ 当a=1 时,则PA+PB=______,
当a=3,则PA+PB=______.
④ PA+PB是否存在一个最小值?
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