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  • 2021-11-12 发布

人教版初中数学九年级下册课件第二十六章小结与复习

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小结与复习 第二十六章 反比例函数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义:形如________ (k为常数,k≠0) 的函数称为反 比例函数,其中x是自变量,y是x的函数,k是比例 系数. 三种表达式方法: 或 xy=kx 或y=kx-1 (k≠0). 防错提醒:(1)k≠0;(2)自变量x≠0;(3)函数y≠0. ky x  ky x  2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象:反比例函数 (k≠0)的 图象是 ,它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ; 对称中心是: . 双曲线 原点 ky x  y = x y=-x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k>0 一、三象 限(x,y 同号) 在每个象 限内,y 随 x 的增 大而减小 k<0 二、四象 限(x,y 异号) 在每个象 限内,y 随 x 的增 大而增大 ky x  x y o x y o (3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义:反比例函数图象上的点 (x,y) 具有 两坐标之积 (xy=k) 为常数这一特点,即过双曲线 上任意一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律:过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线, 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 . 2 k 3. 反比例函数的应用 ◑ 利用待定系数法确定反比例函数: ① 根据两变量之间的反比例关系,设 ; ② 代入图象上一个点的坐标,即 x、y 的一对 对应值,求出 k 的值; ③ 写出解析式. ky x  ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y=k1x+b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. 2ky x  ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程:分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意:实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值. 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比例函数? ① y = 3x-1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ 1y x  ④ 2 3 xy  1y x  ⑥ ⑦ 1 3y x  ⑧ 3 2y x  ky x  1 3 1 3  2. 已知点 P(1,-3) 在反比例函数 的图象上, 则 k 的值是 ( ) A. 3        B. -3 C. D. B 3. 若 是反比例函数,则 a 的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数   2 21 ay a x   A 例1 已知点 A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3) 都在反 比 例函数 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A. y3<y1<y2 B. y1<y2<y3 C. y2<y1<y3 D. y3<y2<y1 解析:方法①分别把各点代入反比例函数求出y1, y2, y3的值,再比较出其大小即可. 方法②:根据反比例函数的图象和性质比较. 考点二 反比例函数的图象和性质 D  6y x  方法总结:比较反比例函数值的大小,在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能 按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定. y1 >0>y2 针对训练 已知点 A (x1,y1),B (x2,y2) (x1<0<x2)都在反 比例函数 (k<0) 的图象上,则 y1 与 y2 的大小关 系 (从大到小) 为 . ky x  例2 如图,两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PA ⊥ x 轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为 .1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 4y x  2y x  针对训练 1. 如图,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半轴 上 一点,过点 M 的直线 l∥ y 轴,且直线 l 分别与反比 例函数 (x>0)和 (x>0) 的图象交于P,Q 两点,若 S△POQ=14, 则 k 的值为 . 8y x  ky x  20 4 10 2. 如图,已知点 A,B 在双曲线 上,AC⊥x 轴于 点C,BD⊥y 轴于点 D,AC 与 BD 交于点 P,P 是 AC 的中点,若△ABP 的面积为6,则 k = .24 ky x  E F S△ABP= S四边形BFCP, = (S四边形BDOF-S四边形 OCPD) = (S四边形BDOF- S四边形 AEOC) = (k- k)= k = 6. ∴ k =24. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 考点四 反比例函数的应用 例3 如图,已知 A (-4, ),B (-1,2) 是一次函数 y =kx+b 与反比例函数 (m<0)图象的两个交点, AC⊥x 轴于点 C,BD⊥y 轴于点 D. (1) 根据图象直接回答:在第二象限内,当 x 取何值 时,一次函数的值大于反比例函数的值; 1 2 my x  O B A x y C D 解:当-4< x <-1时,一 次函数的值大于反比例 函数的值. (2) 求一次函数解析式及 m 的值; 解:把A(-4, ),B(-1,2)代入 y = kx + b中 ,得 1 2 -4k + b = , 1 2 -k + b =2, 解得 k = , 1 2 b = , 5 2 所以一次函数的解析式为 y = x + . 1 2 5 2 把 B (-1,2)代入 中,得 m =- 1×2=-2. my x  (3) P 是线段 AB 上的一点,连接 PC,PD,若△PCA 和 △PDB 面积相等,求点 P 坐标. O B A x y C DP ∵ △PCA面积和△PDB面积相等, ∴ AC·[t-(-4)]= BD·[2-[ 2-( t+ )],1 2 1 2 5 2 1 2 解得:t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( , ). 5 2  5 2  5 4 解:设点 P 的坐标为 ( t, t + ),P点到直线 AC 的 距离为 t-(-4),P 点到直线 BD 的距离为2- ( t+ ). 1 2 5 2 1 2 5 2 方法总结:此类一次函数,反比例函数,二元一次方 程组,三角形面积等知识的综合运用,其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中,求三角形或四边形面积 时,是要选取合适的底边和高,正确利用坐标算出线 段长度. 针对训练 如图,设反比例函数的解析式为 (k>0). (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一 个 交点 P 的纵坐标为 2,求 k 的值; 3ky x  O y x 解:由题意知点 P 在正比例函数 y =2x 上, 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式,得P (1,2), 把 P (1,2) 代入 , 得到 3ky x  2.3k  P2 (2) 若该反比例函数与过点 M (-2,0) 的直线 l: y=kx +b 的图象交于 A,B 两点,如图所示,当 △ABO 的面积为 时,求直线 l 的解析式; 16 3 解:把 M (-2,0) 代入 y = kx + b, 得 b= 2k,∴y = kx+2k, O A y B x M l N 解得 x =-3 或 1. y=kx+2k, ∴ 3ky x  , ∴ B (-3,-k),A (1,3k). ∵ △ABO的面积为16 3 , ∴ 2·3k· + 2·k· = 1 2 1 2 16 3 , 解得 4.3k  ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + .4 3 8 3 O y x M l N A (1,3k) B (-3,-k) (3) 在第(2)题的条件下,当 x 取何值时,一次函数的 值小于反比例函数的值? O y x M l N A (1,3k) B (-3,-k) 解:当 x <-3或 0<x<1 时,一次函数的值小于反 比例函数的值. 例4 病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后 2 小 时,每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后,2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位:毫克) 与时间 x (单位:小时) 成正比例;2 小时后 y 与 x 成反 比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题: (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 的函数解析式; 解:当 0 ≤ x ≤2 时,y 与 x 成正比 例函数关系. 设 y =kx,由于点 (2,4) 在 线段上, 所以 4=2k,k=2,即 y=2x. O y/毫克 x/小时2 4 (2) 求当 x > 2 时,y 与 x 的函数解析式; 解:当 x > 2时,y 与 x 成反比例函数关系, 设 .ky x  解得 k =8. 由于点 (2,4) 在反比例函数的图象上, 所以 4 2 k , 即 8.y x  O y/毫克 x/小时2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长? 解:当 0≤x≤2 时,含药量不低于 2 毫克,即 2x≥2, 解得x≥1,∴1≤x≤2; 当 x>2 时,含药量不低于 2 毫克, 即 ≥ 2,解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.8 x 所以服药一次,治疗疾病的有 效时间是 1+2=3 (小时). O y/毫克 x/小时2 4 如图所示,制作某种食品的同时需将原材料加热, 设该材料温度为y℃,从加热开始计算的时间为x分 钟.据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一 次函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃,加 热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热,停止加热 后,材料温度逐渐下降,这 时温度y与时间 x 成反比例 函数关系,已知第 12 分钟 时,材料温度是14℃. 针对训练 O y(℃) x(min)12 4 14 28 (1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式(写出x的取值范围); O y(℃) x(min)12 4 14 28 答案: y = 168 x 4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6), (x>6). (2) 根据该食品制作要求,在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内,需要对该材料进行特殊处理,那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解:当y =12时,y =4x+4,解得 x=2. 由 ,解得x =14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14-2=12 (分钟). 168y x  O y(℃) x(min)12 4 14 28 课堂小结 反 比 例 函 数 定义 图象 性质 x,y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用