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- 2021-11-12 发布
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v1
v2
V
V=v1+v2
v1
v2
V12=v1-
v2
v1
v2
V12
合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个
分运动的结果,对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.
当物体实际发生的运动较复杂时,我们可将其等效
为同时参与几个简单的运动,前者称作合运动,后者则
称作物体实际运动的分运动.这种双向的等效操作过程
叫运动的合成与分解,是研究复杂运动的重要方法.
构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的,物体的任意一个分运动,都按其自身规律进行,不会
因有其它分运动的存在而发生改变.
描述运动状态的位移、速度、加速度等
物理量都是矢量,对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行
四边形定则作上述物理量的运算.
独立性原理♠
运动的合成与分解遵循如下原理:
等时性原理♠
矢量性原理♠
引入中介参照系.*
根据实际效果分解运动.*
若设质点A对静止参考系C的速度(绝对速度)为vAC,动
参考系B对C的速度(牵连速度)为vBC,而A对动参考系B的速
度(相对速度)为vAB,则有v v vAC AB BC
同样地,位移的合成与分解为
v v vAB AC BC
注意矢量运算式中下标的规律性!
S S SAC AB BC
S S SAB AC BC
加速度的合成与分解为 a a aAC AB BC
a a aAB AC BC
1 2v v v
雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落,人打着伞以3 m/s
的速度向东急行,如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而
少淋雨,伞柄应指向什么方向?
本例求雨相对人(伞)的速度,引入中介参照系-人
雨对地的速度(绝对速度) v雨=4 m/s 竖直向下
v
雨
人对地的速度(牵连速度)v人=3 m/s 向东
雨对人的速度(相对速度)V雨对
人
v人
?
v v v
雨 人雨 人对
三速度矢量关系为 O
V雨对
人
伞柄方向与竖直成
1 1 3tan tan
4
v
v
人
雨
37
1 2ABv v v
由“两质点相遇”知A处质
点相对于B处质点的速度vAB
方向沿AB连线
C A
B
v1
v2 θ
v1
v2m
1 2ABv v v
vAB
d
l
θ
θ
由几何三角形与矢量三
角形关系得:
2 1 sinmv v
12 2
= d v
d l 方向与BC成
-1
12 2
sin d v
d l
一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动,与
此同时,另一质点以v2速度从B点出发做匀速运动,如图
所示,已知A、C相距l,B、C相距d,且BC⊥AC,若要
两质点相遇,v2的最小速率为多少?其方向如何?
v2
船对岸的速度(绝对速度) v
水对岸的速度(牵连速度)v水
船对水的速度(相对速度)v舟⑴关于航行时间
s
t
v
舟
舟
渡河时间取决于船对水的速度v舟:
当v舟方向垂直于河岸时,船相对于水的分运动位移S舟=d最
小,故可使渡河时间最短:
min
dt
v
舟 S
v
水
v
舟
v
河岸
d
河岸
v水
v舟v
S水
S舟
水速大小不影响渡河时间!
⑵关于实际航程
v水
v舟 v
河岸
d
河岸
θ v水
v
舟
v
河岸
d
河岸
θ
1sin
v
v
水
舟
为使航程最小,应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹
角θ尽量地小!
若v舟<v水,船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在
若v舟>v水,船的实际位移为河宽d航程即最短,故 v舟的
方向与船的航线成 船头指向上游
θ
v
舟
v
水
v
1cos
v
v
舟
水
这时船的实际航程为
v
d
v
水
舟
船头指向上游且与实际航线垂直,与上游河岸成
当船的航程最短时,航行时间不是最短.
假定某日刮正北风,风速为u,,一运
动员在风中跑步,他对地面的速度大小是v,试问他向
什么方向跑的时候,他会感到风是从自己的正右侧吹来
的?这种情况在什么条件下成为无解?在无解的情况下,
运动员向什么方向跑时,感到风与他跑的方向所成夹角
最大?
人对地的速度(牵连速度) v
风对地的速度(绝对速度)u
风对人的速度(相对速度)V
本例求相对速度,引入中介参照系-人
由题给条件,速度关系为 u V v
且V v
北
θ
V
u
v当运动员朝南偏西 1cos v
u
感到风从正右侧吹来
当v>u时,无此情况!
sin sin
v u
由
90 当 时
1
max sin u
v
当运动员朝南偏西 1cos u
v
奔跑时感到风与他跑的方
向所成夹角最大!
m
一只木筏离开河岸,初速度为v0 ,方向
垂直于岸,划行路线如图虚线所示,经过时间T,木筏
划到路线上A处,河水速度恒定为u,且木筏在水中划行
方向不变.用作图法找到2T、3T……时刻此木筏在航线
上的确切位置. 明确速度关系
木筏对岸的速度v
木筏对水的速度V,
方向不变
水对岸的速度u,
大小方向不变
三速度矢量关系为
v V u
A
y
x(河岸)u
v0
O
V
u
v0
v
S 筏 对
水
S筏
V
0
S水T S水TB S水TB B
A A
某一恒力作用在以恒定速度v运动的物
体上,经过时间t,物体的速率减少一半,经过同样的时
间速率又减少一半,试求经过了3t时间后,物体的速度
v3t之大小. 明确矢量关系!
2 1 3 2t t t t tv v v v v v v
B
D
v
vt
v2t v 3
t
△v
O
A
△v
△v
α
C
在矢量三角形中运用
余弦定理:
2
2 2 2 cos
2
v v v v v
2
22 2 2 2 cos
4
v v v v v
22 2
3 3 2 3 costv v v v v
3
7
4tv v
从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0
的物体,讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最
大. 物体做抛体运动时,只受重力作用.在落下h高度的
时间t内,速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
落地时速度v的大小为
2
0 2tv v gh
矢量关系:
0tv v v
h
v0
vt
△v
θ
θ矢量△“面积”
0
1 cos
2
S gt v
x
1
2
gx 0
1 sin
2 tv v
2 2
0 0 sintv v v
x
g
90 即当
2 2
max
0 0 tv v v
g
x
1 0
2 2
0
tan
t
v
v v
时
O x
y
网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地
射回.为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回,球拍应
以什么样的速度vP运动?如果速度v0和球拍面的法线的
夹角是α,速度vP 和此法线的夹角φ是多少?设任何时刻
球拍和球都是做平动的.
关于矢量间关系的隐含条件:
1.重球拍的“重”-可以认为拍的速度vp在碰球前后保持不变;
2. 网球弹性地射回-在碰撞前后,球相对于拍的速度大小相等、
方向相反;
3. 球和拍都是做平动-球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切
向速度分量.
vp
C
v0球对
拍
vt球
对拍
vt
B
,
2 cos
AB OAOC AB
在矢量三角形中:
0
2cospv v
故
2
2
球拍速度与球拍法线方向夹角
2
v0
A
如图所示,甲、乙两船在静水中航行速度
分别为 v甲和v乙 ,两船从同一渡口向河对岸划去.已
知甲船想以最短时间过河,乙船想以最短航程过河,结果
两船抵达对岸的地点恰好相同,则甲、乙两船渡河所用时
间之比t甲∶ t乙= . 起、止点相同,甲、乙合速度
方向一致,运动合成情况如示:
V 水
V 甲
V 甲合
V 乙V 乙合
2sin
sin
/ sin
t v v
t v v
甲 乙合 水
乙 甲合 水
2
2sin
v
v
乙
甲
而
2
vt
t v
乙
甲
甲
乙
故
:v v2 2
乙 甲
两船航程相同,时间应与合
速度成反比,由图
α
α
骑自行车的人以20 km/h 的速率向东行驶,感
到风从正北方吹来,以40 km/h 的速率向东行驶,感到风从东北方
向吹来,试求风向和风速.
人对地的速度 v人1=20 km/h ,v人2=40 km/h,方向正东
风对地的速度v风?
风对人的速度 v风对人1方向正南, v风对人2方向西南
v风
v风对人
1
v 风 对
人2
v人1
v人2
速度矢量v风= v风对人+ v人的关系如图
由图中几何关系易得
2v v 人1风
风向西北28km/h
从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一
个石块,一个以速度v1竖直上抛,另一个石块以速度v2向第一个石
块原来位置水平抛出,求这两个石块在运动过程中,它们之间的最
短距离. 一个石块对地的速度为 v1+vy
另一个石块对地的速度为 v2+vy
两者相对速度为
21 2 1 2 1y yv v v v v v v
v1
v2
v 2
1l
x 2
1
以石块1为参考系,石块2的位移方向
与v21相同:
以石块1为参考系,两石块初始距离
为l:
最
小
距
离
d
sind l 由图
1 1
2 221 1 2
sin
v v
v v v
而 1
2 2
1 2
l
v
d
v
v
这个最短距离适用于
另一石块落地之前 21
cosl
v
即 2h
g
2
2 2
1 2
lv
v v
v0
vD
A
B
如图所示,一条船平行于平直海岸线航行,船离岸
的距离为D,船速为v0 ,一艘速率为v(v<v0 )的海上警卫小艇从
港口出发沿直线航行去拦截这条船.⑴证明小艇必须在这条船驶过海
岸线的某特定点A之前出发,这点在港口后面的 处.⑵如果
快艇在尽可能迟的瞬时出发,它在什么时候和什么地方截住这条船?
2 2
0v v
D
v
⑴艇拦截到船即相遇,有艇相对
于船的速度V方向沿AB连线
两者相对速度为 0V v v
2 2
01cot
v v
v
v0
v
V
v、V夹角不会超过90°!
由速度矢量三角形得
S则
2 2
0cot
v v
DS
v
D
⑵上述是最迟出发的临界情况!
此时 0csc
v
S D D
v
相
2 2
0V v v
0
2 2
0
csc v D
v v
Dt
vV
截住船的位置在A前方
2
0
2 2
0
Dv
v v v
A
一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜
角为β1=30°,另一次安装成倾斜角度为β2=15°,问汽车两次速
度之比v1∶ v2为多少时,司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的
正面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖直下落的)
本题题眼: 各速度的矢量关系
冰雹近、离车的速度遵守“反射定律”
第一次
对车 1v v v
雹雹
15
v1
v雹
v 雹 离
车
v 雹 近
车
30
30
30
30
第二次
对车 2v v v
雹雹
v2
v雹v
雹
近
车
v 雹 离
车
15 15
60
由两矢量图
1 cot 30v v
雹
2 cot 60v v
雹
则 1
2
3
1
v
v
人具有与木马站立点相同的线速度ωr
敞开的旋转木马离转动轴距离为r,以角速度ω转
动,人站在木马上.下雨了,雨滴以速度v0竖直下落.试问人应该
怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨?
本题求雨相对人(伞)的速度方向,引入中介参照系-人
雨对地的速度(绝对速度) v0 竖直向下
v0
人对地的速度(牵连速度)v人=ωr 水平
雨对人的速度(相对速度)V雨对
人
v人
?
对v v r 0雨 人
三速度关系为 O
V雨对
人
伞柄方向与竖直成
1tan r
v
0
如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖
尾的照片(俯视).两列车沿直轨道分别以速度v1=50 km/h和v2
=70 km/h行驶,行驶方向如图所示.求风速 ?
观察照片,将两车之距离AB按5∶ 7比
例分成左、右两部分,分点C为两车相遇
处,汽雾交点为O,CO即为相遇时两车
喷出之汽被风吹后的位移,两车从相遇点
C到照片上位置历时
C
O
v1 v2
1 2
ABt
v v
风速为
1 2
COV v v
AB
在照片上量出AB与CO长度,代入上式得
35km/hV
A B
敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动,
重新绕上磁带.绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍.绕带的
时间为t1.要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带,
问需要多少时间?
设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意
d
…
r初
r末 2 29ld r r 初 初
绕薄磁带时,
2 2
2
dl R r 初
5R r 初
1
2 2r
t
d
初
由
12 5 1t t 得
带卷面积
绕一层时间绕多少层
2
5 1 2
/ 2
r
t
d
初
带卷面积
在听磁带录音机的录音时发觉:带轴上带卷的半
径经过时间t1=20min 减小一半.问此后半径又减小一半需要多少
时间t2 ?
与上题不同的是,放音时磁带是匀速率地通过的!
走带速度
/ 2r
2 2
1
4r r
t
dv
1
2 4
5min
t
t
2 2
2
1
4
r r
t
dv
通过的带长
带卷半径减半历时
d
r
快艇系在湖面很大的湖的岸边.湖岸线可以认为
是直线.突然缆绳断开,风吹着快艇以恒定的速度v0=2.5 km/h沿
与湖岸成α=15°角的方向飘去.同时岸上一人从同一地点沿湖岸
以速度v1=4 km/h行走或在水中以速度v2=2 km/h游去,此人能否
赶上快艇?当快艇速度为多大时总可以被此人赶上?
15°
v0(x+y)
v1x
v2y
设人以v1速度运动时间x,以v2速度运动时间y,则有
人赶上艇,两者位移矢量构成闭
合三角形,位移的矢量关系
0 2v x y v x v y 1
22 22 4 2.5 2 4 2.5 cos15y x x y x x y
即
整理得 2 29 50 20 6 2 89 20 6 2 0y xy x
此式有解,即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇!
推至
一般
2
50 20 6 2 4 9 89 20 6 2 0 >
v
23 1 2 6 2 16 0v v
v
2 2 km/hv 人总能赶上快艇!
如图所示, 在仰角 的雪坡上举行跳台滑雪比
赛.运动员从坡上方A点开始下滑,到起跳点O时借助设备和技巧,
保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳,最后落在坡上B
点,坡上OB两点距离L为此项运动的记录.已知A点高于O点h=50
m,忽略各种阻力、摩擦,求运动员最远可跳多少米,此时起跳角
为多大?
6
A
O
B
θ
α
h
在O点起跳速度v的大小为
0 2 10 10 m/sv gh
物体做抛体运动时,只受重力作
用.在发生L位移的时间t内,速度增
量△v恒为竖直向下,大小为gt;
矢量关系: 0Bv v v
vB
△v
θ
v0
矢量△“面积”
0
1 cos
2
S gt v
0
1 sin 90
2 Bv v 0
2
0
cos cos
2 sinB
v t L
v v gL
其中 1 cos
2
gL
2
0 03 cos
2
v v gL
L
g
0 即当 时 max 200L m
2
0 0
1 cos
2
v gL
此时由
0
sin sin 90
Bv v
30
13 cos
20 100
L
L
O N
墙
一条在湖上以恒定速度行驶的船上,有一与船固
连的竖直光滑墙壁,有一个小球沿水平方向射到墙上,相对于岸,
小球速度的大小为v1,方向与墙的法线成60°角,小球自墙反弹时
的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直.问船的速度
应满足什么条件?设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的.
设船速为v0
因为弹性碰撞,小球相对墙的入射速度与的反射速度大
小相等,速度方向 “沿着入射角与反射角”
v0
60
Cv1球对
墙
v2球对
墙
v2
B
v1
A
由图知只要v0沿墙的
法线方向分量
1
2ONv
v
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