人教版九年级数学上册教案：21_3 实际问题与一元二次方程（4） 5页

1 21.3 实际问题与一元二次方程(4) 教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题． 教学目标 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 重难点关键 1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 2．难点与关键：建模． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方 程的数学模型，并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题． 例 1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t（s）•之间的关系为： •s=10t+3t2，那么行驶 200m 需要多长时间? 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200•代入求关系 t 的一元二次方程即可． 解：当 s=200 时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得 t= 20 3 （s） 答：行驶 200m 需 s． 例 2．一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车后汽车又 滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析：（1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．•因为刹车以 后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 20 0 2  =10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为 车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间 即可． （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs．•由于平均每秒减少车速已从上题求出， 所以便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路 程=速度×时间，便可求出 x 的值． 2 解：（1）从刹车到停车所用的路程是 25m；从刹车到停车的平均车速是 20 0 2  =10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是 25 10 =2.5（s） （2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20 2.5 =8（m/s） （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为 20 (20 8 ) 2 x=（20-4x）m/s 所以 x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得 x= 5 10 2  x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s． 三、巩固练习 （1）同上题，求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间．（精确到 0.1s） （2）刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间．（精确到 0.1s） 四、应用拓展 例 3．如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，•在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：•小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般 补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处， •那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里） B A CE D www.czsx.com.cn F 分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求 DF 的长． （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 Rt△DEF 中， 由勾股定理即可求． 解：（1）连结 DF，则 DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC= 2 AB=200 海里，∠C=45° 3 ∴CD= 1 2 AC=100 2 海里 DF=CF， DF=CD ∴DF=CF= 2 2 CD= ×100 =100（海里） 所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里． （2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2 整理，得 3x2-1200x+100000=0 解这个方程，得：x1=200-100 6 3 ≈118.4 x2=200+ （不合题意，舍去） 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里． 五、归纳小结 本节课应掌握： 运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题． 六、布置作业 1．教材综合运用 9 复习题 22 综合运用 9． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，•则这个两位数为（ ）． A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2．某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费）；超 过 3km 以后，每增加 1km，加收 2.4 元（不足 1km 按 1km 计），某人乘出租车从甲地到 乙地共支付车费 19 元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）． A．正好 8km B．最多 8km C．至少 8km D．正好 7km 二、填空题 1．以大约与水平成 45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离 s（单位：m）•与标枪 出手的速度 v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s= 2 9.8 v +2 如果抛出 40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到 0.1） 2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，•通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（m） 与时间 t（s）的数据如下： 时间 t（s） 1 2 3 4 …… 距离 s（m） 2 8 18 32 …… 4 写出用 t 表示 s 的关系式为_______． 三、综合提高题 1．一个小球以 10m/s 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动 20m 后小球停下 来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到 5m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 2．某军舰以 20 节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30•节的速度由南向北航行，它 能侦察出周围 50 海里（包括 50 海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至 A 处时，电 子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB=90 海里，•如果军船和侦察船仍按原速度沿 原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，•最早何时能侦察到? 如果不能，请说明理由． 北 东 B A www.czsx.com.cn 答案: 一、1．C 2．B 二、1．19.3m/s 2．s=2t2 三、 1．（ 1）小球滚动的平均速度=10 0 2  =5（m/s） 小球滚动的时间： 20 5 =4（s） （2）10 0 4  =2.5（m/s） （3）小球滚动到 5m 时约用了 xs 平均速度=10 (10 2.5 ) 2 x = 20 2.5 2 x 依题意，得：x· =5，整理得：x2-8x+4=0 解得：x=4±2 3 ，所以 x=4-2 5 2．能．设侦察船最早由 B 出发经过 x 小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502 整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（ x-2）=0，x1=2 2 13 ，x2=2， ∴最早再过 2 小时能侦察到．