2020九年级数学下册 第1章 二次函数 7页

‎1.2　二次函数的图象与性质 第4课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 知|识|目|标 ‎1．通过回顾图象的平移，理解抛物线y＝ax2平移到抛物线y＝a(x－h)2和抛物线y＝a(x－h)2＋k的过程．‎ ‎2．运用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过观察二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象归纳其性质．‎ ‎3．在回顾用待定系数法求一次函数的表达式的基础上，能根据抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标求二次函数的表达式. ‎ 目标一　理解二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系 例1 教材补充例题已知二次函数y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列问题：‎ ‎(1)通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－2x2得到抛物线y＝－2(x－2)2和y＝－2(x－2)2＋2?‎ ‎(2)如果要得到抛物线y＝－2(x－2017)2－2018，应将抛物线y＝－2x2怎样平移？这样的平移方法唯一吗？‎ ‎【归纳总结】抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移：‎ ‎(1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数项”，即抛物线y＝ax2向左平移时，在自变量x中加上平移的单位数h，向右平移时，在自变量x 7‎ 中减去平移的单位数h; 向上平移时，在常数项中加上平移的单位数k，向下平移时，在常数项中减去平移的单位数k.‎ ‎ (2) 抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移方法不是唯一的，既可以先左右平移，也可以先上下平移．‎ ‎ (3) 由抛物线 y＝a(x－h)2＋k平移得到抛物线y＝ax2与由抛物线y＝ax2平移得到抛物线y＝a(x－h)2＋k的方法恰好相反．‎ ‎(4)由于抛物线平移后的形状不变，故二次项系数a不变，所以求平移后的抛物线的函数表达式通常有两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出函数表达式．‎ 目标二　理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 例2 教材例4针对训练已知二次函数y＝(x－2)2－4.‎ ‎(1)在图1－2－2给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；‎ ‎(2)求出图象的顶点坐标、对称轴与最值；‎ ‎(3)当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而增大？ 当x满足什么条件时，函数值y随自变量的增大而减小？‎ ‎(4)根据图象，写出当y＜0时x的取值范围．‎ 图1－2－2‎ ‎【归纳总结】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质：‎ ‎(1)在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，a决定了图象的开口方向与开口大小，h决定了图象的对称轴，h，k决定了图象的顶点的位置．‎ ‎(2)从二次函数的表达式y＝a(x－h)2＋k中，可以直接看出抛物线的顶点坐标(h，k)，对称轴，即直线x＝h，因此通常把表达式y＝a(x－h)2＋k叫作二次函数的顶点式．‎ ‎(3)二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝a(x－h)2的增减性相同．‎ ‎(4)求函数值y＜0时自变量x的取值范围的方法：①求出y＝0时x的值(即确定抛物线与x轴的交点坐标)；②找出x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围．‎ 目标三　能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式y＝a(x－h)2＋k 例3 教材例5针对训练已知二次函数图象的顶点为A(－1，4)，且过点B(2，－5)．‎ ‎(1)求该函数的表达式；‎ ‎(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；‎ ‎(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时，A，B两点随图象移至点A′，B′，求△OA′B′的面积．‎ 7‎ ‎【归纳总结】根据抛物线的顶点坐标求函数表达式的方法：‎ ‎(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；‎ ‎(2)将抛物线的顶点坐标与另一点的坐标或一组x，y的对应值代入，计算出a的值；‎ ‎(3)将所求的a值代入顶点式y＝a(x－h)2＋k中，得到二次函数表达式．‎ 知识点一　画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤 由于我们已经知道了二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的性质，因此画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤如下：‎ 第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；‎ 第二步：列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；‎ 第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点)．‎ 知识点二　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 y＝a(x－‎ h)2＋k a的 取值 图象的 开口方向 图象的 对称轴 图象的 顶点坐标 函数值的 变化情况 a>0‎ 向____‎ ‎________‎ ‎________‎ 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______‎ a<0‎ 向____‎ ‎________‎ ‎________‎ 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______‎ 知识点三 用平移法由二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象 7‎ 二次函数图象平移的规律：左加右减(对x变化)，上加下减(对y变化)．‎ 知识点四　已知抛物线的顶点及另一点的坐标求函数表达式 我们把y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)叫作二次函数的顶点式，其中________为其图象的顶点坐标．已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标求函数表达式时，设函数表达式为y＝a(x－h)2＋k计算较为简单．‎ ‎[点拨] 符合用顶点式求函数表达式的情形：‎ ‎①已知抛物线的顶点坐标与图象上另一点的坐标；‎ ‎②已知抛物线的对称轴及两点的坐标．‎ ‎1．已知二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(　　)‎ A．m＝3　　　　 B．m＞3‎ C．m≥3 D．m≤3‎ 答案：A或B 上述答案正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由．‎ ‎2．抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点坐标是________．‎ 答案：(－1，2)‎ 以上答案正确吗？若不正确，请给出正确答案．‎ 7‎ 7‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　解：(1)抛物线y＝－2x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝－2(x－2)2的顶点坐标为(2，0)，抛物线y＝－2(x－2)2＋2的顶点坐标为(2，2)，所以抛物线y＝－2x2向右平移2个单位得到抛物线y＝－2(x－2)2，抛物线y＝－2x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y＝－2(x－2)2＋2.‎ ‎(2)∵抛物线y＝－2(x－2017)2－2018的顶点坐标为(2017，－2018)，‎ ‎∴应将抛物线y＝－2x2先向右平移2017个单位，再向下平移2018个单位．‎ 这样的平移方法不唯一．‎ 例2　解：(1)列表：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎0‎ ‎…‎ ‎　　描点、连线如图．‎ ‎(2)顶点坐标为(2，－4)，对称轴为直线x＝2，当x＝2时，函数值y有最小值，y最小值＝－4.‎ ‎(3)当x＞2时，函数值y随自变量的增大而增大；当x＜2时，函数值y随自变量的增大而减小．‎ ‎(4)由于抛物线与x轴交于点(0，0)，(4，0)，∴当y＜0时，0＜x＜4.‎ 例3　解：(1)由顶点为A(－1，4)，可设函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，将B(2，－5)代入表达式，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，‎ 则二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋4.‎ ‎(2)令x＝0，得y＝－(0＋1)2＋4＝3，故函数图象与y轴的交点坐标为(0，3)；‎ 令y＝0，得0＝－(x＋1)2＋4，解得x1＝－3，x2＝1，故函数图象与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)．‎ ‎(3)设原函数图象与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)，由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．当函数图象向右平移至经过坐标原点时，点M与点O重合，因此函数图象向右平移了3个单位，故A′(2，4)，B′(5，－5)，如图所示，过点A′作A′D⊥y轴于点D，过点B′作B′E⊥y轴于点E，∴S△OA′B′＝×(2＋5)×9－×2×4－×5×5＝15.‎ 7‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点二　上　直线x＝h　(h，k)　减小 增大　下　直线x＝h　(h，k)　增大　减小 知识点四　(h，k)‎ ‎[反思] 1.不正确．正确答案为C.‎ 因为二次函数y＝(x－m)2－1的图象的对称轴为直线x＝m，而抛物线开口向上，‎ 所以当x＜m时，y随x的增大而减小．‎ 又因为当x≤3时，y随x的增大而减小，‎ 所以m≥3.‎ 故答案为C.‎ 反思：画出函数图象，根据图象进行分段分析．‎ ‎2．不正确．正确答案为(1，2)．‎ 反思：识记抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标公式时，切勿弄错符号．‎ 7‎