九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程教学课件新版北师大版 20页

2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 用公式法求解一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程 . 2. 会用公式法解一元二次方程 . （重点） 3. 会用根的判别式 b 2 - 4 ac 判断一元二次方程根的情况及相关应用．（难点） 问题： 说一说 用配方法解系数不为 1 的一元二次方程的步骤？ 基本步骤如下： ① 将二次项系数化为 1. ② 将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项 . ③ 两边都加上一次项系数一半的平方 . ④ 直接用开平方法求出它的解 . 导入新课 做一做： 你能用配方法解方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) 吗 ? 一元二次方程求根公式的推导过程 一 解： 二次项系数化为 1 ，得 x 2 + x + = 0 . 配方，得 x 2 + x + （ ） 2 - （ ） 2 - = 0 , 移项，得 （ x + ） 2 = 问题 1 ： 接下来 能用直接开平方解吗？ 讲授新课 问题 2 ： 什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ （ x + ） 2 ≥ 0 , 4 a 2 ＞ 0 . 当 b 2 - 4 ac ＜ 0 时 , 不能开方 ( 负数没有平方根 ). 当 b 2 – 4 ac ≥ 0 时 , 左右两边都是非负数 . 可以开方 , 得 x + = x = 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做 公式法 . 对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) , 当 b 2 - 4 ac ≥ 0 时， 这个公式说明方程的根是由方程的 系数 a 、 b 、 c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a 、 b 、 c 的 值，直接求得方程的解 . 归纳 用公式法解一元二次方程 二 例 1 ： 解方程 （ 1 ） x 2 - 7 x – 18 = 0 . 解：这里 a =1 , b = - 7 , c = - 18 . ∵ b 2 - 4 ac = ( - 7 ) 2 - 4 × 1 × （ - 18 ） =121 >0 , ∴ 即 x 1 = 9 x 2 = - 2 . 典例精析 （ 2 ） 4 x 2 + 1 = 4 x 解：将原方程化为一般形式 , 得 4 x 2 -4 x + 1 = 0 . 这里 a = 4 , b = - 4, c = 1 . ∵ b 2 - 4 ac = ( - 4 ) 2 - 4 × 4 × 1 = 0 , ∴ 即 x 1 = x 2 = 例 2 解方程： 4 x 2 -3 x +2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根 . 解： 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 变形 : 化已知方程为一般形式 ; 2. 确定系数 : 用 a , b , c 写出各项系数 ; 3. 计算 : b 2 -4 ac 的值 ; 4. 判断： 若 b 2 -4 ac ≥0 ，则利用求根公式求出 ; 若 b 2 -4 ac <0 ，则方程没有实数根 . 问题： 对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) , 如何来判断根的情况？ 用判别式判断一元二次方程的根 三 对一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 我们把 b 2 - 4 ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) , 的根的判别式，用符号 “Δ” 来表示 . 不解方程判别下列方程的根的情况 . ( 1) x 2 - 6 x + 1 = 0 ; (2) 2 x 2 – x + 2 = 0 ; (3) 9 x 2 + 12 x + 4 = 0 . 解： (1) Δ = ( - 6 ) 2 – 4 × 1 × 1= 32 > 0 , ∴ 有两个不相等的实数根 . (2) Δ = ( - 1 ) 2 – 4 × 2 × 2= -15 < 0 , ∴ 无的实数根 . (3) Δ = ( 12 ) 2 – 4 × 9 × 4= = 0 , ∴ 有两个相等的实数根 . 练一练 3 、 判别根的情况，得出结论 . 1 、 化为一般式，确定 a , b , c 的值 . 要点归纳 根的判别式使用方法 2 、 计算 的值，确定 的符号 . 例 3 若关于 x 的一元二次方程 ( k -1) x 2 +4 x +1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A. k ＜ 5 B. k ＜ 5 且 k ≠1 C. k ≤5 且 k ≠1 D. k ＞ 5 【解析】 由题意知方程 ( k -1) x 2 +4 x +1=0 有两个不相等的实数根，所以有 ∴ k ＜ 5 且 k ≠1 故选 B. B 1. 解方程： x 2 +7 x – 18 = 0 . 解：这里 a =1 , b = 7 , c = -18 . ∵ b 2 - 4 ac =7 2 – 4 × 1 × ( - 18 ) =121 > 0, 即 x 1 = -9 , x 2 = 2 . 当堂练习 2. 解方程 （ x - 2) (1 - 3 x ) = 6 . 解：去括号 ，得 x – 2 - 3 x 2 + 6 x = 6 , 化简为一般式 3 x 2 - 7 x + 8 = 0 , 这里 a = 3, b = - 7 , c = 8. ∵ b 2 - 4 ac =( - 7 ) 2 – 4 × 3 × 8 = 49 – 96 = - 47 < 0 , ∴ 原方程没有实数根 . 3. 解方程： 2 x 2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . ∵ b 2 - 4 ac = 27 - 4 × 2 × 3 = 3 > 0 , ∴ 即 x 1 = x 2 = 4. 不解方程，判别方程 5 y 2 +1=8 y 的根的情况 . 解：化为一般形式为： 5 y 2 - 8 y +1=0. 所以Δ = b 2 － 4 ac = （ 5 ） 2 -4× （ -8 ）× 1=57>0. 所以 方程 5 y 2 +1=8 y 的有两个不相等的实数根 . 这里 a =5, b =-8, c =1 ， 能力提升： 在等腰 △ ABC 中，三边分别为 a , b , c ，其中 a =5 ，若关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实数根，求 △ ABC 的周长. 解： 关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实数根， 所以Δ = b 2 － 4 ac = （ b -2 ） 2 -4 （ 6- b ） = b 2 +8 b -20=0. 所以 b =-10 或 b =2. 将 b =-10 代入原方程得 x 2 -8 x +16=0 ， x 1 = x 2 =4 ； 将 b =2 代入原方程得 x 2 +4 x +4=0 ， x 1 = x 2 =-2 （不符题设，舍去）； 所以 △ ABC 的三边长为 4 ， 4 ， 5 ，其周长为 4+4+5 = 13 . 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算） . 根的判别式 b 2 -4 ac 务必将方程化为一般形式