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- 2021-11-12 发布
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课时作业(十五)
[第二章 4 第1课时 最大面积问题]
一、选择题
1.2017·南通一模为搞好环保,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,矩形池底的周长为100 m,则池底的最大面积是( )
A.600 m2 B.625 m2
C.650 m2 D.675 m2
2.用长8 m的铝合金条制成如图K-15-1所示形状的矩形窗框,这个窗户的最大透光面积为( )
图K-15-1
A. m2 B. m2
C. m2 D.4 m2
二、填空题
3.如图K-15-2,在长度为1的线段AB上取一点P,分别以AP,BP为边作正方形,则这两个正方形面积之和的最小值为________.
图K-15-2
4.某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m)
8
,中间用两道墙隔开(如图K-15-3),已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图K-15-3
5.如图K-15-4,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿AB方向以2 mm/s的速度向点B移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿BC方向以4 mm/s的速度向点C移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B两点同时出发,那么经过________s,四边形APQC的面积最小.
图K-15-4
6.某工厂大门是抛物线形水泥建筑,如图K-15-5,大门地面宽为4 m,顶部距离地面的高度为4.4 m,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4 m,该车要想通过此门,装货后的最大高度应是________m.
图K-15-5
三、解答题
7.如图K-15-6所示,矩形ABCD的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动,点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
图K-15-6
8.2018·福建在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN
8
,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知矩形菜园的边AD靠墙,其中AD≤MN,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
9.如图K-15-7,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点H.
(1)求证:=;
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积.
图K-15-7
10.如图K-15-8①是一个拱形桥,该拱形桥及河道截面的示意图如图②所示,该示意图由抛物线的一部分ABC(B是该抛物线的顶点)和矩形的三边AO,OD,CD组成.已知河底OD是水平的,OD=10 m,CD=8 m,点B到河底的距离是点A到河底的距离的1.5倍.以OD所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标及抛物线的表达式;
(2)一行人走在该拱形桥上面,他不小心把帽子掉进了河里的点M处(漂在河面上),该行人在A处用一根2.5 m长的木棍恰好能钩到距离点E 1.5 m的帽子,求此时河水的高度.
图K-15-8
8
动点探究题如图K-15-9,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时点E的坐标.
图K-15-9
8
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1.[解析] B 设矩形的一边长为x m,则其邻边长为(50-x)m,若面积为S m2,则
S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625.
∵-1<0,∴S有最大值.
当x=25时,S有最大值为625.
故选B.
2.[解析] C 设窗框水平的边长为x m,则竖直的边长为 m,
∴S=·x=-x2+4x=-(x-)2+(0<x<).
∴当x=时,S最大值=,即这个窗户的最大透光面积是 m2.
3.[答案]
[解析] 设AP=x,则PB=1-x.
根据题意,得这两个正方形面积之和为x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+.
因为a=2>0,
所以当x=时,这两个正方形面积之和有最小值,最小值为.故答案为.
4.[答案] 144
5.[答案] 3
[解析] 设P,Q同时出发后,经过的时间为t s(0<t<6),四边形APQC的面积为S mm2,则有S=S△ABC-S△PBQ=×12×24-×4t×(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.
∵4>0,∴当t=3时,S取得最小值.
6.[答案] 2.816
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的表达式为y=ax2,由题意得:点A的坐标为(2,-4.4),∴-4.4=4a,解得a=-1.1,∴抛物线的表达式为y=-1.1x2,当x=1.2时,y=-1.1×1.44=-1.584,∴线段OB的长为1.584 m,∴BC=4.4-1.584=2.816(m),∴装货后的最大高度为2.816 m,故答案为2.816.
7.[解析] 先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数表达式,然后运用公式法或配方法把函数表达式化成顶点式,再根据x的取值范围求所得函数的最大值,进而解决问题.
8
解:(1)∵S△PBQ=PB·BQ,
PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,
∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(0
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