人教版初中数学九年级下册课件第二十六章小结与复习 29页

小结与复习 第二十六章 反比例函数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义：形如________ (k为常数，k≠0) 的函数称为反 比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)． 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. ky x  ky x  2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 ky x  y = x y=－x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 一、三象 限(x，y 同号) 在每个象 限内，y 随 x 的增 大而减小 k＜0 二、四象 限(x，y 异号) 在每个象 限内，y 随 x 的增 大而增大 ky x  x y o x y o (3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有 两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 2 k 3. 反比例函数的应用 ◑ 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ky x  ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. 2ky x  ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值. 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ 1y x  ④ 2 3 xy  1y x  ⑥ ⑦ 1 3y x  ⑧ 3 2y x  ky x  1 3 1 3  2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3　　　　　　　　B. －3 C. D. B 3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数   2 21 ay a x   A 例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反 比 例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出y1， y2， y3的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D　 6y x  方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限 内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能 按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． y1 ＞0＞y2 针对训练 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反 比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关 系 (从大到小) 为 . ky x  例2 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA ⊥ x 轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 .1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 4y x  2y x  针对训练 1. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上 一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与反比 例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交于P，Q 两点，若 S△POQ=14， 则 k 的值为 . 8y x  ky x  20 4 10 2. 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，AC⊥x 轴于 点C，BD⊥y 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若△ABP 的面积为6，则 k = .24 ky x  E F S△ABP= S四边形BFCP， = (S四边形BDOF－S四边形 OCPD) = (S四边形BDOF－ S四边形 AEOC) = (k－ k)= k = 6. ∴ k =24. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 考点四 反比例函数的应用 例3 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y =kx+b 与反比例函数 (m＜0)图象的两个交点， AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； 1 2 my x  O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. (2) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把A(－4， )，B(－1，2)代入 y = kx + b中 ，得 1 2 －4k + b = ， 1 2 －k + b =2， 解得 k = ， 1 2 b = ， 5 2 所以一次函数的解析式为 y = x + . 1 2 5 2 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－ 1×2=－2. my x  (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 坐标. O B A x y C DP ∵ △PCA面积和△PDB面积相等， ∴ AC·[t－(－4)]= BD·[2－[ 2－( t+ )]，1 2 1 2 5 2 1 2 解得：t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， )． 5 2  5 2  5 4 解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的 距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t+ )． 1 2 5 2 1 2 5 2 方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方 程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清 解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积 时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线 段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一 个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； 3ky x  O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得P (1，2)， 把 P (1，2) 代入 ， 得到 3ky x  2.3k  P2 (2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l： y=kx +b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 16 3 解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b， 得 b= 2k，∴y = kx+2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1. y＝kx+2k， ∴ 3ky x  ， ∴ B (－3，－k)，A (1，3k). ∵ △ABO的面积为16 3 ， ∴ 2·3k· + 2·k· = 1 2 1 2 16 3 ， 解得 4.3k  ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ．4 3 8 3 O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 解：当 x ＜－3或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小 时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知 服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克) 与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反 比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝kx，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时2 4 (2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设 .ky x  解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 4 2 k ， 即 8.y x  O y/毫克 x/小时2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得x≥1，∴1≤x≤2； 当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴2< x ≤4.8 x 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热， 设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分 钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一 次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加 热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度y与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y(℃) x(min)12 4 14 28 (1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出x的取值范围）； O y(℃) x(min)12 4 14 28 答案： y = 168 x 4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)， (x＞6). (2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2． 由 ，解得x =14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 (分钟)． 168y x  O y(℃) x(min)12 4 14 28 课堂小结 反 比 例 函 数 定义 图象 性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用