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  • 2021-11-12 发布

2020九年级数学上册利用二次函数的最值解决实际问题

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‎21.4 第1课时 利用二次函数的最值解决实际问题 知识点 1 利用最值求几何图形的面积 ‎1.一个矩形的面积S与其中一边的长x之间存在的二次函数关系为S=-(x-6)2+36,当一边长x=________时,矩形的面积有最大值,最大值是________.‎ ‎2.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆的半径分别为r1厘米和r2厘米.‎ ‎(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围;‎ ‎(2)求两圆的面积和S关于r1的函数表达式,并求出S的最小值.‎ 知识点 2 距离的最大(小)值 ‎3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球能到达的最大高度是________ m,铅球落地时,测量小明推铅球的成绩是________ m.‎ ‎4.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图21-4-1所示,若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(  )‎ A.第3秒 B.第4秒 C.第4.5秒 D.第5秒 图21-4-1‎ ‎5.军事演习在平坦的草原上进行,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=-x2+10x,则经过________s,炮弹到达它的最高点.‎ 知识点 3 经济效益的最优方案 ‎6.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2(x-20)2+1558,由于某种原因,价格只能在15≤x≤22范围内,那么一周可获得的最大利润是(  )‎ A.20 B.‎1508 C.1550 D.1558‎ ‎7.某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况.因此,公司规定:若无利润时,该旅游景点关闭.经跟踪测算,该旅游景点一年中某月的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则该旅游景点一年中利润最大的月份是(  )‎ 5‎ A.4 B.‎6 C.8 D.10‎ ‎8.[2016·成都]某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.‎ ‎(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的表达式;‎ ‎(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?‎ ‎9.如图21-4-2所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=‎12 mm,BC=‎24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以‎2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以‎4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q两点分别从点A,B同时出发,那么经过________秒,四边形APQC的面积最小.‎ 图21-4-2‎ ‎10.[2017·包头]某广告公司设计一幅周长为‎16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元.设矩形的一边长为x米,面积为S米2.‎ ‎(1)求S与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)设计费能达到24000元吗?为什么?‎ ‎(3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元?‎ ‎11.[教材习题21.4第3题变式]一种商品进价为每件8元,若商品售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:如果这种商品每件涨价1元,‎ 5‎ 每周要少卖5件;每件降价1元,每周要多卖5件.‎ ‎(1)求该种商品一周的销售量y(件)与商品价格x(元)之间的函数表达式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(2)根据物价部门规定,该商品最高售价不超过12元,则怎样定价,可使每周的利润最大?最大利润是多少?‎ ‎12.某企业生产并销售某种产品.假设销售量与产量相等,如图21-4-3中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.‎ ‎(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;‎ ‎(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;‎ ‎(3)当该产品的产量为多少时,所获得的利润最大?最大利润是多少?‎ 图21-4-3‎ 5‎ 教师详解详析 ‎1.6 36‎ ‎2.解:(1)依题意,得2πr1+2πr2=16π, 化简得r1+r2=8,r1的取值范围为0<r1<8.‎ ‎(2)两圆的面积和S=πr12+πr22=π[r12+(8-r1)2]=2π[(r1-4)2+16].‎ 当r1=4时,S有最小值,为32π平方厘米.‎ ‎3.3 10 [解析] 抛物线的顶点(4,3)是最高点,令y=0时,得-(x-4)2+3=0,解得x1=10,x2=-2(舍去).‎ ‎4.B [解析] 求出抛物线的对称轴是直线t==4,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,故第4秒时,小球最高.‎ ‎5.25 [解析] 求出二次函数图象的顶点的横坐标即可.‎ ‎6.D ‎7.C [解析] 由W=-x2+16x-48=-(x-8)2+16=0,∴利润最大的是8月份.‎ ‎8.解:(1)平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式为y=600-5x(0≤x<120).‎ ‎(2)设果园多种x棵橙子树时,橙子的总产量为w个,‎ 则w=(100+x)y=(100+x)(600-5x)‎ ‎=-5x2+100x+60000‎ ‎=-5(x-10)2+60500,‎ 则果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产量最大,最大为60500个.‎ ‎9. 3‎ ‎[解析] 利用等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数表达式求最小值.‎ ‎10.解:(1)∵矩形的一边为x米,周长为‎16米,‎ ‎∴另一边长为(8-x)米,‎ ‎∴S=x(8-x)=-x2+8x(0<x<8).‎ ‎(2)能.理由如下:‎ 当设计费为24000元时,面积为24000÷2000=12(米2),‎ 即-x2+8x=12,‎ 解得x1=2,x2=6.‎ ‎∴设计费能达到24000元.‎ ‎(3)∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,‎ ‎∴当x=4时,S最大值=16,‎ 即当x=4米时,矩形的最大面积为16米2,此时设计费最多,最多是32000元.‎ ‎11.解:(1)根据如果这种商品每件涨价1元,每周要少卖5件;每件降价1元,每周要多卖5件.可知销售量与售价之间是一次函数关系,设y=kx+b(k≠0),代入(10,50),(11,45),得 解得 ‎∴y=-5x+100(8≤x≤20).‎ ‎(2)设每周的利润为w(元),则w=(x-8)(-5x+100)=-5x2+140x-800=-5(x-14)2‎ 5‎ ‎+180.‎ 由于8≤x≤12,当x<14时,w随x的增大而增大,故当x=12时,w有最大值,最大值为-5(12-14)2+180=160.‎ 答:定价为12元时,可使每周的利润最大,最大利润为160元.‎ ‎12.解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为‎130 kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元.‎ ‎(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=k1x+b1(k1≠0).‎ ‎∵函数y1=k1x+b1的图象经过点(0,60)与(90,42),‎ ‎∴ 解得 ‎∴y1与x之间的函数表达式为y1=-0.2x+60(0≤x≤90).‎ ‎(3)设y2与x之间的函数表达式为y2=k2x+b2(k2≠0).‎ ‎∵该直线经过点(0,120)与(130,42),‎ ‎∴ 解得 ‎∴y2与x之间的函数表达式为y2=-0.6x+120(0≤x≤130).‎ 设产量为x kg时,获得的利润为W元,‎ ‎①当0≤x≤90时,W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250,‎ ‎∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;‎ ‎②当90≤x≤130时,W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535,‎ ‎∴当x=90时,W=-0.6×(90-65)2+2535=2160.‎ 由-0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,‎ ‎∴当90≤x≤130时,W≤2160,‎ 即当x=90时,W有最大值2160.‎ ‎∵2160<2250,‎ ‎∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250.‎ 因此,当该产品的产量为75 kg时,获得的利润最大,最大利润为2250元. ‎ 5‎