五年级下册数学试题-奥数：第十三讲 统筹优化问题（解析版）全国通用 10页

第十三讲 统筹优化问题 刚刚过完母亲节，马上就要迎来 6 月中旬的父亲节了！小朋友们，在这两个特别的节日里你送给爸爸 妈妈什么礼物了？呵呵，我们来看看小芳给妈妈送上的母亲节礼物吧！ 母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上 一份特别的礼物.她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间，洗米要 3 分钟， 蒸大米饭 20 分钟，打鸡蛋要 1 分钟，洗炒锅勺要 1 分钟，炒菜要 5 分钟，做水果沙拉要 10 分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿 饭？父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？ 答案提示：聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的！合理的安排：先洗米 3 分钟， 蒸大米饭 20 分钟（在此同时我们还可以将：打鸡蛋要 1 分钟，洗炒锅勺要 1 分钟，炒菜要 5 分钟，做水 果沙拉要 10 分钟，共 17 分钟进行完），所以至少需要 23 分钟可将这份礼物准备完毕. 当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情.华罗庚教授在中学 语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章，详细介绍了统筹方法和指导意义.在实际生活中，我们 科学的利用统筹安排的方法可以大大节省时间、人力、物力以及资源，提高做事的效率. 类型Ⅰ：统筹安排事情 【例 1】 （难度系数：★★）烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，那 么用一次可容下 2 块饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟？ 分析：【前铺】（难度系数：★★）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎 1 个饼需要 2 分钟 （假定正、反面各需 1 分钟），问煎 1993 个饼至少需要几分钟？问煎 1994 个饼至少需要几分钟？ 分析：如果只煎 1 个饼，显然需要 2 分钟；如果煎 2 个饼，仍然需要 2 分钟；如果煎 3 个饼，初学者看来 认为至少需要 4 分钟：因为先煎 2 个饼要 2 分钟；再单独煎第 3 个饼，又需要 2 分，所以一共需要 4 分钟．但 是，这不是最佳方案．最优方法应该是：首先煎第 1 号、第 2 号饼的正面用 1 分钟；其次煎第 1 号饼的反 面及第 3 号饼的正面又用 1 分钟；最后煎第 2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用 3 分钟就煎 好了 3 个饼． 我们归纳出煎 1、2、3 个饼分别需要 2、2、3 分钟，我们可以继续往下分析，煎 4 个饼最少需要 4 分 钟，煎 5 个饼需要 3＋2＝5 分钟，煎 6 个饼需要 6÷2×2＝6 分钟，煎 7 个饼需要 3＋4÷2×2＝7 分钟， 那么煎 1993 个饼至少需要 1993 分钟，煎 1994 个饼至少需要 1994 分钟. 原题解答; 先将两块饼同时放人锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身， 再放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙 3 分 钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙 3 块饼，用去 9 分钟，烙后 21-3=18 块饼，至少用去 18÷2×6=54(分 钟)，所以一共需要 54+9=63 分钟.如果烙 22 块饼，我们就无需考虑的那么复杂了，所用时间就是 22÷2× 6=66 分钟. 【例 2】 （难度系数：★★）青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现 场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输．两人同时清理废旧建筑材料需 2 小时；两人同时清理垃 圾需 0．5 小时；货车将垃圾运送郊区，往返需 3 小时，货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需 1 小时．小 王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时?请你设计出一个最佳方案(垃圾与建材均不超过 1 车，装车时间不计)． 分析：两人先同时清理垃圾，用 0.5 小时；然后两人同时清理废旧建筑材料 1 小时；最后，一人运送垃圾 用 3 小时，另一人继续清理废旧建筑材料 2 小时，再用 1 小时运送废旧建筑材料．这样共用：0．5+1+3=4．5(小 时)． 【例 3】 （难度系数：★★★）某商店汽水做促销活动，规定每 5 个空瓶能换 1 瓶汽水.小强家买了 80 瓶 汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？ 分析：【前铺】（此题主要是让学生有兴趣把这个答案试出来，并明白可以借瓶的概念.）（03 年国家公务 员考试）（难度系数：★★）小新和他的五个朋友去喝汽水，他们身上有 12 元，每瓶汽水 3 元，每三个 空汽水瓶可以换一瓶汽水，请问怎样才能每人喝到一瓶汽水？ 分析：12 元可以买 4 瓶汽水，用其中 3 个空瓶换 1 瓶汽水，加上剩下的 1 个空瓶，再向卖汽水的借一个空 瓶，用这 3 个空瓶再换一瓶.喝完后再把这个空瓶还了！4+1+1＝6 瓶. 原题解答：（法 1）我们按照实际换汽水过程分析： 喝掉 80 瓶汽水，用 80 个空瓶换回 16 瓶汽水； 喝掉 16 瓶汽水，用 16 个空瓶换回 3 瓶汽水余 1 个空瓶； 喝掉 3 瓶汽水，连上次余下的 1 个空瓶还剩 4 个空瓶.此时，再借 1 个空瓶，与剩下的 4 个空瓶一起又 可换回 1 瓶汽水，喝完后将空瓶还了. 所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）. 以上方法正确运用“5 个空瓶可换 1 瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用 可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长.有没有简便的算法呢？ （法 2）注意到“每 5 个空瓶可换一瓶汽水”（连汽水带瓶）这个条件，可知每 4 个空瓶就能换到一瓶汽水 （不带瓶），那么喝剩的 80 个空瓶共能换到 20 瓶汽水，所以小强家前后共能喝到 80+20=100（瓶）汽水. 综合式是 80+80÷（5-1）=100（瓶）. （法 3）每 4 个空瓶就能换到 1 瓶汽水（不带瓶），即 1 个空瓶能换 1 4 瓶汽水，那么买 1 瓶汽水实际能喝到 （1+ 1 4 ）瓶汽水，因此他家前后共能喝到 80×（1+ 1 4 ）=100 瓶汽水. 【例 4】 （难度系数：★★★）学校师生 1140 人外出参观，计划每人发 2 瓶汽水，每瓶汽水售价 2 元， 商店规定每 6 个空汽水瓶可以换 1 瓶汽水，带队老师合理筹划，回收空瓶换汽水，使每人按计划喝到汽水， 节省多少元？ 分析：每 6 个空瓶就能换到 1 瓶汽水，即每 5 个空瓶就能换到 1 瓶汽水（不带瓶），即 1 个空瓶能换 1 5 瓶 汽水，那么买一瓶汽水实际能喝到（1+ 1 5 ）瓶汽水，因此需要买 1140×2÷（1+ 1 5 ）=1900（瓶）汽水. 节 约出来 1140×2-1900=380（瓶）汽水的钱，也就是 380×2=760（元）. 【例 5】 （难度系数：★★★）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供 各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元．粗管足够供应所有各村 用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距 离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节 约的方法铺设，总费用是多少？ 分析：由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到 A1 村要铺设 10 根 细管，A1 村到 A2 村要铺设 9 根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况． 因为粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元，所以 4 根细管的价钱将大于 1 根粗管的价钱．这样一 来，凡是超过 3 根细管的路段，都应改铺粗管． 因此，从县城到 A7 村铺 1 根粗管，A7 村到 A8 村铺 3 根细管，A8 村到 A9 村铺 2 根细管，A9 村到 A10 村铺 1 根细管．总费用为：7000×（30+5+2+4+2+3+2）+2000×（2×3+2×2+5×1）=366000（元）. 类型Ⅱ：沙漠探险 【例 6】 （难度系数：★★★★）（1）有 5 位 探险家计划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普 车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶 315 千 米的汽油。显然，5 个人不可能共同穿越 500 千米以上的沙漠。于是，他们计划在保证其余 车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙 漠。当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠? （2）如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，上题其他条件都不变，那穿越沙漠的那辆车最多能穿 越多宽的沙漠? 分析：（1）如右图所示，5 辆车从 A 点一起出发，到 B 点时 第 1 辆车留下够自己返回 A 点的汽油，剩下的汽油全部转给 其余 4 辆车，注意，B 点的最佳选择应满足刚好使这 4 辆车 全部加满汽油；剩下的 4 辆车继续前进，到 C 点时第 2 辆车 留下够自己返回 A 点的汽油，剩下的汽油全部转给其余 3 辆 车，使它们刚好加满汽油；剩下的 3 辆车继续前进……到 E 点时，第 4 辆车留下返回 A 点的汽油，剩下的汽油转给第 5 辆车.此时，第 5 辆车是加满汽油的，还能向 前行驶 315 千米. 以这种方式，第 5 辆车能走多远呢?我们来算算. 5 辆车到达 B 点时，第 1 辆车要把另外 4 辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返 AB 的汽油，所以应 把行驶 315 千米的汽油分成 6 份，2 份供自己往返 AB，4 份给另外 4 辆车每辆加 l 份，刚好使这 4 辆车都 加满汽油.AB 长为：315÷6=52.5(千米)； 4 辆车从 B 点继续前进，到达 C 点时，4 辆车共消耗掉 4 份（BC）汽油，再加上第 2 辆车从 C 经 B 返回 A，所以第 2 辆车是把汽油分成：5 份 BC+1 份 AB=315（千米），由上可知 6 份 AB=315（千米），所 以 AB=BC，也就是说第 2 辆车仍是把汽油分成 6 份，3 份供自己从 B 到 C，再从 C 返回 A，3 份给另外 3 辆车加满汽油，由此知 BC 长也是 52．5 千米. 同理，CD=DE=52．5(千米). 所以第 5 辆车最远能行驶 52．5×4+315=525(千米). 一般地，如果有 n (n>1)辆相同的汽车，每辆车带的油都恰好够行驶 s 千米的路程，其它条件不变，那 么第 1 辆车行驶 1 s n  千米返回，在最后一辆车“冲刺”之前，最后一辆车已行驶了（n-1）个 1 s n  千米， 所以最后一辆车能行驶： ( 1) ( )1 sn sn    千米 这个问题解决的很完美.但是，这是基于汽油只能由汽车携带，不能留在途中供返回的汽车使用这个前 提.如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，情况就大不相同了. （2）如右图所示，5 辆车从 A 点一起出发，到 B 点时，第 l 辆车给其它车辆加满汽油，并且在 B 处留下供 3 辆车从 B 返回 A 的汽油，然后自己返回 A.注意，此时后 4 辆车都已加满了汽 油，并且无“后顾之忧”，即有了从 B 返回 A 的汽油，所以后 面的问题相当于有 4 辆车，让一辆车走的尽量远，另 3 辆车返 回 B.同理， 到 C 点时变成 3 辆车的情况，到 D 点时变成 2 辆车的情形，到 E 点时变成 1 辆车的情形. ( 9 ),9 , D DE E7 5 3 5 35 45 63 105 315 5639 7 5 3 SAB S S SBC C S S S S S S               依照上题思路，将第一辆车的汽油分成 份，注意这里第五辆车不会来 ， ， 至终点= ， 所以第 辆车最远能行驶： （千米） 【例 7】 （难度系数：★★★★）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每 人最多可带一个人 24 天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠 多少千米？(要求最后两人都回到出发点) 分析：（法一）：利用上例思路解答，所以可以往前行走 16 天的路程. （法二）：可以设走了 x 天后，乙把食物补给甲，此时乙还需预留 x 天的食物，所以乙还能补给甲（24－ 2x）天的食物。而甲此时也已消耗掉了 x 天的食物，为了给甲补满，所以需要：24－2x＝x,可得 x＝8，剩 下的 24 天食物，B 只能再向前走 8 天，留下 16 天的食物供返回时用.故 B 可以向沙漠深处走 16 天. 【例 8】 （难度系数：★★★）有一位探险家，计划用 6 天的时间徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家 每人最多只能携带 1 个人四天所需的食物和水，那么这个探险家至少要雇用多少名工人？ 分析：利用公式：( 1) ( )1 sn sn    千米，其中 s=4，( 1) ( )1 sn sn    千米=6，解得 n=3，所以要雇佣 3-1=2（名） 工人.当然这道题目我们可以通过试出答案，这里主要强调学生对规律总结的理解应用，但同时请注意条 件的变化. 类型Ⅲ：排队问题 【例 9】 （难度系数：★★★）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发 型，分别需要 10，12，15，20 和 24 分钟.怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的 总和最少？最少要用多少时间？ 分析：【前铺】（难度系数：★★）5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间 分别是 1 分钟、2 分钟、3 分钟、4 分钟和 5 分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺 序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值． 分析：5 个人排队一共有 5×4×3×2×1=120 种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．我 们不妨先来看一个简单的例子：小新理发用 10 分钟，妈妈烫发用 240 分钟，只有一个理发师，那么怎样 使两个人等待的时间总和最少？很容易我们就知道，要让用时较短的人先理发比较合理.同样对于本例题， 把打水需 1 分钟的人排在第一位置所费总时间最省．其次，再将打水需 2 分钟的人调整到第二位置；将打 水需 3、4、5 分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队， 所费时间最省．这样得出 5 人排队和打水时间总和的最小值是：1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）. 教师在此刻多多举例联系，让学生在充分理解的基础上准确计算出时间总和的最小值. 原题解答：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理.甲先 给需 10 分钟的人理发，然后 15 分钟的，最后 24 分钟的；乙先给需 12 分钟的人理发，然后 20 分钟的.甲 给需 10 分钟的人理发时，有 2 人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15 分钟的人理 发，有 1 人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待.甲理发 的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。总的占用时间为（10×3 ＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）. 按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10＋15＋24＝49（分）.如果题目中再 要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需 10，12，20 分钟的人理 发，乙依次给需 15，24 分钟的人理发，总的占用时间仍是 128 分钟，而五人全部理完所用时间为 10＋12 ＋20＝42（分）. 【例 10】 （101 培训试题）（难度系数：★★★★）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第 五台修复时间依次为 18，30，17，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元.现有两名工作效 率相同的修理工， （1） 怎样安排才能使得经济损失最少？ （2） 怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？ 分析：（1）一人修 17、20、30，另一人修 18、25 ；最少的经济损失为：5×（17×3+20×2+30+18×2+25） =910（元）. （2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需 18，17 和 20 分钟的三台，另一 人修需 30 和 25 分钟的两台，修复时间最短，为 55 分钟. 类型Ⅳ：场地设置问题 【例 11】 （难度系数：★★）一条直街上有 5 栋楼，从左到右编号为 1，2，3，4，5，相邻两楼的距 离都是 50 米．第 1 号楼有 1 名职工在 A 厂上班，第 2 号楼有 2 名职工在 A 厂上班……，第 5 号楼有 5 名 职工在 A 厂上班．A 厂计划在直街上建一通勤车站接送这 5 栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站 所走的路程之和最小，车站应建在距 1 号楼多少米处？ 分析：如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在 4 号楼 的位置，距 1 号楼 150 米处． 【前铺】（人大附中分班考试题）（难度系数：★★★）在一条公路上，每隔 10 千米有一座仓库（如右图）， 共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货 物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要运费 0.9 元， 那么集中到哪个仓库运费最少？ 分析：这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决.E 点 60 吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A 往 E 那个方向集中，集中到 B,B 变成 40 吨，判断仍是 E 的势力最大，所以继续向 E 方向集中，B 点集中到 C 点， C 点变成 60 吨.此时 C 点和 E 点都是 60 吨，那么 C、E 谁看成大势力都可以.例如把 E 点集中到 D 点，D 点 是 70 吨.所以 C 点也要集中到 D 点.确定了集中地点，运输费用也就容易求了.运费最少为：（10×30＋30×20 ＋20×10＋60×10）×0.9=1530（元）. 我们从中可以发现：对于集中货物的问题，集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只 是为了计算. 【例 12】 （三帆中学分班考试）（难度系数：★★★）有七个村庄 A1，A2，…，A7 分布在公路两侧（见右图），由一些小路与公路相连， 要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应 设在哪里？ 分析：本题可简化为“B，C，D，E，F 处分别站着 1，1，2，2，1 个人 （见右图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”.显然 D、E 最大，靠拢完的结果变成了 D=4，E=3，所以车站设在 D 点. 附加题目 . 【附 1】（难度系数：★★★）有 2005 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应 该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 分析：【前铺 1】（首师附中培训测试题）（难度系数：★★）如右 图，在街道上有 A、B、C、D、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和 最短，邮局应立于何处？ 分析：条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定.那么我们先来分析一下 A、E 两个点， 不论这个邮筒放在 AE 之间的那一点，A 到邮筒的距离加上 E 到邮筒的距离就是 AE 的长度.也就是说邮筒 放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和.那么我们就使其他的 3 个点到邮筒的距离之和最短，再看为 了使 B、D 两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在 BD 之间.同理，只要是在 BD 之间，B、D 到邮筒的 距离之和也是不变的，等于 BD.最后，只需要考虑 C 点到邮筒的距离最近就行了.那么当然也就是把邮筒放 在 C 点了.这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”. 【前铺 2】（交大附中培训试题）（难度系数：★★） 如右图，道路上有 8 个幼儿园，现在要在道路上建造 一个送奶站，为使送奶站到 8 个幼儿园的距离和最短， 送奶站应建在哪个幼儿园？ 分析：找最中间的那个幼儿园，可这时最中间的幼儿园有两个，这该怎么办呢？其实经过研究发现，建在 这两个幼儿园都一样，路程和最短，所以可以建在 D 或 E .如果我们只要求建在这条道路上的一点即可， 那么 DE 之间及点 D、E 均可. 原题解答：向中心靠拢的思想，当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段 AnAn+1 之间的任何地 点（包括 An 和 An+1 点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位 An+1 点．本题有 2005=2 ×1002+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第 1003 个岗位处． 【附 2】（难度系数：★★★★）某乡共有六块麦地，每块麦地的产量 如右图．试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数越小越好.） 分析：依据“小往大靠”，“支往干靠”.我们不妨以 F-E-C-D 为干，， 显然麦场设在 C 点.当然你以其他路经为干，都会的到同样结果.譬如： 若以 F-E-C-A 为干，那么依据“支往干靠”，D 就靠到 C，B 移到 G，当 作“干”上一成员. 【附 3】（难度系数：★★）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的 3 个车床上加工七个零件，各零件加工 所需要的时间分别为 4，5，6，6，8，9，9 分钟，三人同时开始工作.问：加工完七个零件最少需要多长时 间？ 分析：按照需要加工的时间，我们可以把七个零件大体分成 3 组，因为 4＋5＋6＋6＋8＋9＋9＝47. 那么可知不论怎么组合，都必然出现有一组的时间是 17.例如：（4＋5＋6），（6＋9），（8＋9） 或（4＋6＋6），（5＋9），（8＋9）或（4＋5＋8），（6＋9），（6＋9）.所以加工完最少需要 17 分钟. 【附 4】（难度系数：★★★）在 A 国的遥远的东部地区，与 B 接壤处有一个城镇， 这个镇上的道路设计得如同方格栅栏一样，有点像美国的曼哈顿．这种道路设计最 初在古希腊使用．七个伙伴住在城镇七个不同的地方，用圆圈表示．他们想一起聚 会喝咖啡，为使七人行走的距离总和最小，他们应该在城镇的何处见面?请用△在 下图中标注出来． 分析：七个人到竖向最近的位置是七个人中间位置在第 4 竖街区，七个人到横向最近的位置是七个人中间 位置在第 5 横街区，故他们应在第 4 竖与第 5 横街区交汇处见面． 【附 5】（全国小学奥林匹克）（难度系数：★★★）5 个空瓶可以换 1 瓶汽水，某班同学喝了 161 瓶汽水， 其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？ 分析： 1161 (1 ) 128.84    ，所以需要 129 瓶. 练习十三 1.小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥 到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过 2 人，因此必须先由 2 个人拿 着手电筒过桥，并由 1 个人再将手电筒送回，再由 2 个人拿着手电筒过桥……直到 4 人都通过小木桥.已 知，小强单独过桥要 1 分钟；小明单独过桥要 1.5 分钟;小红单独过桥要 2 分钟;小蓉单独过桥要 2.5 分钟. 那么,4 个人都通过小木桥,最少要多少分钟？ 分析：要想用最少的时间，4 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就 能保证时间最短了． 第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5+1=2.5(分钟)； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了 2+1=3(分钟)； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 2.5 分钟； 所以，4 个人都通过小木桥，最少用 2.5+3+2.5=8(分钟)． 2.学校师生 1113 人外出参观，计划每人发 2 瓶汽水，商店规定每 7 个空汽水瓶可以换 1 瓶汽水，老师最 少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？ 分析：1908 瓶. 3．有一个水塔要供应某条公路旁的 A～F 六个居民点用水（见 右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够 供应 6 个居民点用水，细管只能供应 1 个居民点用水，粗管每 千米要 7000 元，细管每千米要 2000 元，粗细管怎样互相搭配， 才能使费用最省？费用应是多少？ 分析：从水塔到 C 点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为 297000 元。提示：当长度相同时，四根 细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管. 4．有一位探险家，徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带 1 个人四天所需的食物和水， 这个探险家雇用了 2 名工人，那么他最远可以走几天？ 分析：6 天. 5．右图是 A，B，C，D，E 五个村之间的道路示意图，○中数字是 各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位： 千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到 学校的总距离最短，试确定最合理的方案. 分析：“小往大处靠”的原则来解决，A 点向 C 点集中，因为根据“小往大处靠”的原则，虽然 A 点 40 人 比 C 点 20 人多，但是人最多的点是 E 点，所以大方向是向 E 点的方向靠拢。那么 B 点当然也要向 C 点靠 拢。C 点就有 80 人了.此时人数最多的点变成了 C 点了.D、E 又变成小势力了，因此还是“小往大处靠” 的原则，看大方向，E 点要向 D 点靠拢.此时 D 点变成 85 人了。那么 D 点比此时 C 点的 80 人多了.C 点又 变成小势力了.所以最终要集中在 D 点.也就是学校要设在 D 点. 6．车间里有 5 台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为 15，8，29，7，10 分钟，每 台车床停产一分钟造成经济损失 5 元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济 损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？ 分析：（1）780 元；（2）36 分。提示：（1）按修复时间需 7，8，10，15，29 分的顺序修理；（2）一人修 需 7 分和 29 分的，另一人修需 8，10，15 分的. 7．在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库（如图）共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库 有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在一个仓库 里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？ 分析：做此类问题时我们都可以根据“小往大处靠”的原则进行判断，观察可知五号仓的最大，所以先把 一号仓库的 10 吨货物往五号方向靠拢，先集中到二号仓库，那么现在二号仓库中就有 30 吨货物了.再根 据“小往大处靠”的原则，那么这 30 吨货物应该集中到五号仓库中. 所以所需的费用是：10×0.5×100＝500（元），30×0.5×300＝4500（元），共需要：500＋4500＝5000（元） 统筹安排的妙处 田忌赛马 齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。他们商量好，把各自的 马分成上，中，下三等。比赛的时候，要上马对上马，中马对中马，下马对下马。由于齐威王每个等级的 马都比田忌的马强得多，所以比赛了几次，田忌都失败了。 田忌觉得很扫兴，比赛还没有结束，就垂头丧气地离开赛马场，这时，田忌抬头一看，人群中有个人， 原来是自己的好朋友孙膑。孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马 快不了多少呀。”孙膑还没有说完，田忌瞪了他一眼：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦 你，我是说你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他。”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换一匹马 来？”孙膑摇摇头说：“连一匹马也不需要更换。”田忌毫无信心地说：“那还不是照样得输！”孙膑胸 有成竹地说：“你就按照我的安排办事吧。” 齐威王屡战屡胜，正在得意洋洋地夸耀自己马匹的时候，看见田忌陪着孙膑迎面走来，便站起来讥讽 地说：“怎么，莫非你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”说着，“哗啦”一声，把 一大堆银钱倒在桌子上，作为他下的赌钱。齐威王一看，心里暗暗好笑，于是吩咐手下，把前几次赢得的 银钱全部抬来，另外又加了一千两黄金，也放在桌子上。齐威王轻蔑地说：“那就开始吧！”一声锣响， 比赛开始了。 孙膑先以下等马对齐威王的上等马，第一局输了。齐威王站起来说：“想不到赫赫有名的孙膑先生， 竟然想出这样拙劣的对策。”孙膑不去理他。接着进行第二场比赛。孙膑拿上等马对齐威王的中等马，获 胜了一局。齐威王有点心慌意乱了。第三局比赛，孙膑拿中等马对齐威王的下等马，又战胜了一局。这下， 齐威王目瞪口呆了。比赛的结果是三局两胜，当然是田忌赢了齐威王。 还是同样的马匹，由于调换一下比赛的出场顺序，就得到转败为胜的结果