2013年广东省梅州市中考数学试题（含答案） 12页

广东省梅州市2013年中考数学试卷 一、选择题．每题3分，共5小题，共15分．只有一个正确答案．‎ ‎1．（3分）四个数﹣1，0，，中为无理数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ D．‎ ‎　[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎2．（3分）从上面看如图所示的几何体，得到的图形是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎4．（3分）不等式组的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥2‎ B．‎ x＞﹣2‎ C．‎ x≤2‎ D．‎ ‎﹣2＜x≤2‎ ‎　‎ ‎5．（3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎6‎ ‎　‎ 二、填空题．每题3分，共8题，共24分．‎ ‎6．（3分）﹣3的相反数是　 　．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）若∠α=42°，则∠α的余角的度数是　 　．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）分解因式：m2﹣2m=　 　．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）化简：3a2b÷ab=　 　．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为　 　吨．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是　 　度．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）分式方程的解x=　 　．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题．共10小题，共81分．‎ ‎14．（7分）计算：．‎ ‎　‎ ‎15．（7分）解方程组．‎ ‎　‎ ‎16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）‎ ‎（1）若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为　 　；‎ ‎（2）将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为　 　；‎ ‎（3）由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．‎ ‎　‎ ‎17．（7分）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计．图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：‎ ‎（1）九年级（1）班共有　 　名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是　　 　；‎ ‎（3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有　 　名．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）已知，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（a，2）．‎ ‎（1）求a的值及反比例函数的表达式；‎ ‎（2）判断点B（，）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．‎ ‎（1）求线段EC的长；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如表：‎ 单价（元/棵）‎ 成活率 植树费（元/棵）‎ A ‎20‎ ‎90%‎ ‎5‎ B ‎30‎ ‎95%‎ ‎5‎ 设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题：‎ ‎（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？‎ ‎（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，‎ ‎（1）求证：四边形BECF是菱形；‎ ‎（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；‎ ‎（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；‎ ‎（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：‎ 探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．‎ ‎（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；‎ ‎（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．‎ 探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 一、选择题．每题3分，共5小题，共15分．只有一个正确答案．‎ ‎1．D　[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎2．C　‎ ‎3．B　‎ ‎4．A　‎ ‎5．A　‎ 二、填空题．每题3分，共8题，共24分．‎ ‎6．　3　．‎ ‎　‎ ‎7．　48°　．‎ ‎　‎ ‎8．　m（m﹣2）　．‎ ‎　‎ ‎9．　3a　．‎ ‎　‎ ‎10．　8×106　．‎ ‎　‎ ‎11．　105　．‎ ‎　‎ ‎12．　1　．‎ ‎　‎ ‎13．　（）2013　．‎ ‎　‎ 三、解答题．共10小题，共81分．‎ ‎14．解：原式=1×2﹣﹣3+2×=﹣．　‎ ‎15．解：，‎ ‎①+②得：3x=6，‎ 解得x=2，‎ 将x=2代入②得：2﹣y=1，‎ 解得：y=1．‎ ‎∴原方程组的解为 ‎　‎ ‎16．解：（1）∵点C与点A（﹣2，2）关于原点O对称，‎ ‎∴点C的坐标为（2，﹣2）；‎ ‎（2）∵将点A向右平移5个单位得到点D，‎ 点D的坐标为（3，2）；‎ ‎（3）由图可知：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2），D（3，2），‎ ‎∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），‎ ‎∴P==．‎ 故答案为（2，﹣2）；（3，2）；‎ ‎　‎ ‎17．解：（1）根据题意得：18÷30%=60（人），‎ 则九年级（1）班的人数为60人；‎ ‎（2）“一般”的人数为60×15%=9（人），‎ ‎“较差”的人数为60﹣（9+30+18）=3（人），‎ 则“较差”所占的度数为360°×=18°；‎ ‎（3）“较差”、“一般”的学生所占的百分比之和为5%+15%=20%，‎ 则对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有1500×20%=300（名）．‎ ‎　‎ ‎18．解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，‎ 解得：a=1，即A（1，2），‎ 将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，‎ 则反比例解析式为y=；‎ ‎（2）将x=2代入反比例解析式得：y==，‎ 则点B在反比例图象上．‎ ‎　‎ ‎19．解；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，‎ ‎∴AB=AE=4，‎ ‎∴DE==2，‎ ‎∴EC=CD﹣DE=4﹣2；‎ ‎（2）∵sin∠DEA==，‎ ‎∴∠DEA=30°，‎ ‎∴∠EAB=30°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为：‎ S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB ‎=﹣×2×2﹣‎ ‎=﹣2．‎ ‎　‎ ‎20．解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，由题意，得 y=（20+5）x+（30+5）（1000﹣x）=﹣10x+35000；‎ ‎（2）由题意，可得0.90x+0.95（1000﹣x）=925，‎ 解得x=500．‎ 当x=500时，y=﹣10×500+35000=30000，‎ 即绿化村道的总费用需要30000元；‎ ‎（3）由（1）知购买A种树苗x棵，B种树苗（1000﹣x）棵时，总费用y=﹣10x+35000，‎ 由题意，得﹣10x+35000≤31000，‎ 解得x≥400，‎ 所以1000﹣x≤600，‎ 故最多可购买B种树苗600棵．‎ ‎　‎ ‎21．（1）证明：∵EF垂直平分BC，‎ ‎∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，‎ 又∵∠ACB=90°，‎ ‎∴EF∥AC，‎ ‎∴BE：AB=DB：BC，‎ ‎∵D为BC中点，‎ ‎∴DB：BC=1：2，‎ ‎∴BE：AB=1：2，‎ ‎∴E为AB中点，‎ 即BE=AE，‎ ‎∵CF=AE，‎ ‎∴CF=BE，‎ ‎∴CF=FB=BE=CE，‎ ‎∴四边形BECF是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形BECF是正方形，‎ ‎∴∠CBA=45°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A=45°．‎ ‎　‎ ‎22．解：（1）∵y=2x2﹣2，‎ ‎∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，‎ 又当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2，‎ ‎∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2；‎ ‎（2）将y=6代入y=2x2﹣2，‎ 得2x2﹣2=6，x=±2，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．‎ ‎∵平行四边形的面积为8，‎ ‎∴MN边上的高为：8÷4=2，‎ ‎∴P点纵坐标为6±2．‎ ‎①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，x=±，‎ ‎∴点P的坐标为（，8），点N的坐标为（﹣，8）；‎ ‎②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，x=±，‎ ‎∴点P的坐标为（，4），点N的坐标为（﹣，4）；‎ ‎（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），‎ ‎∴OB=1，OC=2．‎ ‎∵∠QDB=∠BOC=90°，‎ ‎∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：‎ ‎①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，‎ 则=，即=，‎ 解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2，‎ ‎②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，‎ 则=，即=，‎ 解得DQ=．‎ 综上所述，线段QD的长为2m﹣2或．‎ ‎　‎ ‎23．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：‎ 由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，‎ ‎∴CF=BC•sin30°=3×=，‎ ‎∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．‎ 过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，‎ ‎∴PG=CG﹣CP=﹣1=．‎ 在Rt△APG中，由勾股定理得：‎ AP===．‎ ‎（2）由（1）可知，FC=．‎ 如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．‎ 过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．‎ 在Rt△AGP1中，cos∠P1AG===，‎ ‎∴∠P1AG=30°，‎ ‎∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；‎ 同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．‎ ‎∴∠PAB的度数为15°或75°．‎ 探究二：△AMN的周长存在有最小值．‎ 如答图3所示，连接AD．‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，‎ ‎∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．‎ ‎∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠MDA=∠NDC．‎ ‎∵在△AMD与△CND中，‎ ‎∴△AMD≌△CND（ASA）．‎ ‎∴AM=CN．‎ 设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣CN=BC﹣CN=﹣x．‎ 在Rt△AMN中，由勾股定理得：‎ MN====．‎ ‎△AMN的周长为：AM+AN+MN=+，‎ 当x=时，有最小值，最小值为+=．‎ ‎∴△AMN周长的最小值为．‎