2020九年级数学下册 第2章 过不共线三点作圆 5页

‎2.4　过不共线三点作圆 知|识|目|标 ‎1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．‎ ‎2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.‎ 目标一　过平面内的点作圆 例1 教材补充例题如图2－4－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是(　　)‎ 图2－4－1‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【归纳总结】确定一个圆的条件：‎ ‎(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；‎ ‎(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；‎ ‎(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．‎ 注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心．‎ 目标二　理解三角形的外接圆 例2 教材补充例题已知等腰三角形ABC，如图2－4－2.‎ ‎(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；‎ ‎(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．‎ 图2－4－2‎ 5‎ ‎【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：‎ ‎(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；‎ ‎(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；‎ ‎(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部．‎ 例3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图2－4－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是(　　)‎ 图2－4－3‎ A．第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块 ‎【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：‎ ‎(1)圆心的位置；(2)半径．‎ 已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．‎ 知识点一　过不在同一直线上的三个点作圆 不在同一直线上的三点确定一个圆．‎ ‎[点拨] (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．‎ ‎(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．‎ 知识点二　三角形的外接圆与外心 经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．‎ ‎[说明] (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处．‎ ‎．‎ 在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC外接圆的半径为5，求AB的长．‎ 图2－4－4‎ 5‎ 解：如图2－4－4，连接OB，连接AO并延长交BC于点D，‎ 则AD垂直平分BC，‎ ‎∴BD＝BC＝4.‎ 在Rt△OBD中，OD＝＝＝3，‎ ‎∴AD＝AO＋OD＝5＋3＝8.‎ 在Rt△ABD中，AB＝＝＝4 .‎ 以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　C 例2　解：(1)如图所示．‎ ‎(2)如图，在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，‎ ‎∵∠BOC＝128°，‎ ‎∴∠BDC＝∠BOC＝64°，‎ ‎∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.‎ 例3　A 备选目标　三角形的外接圆、外心的综合应用 例　如图①，△ABC内接于⊙O，AD为边BC上的高．‎ ‎(1)若AB＝6，AC＝4，AD＝3，求⊙O的直径AE；‎ ‎(2)若AB＋AC＝10，AD＝4，求⊙O的直径AE的最大值，并指出此时边AB的长．‎ ‎　　　‎ ‎[解析] (1)需要找到AB，AC，AD，AE之间的数量关系，连接BE，则∠ABE＝90°＝∠ADC，∠E＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE∽△ADC，可得AB∶AD＝AE∶AC，进而求出AE即可；(2)根据已知得出AC＝10－AB的长，利用(1)的结论，将AE转化为关于AB的二次函数，最值可求．‎ 解：(1)如图②，连接BE.‎ ‎∵AE是⊙O的直径，AD⊥BC，‎ ‎∴∠ABE＝90°＝∠ADC.‎ 又∵∠E＝∠C，‎ ‎∴△ABE∽△ADC，∴＝，‎ ‎∴AE＝＝＝8.‎ ‎(2)∵AB＋AC＝10，‎ ‎∴AC＝10－AB.‎ 设AB＝x，AE＝y，‎ ‎∵AD＝4，由(1)中＝，‎ 5‎ 得y＝＝－＋x＝－(x－5)2＋，‎ ‎∴⊙O的直径AE的最大值为，此时边AB的长为5.‎ ‎[归纳总结] 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点二　三条边的垂直平分线 ‎[反思] 不完整．‎ 补充：若△ABC是锐角三角形，则AB＝4 ；‎ 若△ABC是钝角三角形，如图所示，连接OA，OB，OA交BC于点D.‎ 此时AD＝OA－OD＝5－3＝2.‎ 在Rt△ABD中，AB＝＝＝2 .‎ ‎∴AB的长为2 或4 .‎ 5‎