初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第三章 函数与图象 聚焦中考第三章14讲函数的应用 40页

人教 数 学 第三章　函数及其图象 第 14 讲　函数的应用 要点梳理 1 ． 函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用． 2 ． 利用函数知识解应用题的一般步骤： (1) 设定实际问题中的变量； (2) 建立变量与变量之间的函数关系 ， 如：一次函数 ， 二次函数或其他复合而成的函数式； (3) 确定自变量的取值范围 ， 保证自变量具有实际意义； (4) 利用函数的性质解决问题； (5) 写出答案． 要点梳理 3 ． 利用函数并与方程 ( 组 ) 、不等式 ( 组 ) 联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题． 一种模型 函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段 ， 对于函数的实际问题要认真分析 ， 构建函数模型 ， 从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面． 两种技巧 (1) 实际问题中函数解析式的求法：设 x 为自变量 ， y 为 x 的函数 ， 在求解析式时 ， 一般与列方程解应用题一样先列出关于 x ， y 的二元方程 ， 再用含 x 的代数式表示 y . (2) 利用题中的不等关系 ， 或结合实际求出自变量 x 的取值范围． 三种题型 (1) 选择题 —— 关键：读懂函数图象 ， 学会联系实际； (2) 综合题 —— 关键：运用数形结合思想； (3) 求运动过程中的函数解析式 —— 关键：以静制动． 1 ． ( 2014 · 河北 ) 某种正方形合金板材的成本 y( 元 ) 与它的面积成正比 ， 设边长为 x 厘米．当 x ＝ 3 时 ， y ＝ 18 ， 那么当成本为 72 元时 ， 边长为 ( ) A ． 6 厘米　　 B ． 12 厘米　　 C ． 24 厘米　　 D ． 36 厘米 A 2 ． ( 2014 · 赤峰 ) 如图 ， 一根长 5 米的竹杆 AB 斜立于墙 AC 的右侧 ， 底端 B 与墙角 C 的距离为 3 米 ， 当竹杆顶端 A 下滑 x 米时 ， 底端 B 便随着向右滑行 y 米 ， 反映 y 与 x 变化关系的大致图象是 ( ) A 3 ． ( 2014· 漳州 ) 世界文化遗产 “ 华安二宜楼 ” 是一座圆形的土 楼 ， 如图 ， 小王从南门点 A 沿 AO 匀速直达土楼中心古井点 O 处 ， 停留拍照后 ， 从点 O 沿 OB 也匀速走到点 B ， 紧接着沿 BCA ︵ 回到南门 ， 下面可以近似地刻画小王与土楼中心 O 的距离 s 随 时间 t 变化的图象 是 ( ) C 4 ． ( 2014 · 兰州 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形 ， 平行于对角线 BD 的直线 l 从 O 出发 ， 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动 ， 运动到直线 l 与正方形没有交点为止．设直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 S ， 直线 l 运动的时间为 t( 秒 ) ， 下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图象是 ( ) D 5 ． ( 2014· 咸宁 ) 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度 ， 将这种植物分别放在不同温度的环境中 ， 经过一定时间后 ， 测试 出这种植物高度的增长情况 ， 部分数据如表： 温度 t/ ℃ － 4 － 2 0 1 4 植物高度增长量 l/ mm 4 1 49 49 46 25 科学家经过猜想、推测出 l 与 t 之间是二次函数关系．由此可以 推测最适合这种植物生长的温度为 __ __ ℃ . － 1 一次函数相关应用题 【 例 1】 　 ( 2014 · 绵阳 ) 绵州大剧院举行专场音乐会， 成人票每张 20 元 ， 学生票每张 5 元 ， 暑假期间 ， 为了丰富广大师生的业余文化生活 ， 影剧院制定了两种优惠方案 ， 方案 ① ：购买一张成人票赠送一张学生票；方案 ② ：按总价的 90% 付款 ， 某校有 4 名老师与若干名 ( 不少于 4 人 ) 学生听音乐会． (1) 设学生人数为 x( 人 ) ， 付款总金额为 y( 元 ) ， 分别建立两种优惠方案中 y 与 x 的函数关系式； (2) 请计算并确定出最节省费用的购票方案． 解： ( 1 ) 按优惠方案 ① 可得 y 1 ＝ 20 × 4 ＋ ( x － 4 ) × 5 ＝ 5x ＋ 60 ( x ≥ 4 ) ， 按优惠方案 ② 可得 y 2 ＝ ( 5x ＋ 20 × 4 ) × 90% ＝ 4.5x ＋ 72 ( x ≥ 4 ) ( 2 ) 因为 y 1 － y 2 ＝ 0.5x － 12 ( x ≥ 4 ) ， ① 当 y 1 － y 2 ＝ 0 时 ， 得 0.5x － 12 ＝ 0 ， 解得 x ＝ 24 ， ∴ 当购买 24 张学生票时 ， 两种优惠方 案付款一样多． ② 当 y 1 － y 2 ＜ 0 时 ， 得 0.5x － 12 ＜ 0 ， 解得 x ＜ 24 ， ∴ 4 ≤ x ＜ 24 时 ， y 1 ＜ y 2 ， 优惠方案 ① 付款较少． ③ 当 y 1 － y 2 ＞ 0 时 ， 得 0.5x － 12 ＞ 0 ， 解得 x ＞ 24 ， 当 x ＞ 24 时 ， y 1 ＞ y 2 ， 优惠方案 ② 付款较少 【 点评 】 　 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式 ， 进而计算出临界点 x 的取值，再进一步讨论． 1 ． ( 2013 · 黔东南州 ) 某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒 ， 乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的 2 倍 ， 考虑各种因素 ， 预计购进乙品牌文具盒的数量 y( 个 ) 与甲品牌文具盒的数量 x( 个 ) 之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中 ， 甲有 120 个时 ， 购进甲、乙品牌文具盒共需 7200 元． (1) 根据图象 ， 求 y 与 x 之间的函数关系式； (2) 求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价； (3) 若该超市每销售 1 个甲种品牌的文具盒可获利 4 元 ， 每销售 1 个乙种品牌的文具盒可获利 9 元 ， 根据学生需求 ， 超市老板决定 ， 准备用不超过 6300 元购进甲、乙两种品牌的文具盒 ， 且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于 1795 元 ， 问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？ 　 反比例函数相关应用题 【 例 2】 　 ( 2013 · 德州 ) 某地计划用 120 ～ 180 天 ( 含 120 与 180 天 ) 的时间建设一项水利工程 ， 工程需要运送的土石方总量为 360 万立方米． (1) 写出运输公司完成任务所需的时间 y( 单位：天 ) 与平均每天的工作量 x( 单位：万立方米 ) 之间的函数关系式 ， 并给出自变量 x 的取值范围； (2) 由于工程进度的需要 ， 实际平均每天运送土石方比原计划多 5000 立方米 ， 工期比原计划减少了 24 天 ， 原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？ 解： ( 1 ) 由题意得 y ＝ 360 x ， 把 y ＝ 120 代入 y ＝ 360 x ， 得 x ＝ 3. 把 y ＝ 180 代入 y ＝ 360 x ， 得 x ＝ 2 ， ∴ 自变量的取值范围为 2 ≤ x ≤ 3 ， ∴ y ＝ 360 x ( 2 ≤ x ≤ 3 ) ( 2 ) 设原计划平均每天运送土石方 x 万立方米 ， 则实际平均每天运送 土石方 ( x ＋ 0.5 ) 万立方米 ， 根据题意得 360 x － 360 x ＋ 0.5 ＝ 24 ， 解得 x ＝ 2.5 或 x ＝－ 3. 经检验 x ＝ 2.5 或 x ＝－ 3 均为原方程的根 ， 但 x ＝－ 3 不符合题意 ， 故舍去 ． 答：原计划每天运送土石方 2.5 万立方米 ， 实际每天运送土石方 3 万立方米 【 点评 】 　本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用 ， 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量 ， 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系 ， 然后利用待定系数法求出它们的关系式． 2 ． ( 2012 · 安徽 ) 甲、乙两家商场进行促销活动 ， 甲商场采用 “ 满 200 减 100 ” 的促销方式 ， 即购买商品的总金额满 200 元但不足 400 元 ， 少付 100 元；满 400 元但不足 600 元 ， 少付 200 元； …… 乙商场按顾客购买商品的总金额打 6 折促销． (1) 若顾客在甲商场购买了 510 元的商品 ， 付款时应付多少元钱？ 解： ( 1 ) 510 － 200 ＝ 310 ( 元 ) ( 2 ) 若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x ( 400 ≤ x ＜ 600 ) 元 ， 优惠后 得到商家的优惠率为 p ( p ＝ 优惠金额 购买商品的总金额 ) ， 写出 p 与 x 之间的 函数关系式 ， 并说明 p 随 x 的变化情况； ( 3 ) 品牌、质量、规格等都相同的某种商品 ， 在甲、乙两商场的标价 都是 x ( 200 ≤ x ＜ 400 ) 元 ， 你认为选择哪 家商场购买该商品花钱较 少？请说明理由 ． 二次函数相关应用题 【 例 3】 　如图 ，某公路隧道横截面为抛物线， 其最大高度为 6 米 ， 底部宽度 OM 为 12 米．现以 O 点为原点 ， OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1) 直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2) 求这条抛物线的解析式； (3) 若要搭建一个矩形 “ 支撑架 ” AD — DC — CB ， 使 C ， D 点在抛物线上 ， A ， B 点在地面 OM 上 ， 则这个 “ 支撑架 ” 总长的最大值是多少米？ 解： ( 1 ) M 点的坐标为 ( 12 ， 0 ) ， 顶点 P 的坐标为 ( 6 ， 6 ) ( 2 ) 设抛物线为 y ＝ a ( x － 6 ) 2 ＋ 6 ， ∵ 抛物线 y ＝ a ( x － 6 ) 2 ＋ 6 经过点 ( 0 ， 0 ) ． ∴ 0 ＝ a ( 0 － 6 ) 2 ＋ 6 ， 36a ＝－ 6 ， a ＝－ 1 6 . ∴ 抛物线解析式为 y ＝－ 1 6 ( x － 6 ) 2 ＋ 6 ＝－ 1 6 x 2 ＋ 2x ( 3 ) 设 A ( m ， 0 ) ， 则 B ( 12 － m ， 0 ) ， C ( 12 － m ， － 1 6 m 2 ＋ 2m ) ， D ( m ， － 1 6 m 2 ＋ 2m ) ． ∴ “ 支撑架 ” 总长 AD ＋ DC ＋ CB ＝ ( － 1 6 m 2 ＋ 2m ) ＋ ( 12 － 2m ) ＋ ( － 1 6 m 2 ＋ 2m ) ＝－ 1 3 m 2 ＋ 2m ＋ 12 ＝－ 1 3 ( m － 3 ) 2 ＋ 15. ∵ a ＝－ 1 3 ＜ 0. ∴ 当 m ＝ 3 时 ， AD ＋ DC ＋ CB 有最大值为 15 米 【 点评 】 　根据图形特点 ， 建立恰当的平面直角坐标系 ， 将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时 ， 要尽量将图形放置于特殊位置 ， 这样便于解题． 3 ． ( 2014· 武汉 ) 九 ( 1 ) 班数学兴趣小组经过市场调查 ， 整理出某种商品 在第 x ( 1 ≤ x ≤ 90 ) 天的售价与销量的相关信息如下表： 时间 x ( 天 ) 1 ≤ x ＜ 50 50 ≤ x ≤ 90 售价 ( 元 / 件 ) x ＋ 40 90 每天销量 ( 件 ) 200 － 2x 已知该商品的进价为每件 30 元 ， 设销售该商品的每天利润为 y 元 ． ( 1 ) 求出 y 与 x 的函数关系式； ( 2 ) 问销售该商品第几天时 ， 当天销售利润最大 ， 最大利润是多少元？ ( 3 ) 该商品在销售过程中 ， 共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？ 请直接写出结果 ． 解： ( 1 ) 当 1 ≤ x ＜ 50 时 ， y ＝ ( 200 － 2x )( x ＋ 40 － 30 ) ＝－ 2x 2 ＋ 180x ＋ 2000 ， 当 50 ≤ x ≤ 90 时 ， y ＝ ( 200 － 2x )( 90 － 30 ) ＝－ 120x ＋ 12000 ， 综上所述： y ＝ î ï í ï ì － 2x 2 ＋ 180x ＋ 2000 （ 1 ≤ x ＜ 50 ） － 120x ＋ 12000 （ 50 ≤ x ≤ 90 ） ( 2 ) 当 1 ≤ x ＜ 50 时 ， 二次函数开口向下 ， 二次函数对称轴为 x ＝ 45 ， 当 x ＝ 45 时 ， y 最大 ＝－ 2 × 45 2 ＋ 180 × 45 ＋ 2000 ＝ 6050 ， 当 50 ≤ x ≤ 90 时 ， y 随 x 的增大而减小 ， 当 x ＝ 50 时 ， y 最大 ＝ 6000 ， 综上所述 ， 该 商品第 45 天时 ， 当天销售利润最大 ， 最大利润是 6050 元 ( 3 ) 当 20 ≤ x ≤ 60 时 ， 每天销售利润不低于 4800 元．即 60 － 20 ＋ 1 ＝ 41 ( 天 ) 函数的综合应用 【 例 4 】 ( 2014· 嘉兴 ) 实验数据显示 ， 一般成人喝半斤低度白 酒后 ， 1.5 小时内其血液中酒精含量 y ( 毫克 / 百毫升 ) 与时间 x ( 时 ) 的关系可近似地用二次函数 y ＝－ 200x 2 ＋ 400x 刻画； 1.5 小时 后 ( 包括 1.5 小时 ) y 与 x 可近似地用反比例函数 y ＝ k x ( k ＞ 0 ) 刻画 ( 如图所示 ) ． (1) 根据上述数学模型计算： ① 喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ② 当 x ＝ 5 时 ， y ＝ 45 ， 求 k 的值． (2) 按国家规定 ， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克 / 百毫升时属于 “ 酒后驾驶 ” ， 不能驾车上路．参照上述数学模型 ， 假设某驾驶员晚上 20 ： 00 在家喝完半斤低度白酒 ， 第二天早上 7 ： 00 能否驾车去上班？请说明理由． 解： ( 1 ) ① y ＝－ 200x 2 ＋ 400x ＝－ 200 ( x － 1 ) 2 ＋ 200 ， ∴ 喝 酒后 1 时血液中的酒精含量达到最大值 ， 最大 值为 200 毫克 / 百毫升 ②∵ 当 x ＝ 5 时 ， y ＝ 45 ， y ＝ k x ( k ＞ 0 ) ， ∴ k ＝ xy ＝ 45 × 5 ＝ 225 ( 2 ) 不能驾车上班．理由： ∵ 晚上 20 ： 00 到第二天早上 7 ： 00 ， 一共有 11 小时 ， ∴ 将 x ＝ 11 代入 y ＝ 225 x ， 则 y ＝ 225 11 ＞ 20 ， ∴ 第二天早上 7 ： 00 不能驾车去上班 【 点评 】 　此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用 ， 根据图象得出正确信息是解题关键． 4 ． ( 2014· 泰州 ) 某研究所将某种材料加热到 1000 ℃ 时停止加热 ， 并 立即将材料分为 A ， B 两组 ， 采用不同工艺做降温对比实验 ， 设降 温开始后经过 x min 时 ， A ， B 两组材料的温度分别为 y A ℃ ， y B ℃ ， y A ， y B 与 x 的函数关系式分别为 y A ＝ kx ＋ b ， y B ＝ 1 4 ( x － 60 ) 2 ＋ m ( 部 分图象如图所示 ) ， 当 x ＝ 40 时 ， 两组材料的温度相同 ． ( 1 ) 分别求 y A ， y B 关于 x 的函数关系式； ( 2 ) 当 A 组材料的温度降至 120 ℃ 时 ， B 组材料的温度是多少？ ( 3 ) 在 0 ＜ x ＜ 40 的什么时刻 ， 两组材料温差最大？ 解： ( 1 ) 由题意可得出： y B ＝ 1 4 ( x － 60 ) 2 ＋ m 经过 ( 0 ， 1000 ) ， 则 1000 ＝ 1 4 ( 0 － 60 ) 2 ＋ m ， 解得 m ＝ 100 ， ∴ y B ＝ 1 4 ( x － 60 ) 2 ＋ 100 ， 当 x ＝ 40 时 ， y B ＝ 1 4 × ( 40 － 60 ) 2 ＋ 100 ， 解得 y B ＝ 200 ， y A ＝ kx ＋ b ， 经过 ( 0 ， 1000 ) ， ( 40 ， 200 ) ， 则 î ï í ï ì b ＝ 1000 ， 40k ＋ b ＝ 200 ， 解得 î ï í ï ì b ＝ 1000 ， k ＝－ 20 ， ∴ y A ＝－ 20x ＋ 1000 ( 2 ) 当 A 组材料的温度降至 120 ℃ 时 ， 120 ＝－ 20x ＋ 1000 ， 解得 x ＝ 44 ， 当 x ＝ 44 ， y B ＝ 1 4 ( 44 － 60 ) 2 ＋ 100 ＝ 164 ( ℃ ) ， ∴ B 组材料的温度是 164 ℃ ( 3 ) 当 0 ＜ x ＜ 40 时 ， y A － y B ＝－ 20x ＋ 1000 － 1 4 ( x － 60 ) 2 － 100 ＝－ 1 4 x 2 ＋ 10x ＝－ 1 4 ( x － 20 ) 2 ＋ 100 ， ∴ 当 x ＝ 20 时 ， 两 组材料温差最大 为 100 ℃ 试题　杭州体博会期间 ，嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用 ， 预计开放后每月可创收 33 万元．而该游乐场开放后 ， 从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用累计为 y ( 万元 ) ， 且 y ＝ ax 2 ＋ bx . 若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g ( 万元 ) ， g 也是关于 x 的二次函数． (1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元 ， 第 2 个月为 4 万元 ， 求 y 关于 x 的解析式； (2) 求纯收益 g 关于 x 的解析式； (3) 问设施开放几个月后 ， 游乐场的纯收益达到最大？几个月后 ， 能收回投资？ 错解 解： ( 1 ) 由题意 ， 得 x ＝ 1 ， y ＝ 2 ； x ＝ 2 ， y ＝ 4 ， 代 入 y ＝ ax 2 ＋ bx 中 ， 有 î í ì a ＋ b ＝ 2 ， 4 a ＋ 2 b ＝ 4 ， 解得 î í ì a ＝ 0 ， b ＝ 2 ， 故 y ＝ 2 x . ( 2 ) 纯收益 g ＝ 33 x － 150 － 2 x ＝ 31 x － 150. ( 3 ) 由 g ＝ 31 x － 150 可知 ， x 越大 ， g 越大 ， 则纯收益无最 大值；要收回成本 ， 即 g ＞ 0 ， ∵ x ＝ 4 时 ， g ＝－ 26 ＜ 0 ； x ＝ 5 时 ， g ＝ 5 ＞ 0 ， ∴ 5 个月后 ， 能收回投资 ． 剖析 　这种解法没有认真读题、审题 ， 忽略题中 “ 累计 ” 二字 ， 误以为 x ＝ 2 时 y ＝ 4 ， 而应该是 “ x ＝ 2 时 ， y ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6 ” ， 这个理解的失误 ， 导致后面的两问虽然思路正确 ， 但由于关系式出错 ， (2)(3) 问都错了．在建立函数关系解实际问题时 ， 要想建立正确的函数关系 ， 必须养成良好的解题习惯． 正解 解： ( 1 ) 由题意 ， 得 x ＝ 1 时 ， y ＝ 2 ； x ＝ 2 时 ， y ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6 ， 代入 y ＝ ax 2 ＋ bx 中 ， 有 î ï í ï ì 2 ＝ a ＋ b ， 6 ＝ 4 a ＋ 2 b ， 解得 î ï í ï ì a ＝ 1 ， b ＝ 1 ， 故 y ＝ x 2 ＋ x . ( 2 ) 纯收益 g ＝ 33 x － 150 － ( x 2 ＋ x ) ＝－ x 2 ＋ 32 x － 150. ( 3 ) ∵ g ＝－ x 2 ＋ 32 x － 150 ＝－ ( x － 16 ) 2 ＋ 106 ， ∴ x ＝ 16 时 ， g 有最大 值 ， 即设施开放 16 个月后游乐场的纯收益最大 ． 由二次函数的增 减性可知 ， 当 0 ＜ x ≤ 16 时 ， g 随 x 的增大而增大；又当 x ＝ 5 时 ， g ＝－ ( 5 － 16 ) 2 ＋ 106 ＝－ 15 ＜ 0 ；当 x ＝ 6 时 ， g ＝－ ( 6 － 16 ) 2 ＋ 106 ＝ 6 ＞ 0 ， 所以 6 个月后 ， 能收回成本 ．