五年级下册数学试题-计数综合（一）（含答案解析）全国通用 7页

计数练习题 一． 夯实基础：‎ ‎1.‎ 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种 不同的信号？‎ ‎2.‎ 数学小组有 8 个人，现在要从这 8 个人中选出 3 个人来参加数学竞赛，问有多少种不同 的选法？‎ ‎3.‎ 用 0、1、2、3、4、5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有 多少个？‎ ‎4.‎ 三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，‎ 而三个男老师必须相邻，那么一共有多少种不同的排法？‎ ‎5.‎ 从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数中选出 3 个数，请问：‎ ‎（1）要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？‎ ‎（2）要使这 3 个数的和能被 3 整除，一共有多少种不同的选法？‎ ‎1‎ 二． 拓展提高：‎ ‎6.‎ 从 5 瓶不同的纯净水，2 瓶不同的可乐和 6 瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？‎ ‎7.‎ 有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的 5 节，每节用红、黄、蓝 3 种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？‎ ‎8.‎ 有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有多少种？‎ ‎9.‎ 只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有多少种？‎ ‎10. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有几种？‎ 三． 超常挑战 ‎11. 有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第 100 个数是多少？‎ ‎2‎ ‎12. 7 个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？‎ ‎（1）甲排头:‎ ‎（2）甲不排头，也不排尾:‎ ‎（3）甲、乙、丙三人必须在一起:‎ ‎（4）甲、乙之间有且只有两人:‎ ‎（5）甲、乙、丙三人两两不相邻:‎ ‎（6）甲在乙的左边（不一定相邻）:‎ ‎（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序:‎ ‎（8）甲不排头，乙不排当中 ‎13. 将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种 ‎14. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是多少？‎ 四. 杯赛演练：‎ ‎15. (清华附中考题)‎ 在1 ，2 ，3 ，4 ，5 的所有排列a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 中，满足条件a1 > a2 ，a3 > a2 ，a3 > a4 ，‎ a5 > a4 的不同排列的个数是 ．‎ ‎3‎ ‎16. （走美五年级初赛）‎ 一种电子表在 8 时 31 分 25 秒时显示为 8：3125 ，那么从 7 时到 8 时这段时间里，此表 的 5 个数字都不相同的时刻一共有 个.‎ ‎17. （迎春杯高年级决赛）‎ 由数字 1，2，3 组成五位数，要求这五位数中 1，2，3 至少各出现一次，那么这样的五位数共有 个。‎ ‎4‎ 答案：‎ ‎1.‎ 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不 仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，其中n = 5 ，‎ m = 3 ．由排列数公式知，共可组成种A3 = 5´ 4 ´ 3 = 60 种不同的信号．‎ ‎5‎ 从 8 个人里选出 3 个人参加数学竞赛，只与选出的结果有关，与选的先后顺序无关，所 ‎2.‎ A3‎ ‎8 ´ (8 -1) ´ (8 - 2)‎ 以是组合问题， n = 8 ， m = 2 根据组合公式知： C3 = 8 = = 56 ，所以 ‎8 A3‎ ‎3!‎ ‎3‎ 有 56 种 ‎3.‎ ‎（1）组成没有重复数字的四位数，共有：‎ ‎5 ´ 5 ´ 4 ´ 3 = 300 个 ；‎ ‎（2）其中要有偶数的话，则末位一定只能是 0 或者或者 4； 当末位是 0 时，有： 5 ´ 4 ´ 3 = 60 个；‎ 当末位是 2 或者 4 时有： 2 ´ 4 ´ 4 ´ 3 = 96 个。‎ 所以偶数共有 156 个。‎ 三个男生必然被女生组和老师组分开，所以一共有6´ 2´ 6´ 2 =144 种排法。‎ ‎4.‎ ‎5.‎ ‎（1）要使这 3 个数的乘积能被 3 整除，至少有一个数是3 的倍数，因此当有一个数是3‎ 的倍数时共有2 ´ C2 = 20 个，当有两个数是3 的倍数时有5 个，因此一共有 ‎5‎ ‎20 + 5 = 25 种选法 ‎（2）除以3 余0 的数有3, 6 ，除以3 余1 的数有1, 4, 7 ，除以3 余2 的数有2,5 ，可以从每个余数类各取一个，或在同一个余数类里取，因此共有2´ 3´ 2 +1 = 13个 ‎6.‎ 若选择纯净水、可乐：5×2=10； 若选择纯净水、果汁：5×6=30； 若选择可乐、果汁：2×6=12；‎ 所以，共有：52 种不同的选法；‎ ‎7.‎ 对称的 3×2×2=12 种，‎ 不对称的 3×2×2×2×2-12=36 种，‎ ‎36÷2+12=30。‎ 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，‎ ‎8.‎ ‎3 2‎ 从而共 A A ‎＝72 种排法 ‎3‎ ‎4‎ 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个 ‎9.‎ 数字共有 C ＝3‎ ‎1‎ ‎(种)选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有 A ×C ＝6‎ ‎2 2‎ ‎(种)排法，所 ‎3‎ ‎2 3‎ 以共有 3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有 18 个．‎ ‎5‎ ‎10. 因为 10÷8 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，‎ 那么共有 C ＝28 种走法．‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎11. 当千位数字是1 的“上升数”有C3 = 8 ´ 7 ´ 6 = 56 个；当千位数字是 2 的“上升数”有 ‎8‎ ‎3´ 2 ´1‎ C3 = 7 ´ 6 ´ 5 = 35 个；共56 + 35 = 91；前两位数字是34 的“上升数”有C2 = 5 ´ 4 = 10 个；‎ ‎7‎ ‎3´ 2 ´1‎ ‎5‎ ‎2‎ 因此第101 个“上升数”是3489 ，所以第100 个“上升数”是3479‎ ‎12. 解：（1）甲固定不动，其余有 A6 = 720 ，即共有 A6 = 720 种；‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎（2）甲有中间5 个位置供选择，有 A1 ，其余有 A6 = 720 ，即共有 A1 A6 = 3600 种；‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5 6‎ ‎（3）先排甲、乙、丙三人，有 A3 ，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相 ‎3‎ 当于5 人的全排列，即 A5 ，则共有 A5 A3 = 720 种；‎ ‎5‎ ‎5 3‎ ‎（4）从甲、乙之外的5 人中选2 个人排甲、乙之间，有 A2 ，甲、乙可以交换有 A2 ，‎ ‎5‎ ‎2‎ 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4 人的全排列，‎ 则共有 A2 A2 A4 = 960 种；‎ ‎5 2 4‎ ‎（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有 A4 ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排 ‎4‎ 这五个空位，有 A3 ，则共有 A3 A4 = 1440 种；‎ ‎5‎ ‎5 4‎ ‎（6）不考虑限制条件有 A7 ，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，‎ ‎7‎ ‎1‎ 即 A7 = 2520 种；‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎（7）先在7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有 A4 ，留下三个空位，甲、乙、丙 ‎7‎ 三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即 A4 = 840‎ ‎7‎ ‎（8）不考虑限制条件有 A7 ，而甲排头有 A6 ，乙排当中有 A6 ，这样重复了甲排头，‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ 乙排当中 A5 一次，即 A7 - 2A6 + A5 = 3720‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6 5‎ ‎6‎ ‎2 2‎ C C ‎6 4‎ ‎13. 先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 种分法，再将 4 组人员分到 4 个不同场馆去，共有 ‎2‎ A ‎2‎ C2·C2‎ ‎ 6 4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎·A ＝1 080 种．‎ A 种分法，故所有分配方案有：‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ A ‎2‎ ‎14. 6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 种，‎ 其 中 男 生 甲 站 两 端 的 有 种 ， 符 合 条 件 的 排 法 故 共 有 ‎332-144=188 种。‎ ‎15. a2 ， a4 中一定有 1，另一个只能是 2 或 3．‎ 如果a2 ， a4 是 1，2，另外三个数可以任意排列，有2 ´ 6 = 12 种；‎ 如果a2 ， a4 是 1，3，则 3 的两侧只能放 4 和 5，有2´ 2 = 4 种． 所以，共有 16 种．‎ ‎16. 此表的 5 个数字都不相同的时刻共有 6×5×7×6=1260 个.‎ ‎17. 这是一道组合计数问题。由于题目中仅要求 1，2，3 至少各出现一次，没有确定 1，2， 3 出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由 1，‎ ‎2，3 组成的五位数中，去掉仅有 1 个或 2 个数字组成的五位数即可。‎ 分两类：‎ ‎(1)1，2，3 中恰有一个数字出现 3 次，这样的数有C1 ´5´ 4 = 60 个；‎ ‎3‎ ‎(2)1，2，3 中有两个数字各出现 2 次，这样的数有C2 ´5´C2 = 90 个；‎ ‎3‎ ‎4‎ 综上所述，符合题意的五位数共有 60+90=150 个。‎ ‎7‎