小学五年级奥数教案：余数问题(讲师版) 18页

余数问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系， 也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常 重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就 基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘 法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识梳理 一、带余除法的定义及性质 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是 a＝b×q ＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当 0r  时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当 0r  时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 注： 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以 理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打 包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余 数一定要比除数小。 二、三大余数定理 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余数等 于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19=42 除以 5 的余数等 于 3+4=7 除以 5 的余数，即 2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积 除以 c 所得的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 (23 16) 除以 5 的余数等于 3 1 3  。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 (23 19) 除以 5 的余数等于 3 4 12  除以 5 的余数，即 2. 注： 对于上述 2 个定理，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其余数的乘法定 理，对于解决含有“一个数的 n 次方”的相关题型时非常的有用。 上述 2 个定理的本质是方程组的解法性质，即将 2 个不同数的带余除法的定义 式相加就可 以得到余数的加法定理，乘法定理也是类似的。 3.同余定理 若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用 式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的 推论： 若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除 用式子表示为：如果有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a－b＝mk,k 是整数，即 m|(a－b) 注： 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定 要熟练掌握。 三.弃九法原理 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算 术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算 结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923     1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这 个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与 等式右边和除以 9 的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行 计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的 时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字 之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之 和，再求这个和被 9 除的余数即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除 和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正 确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式 是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足 弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。 四、中国剩余定理 1.中国古代趣题： 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数 之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多 少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6 人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一 列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为 两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会 在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早， 所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2.核心思想和方法： 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法， 下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二， 问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3，5，7 后，得到三个余数分 别为 2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以 3 余 1，并且还 是 5 和 7 的公倍数。 先由5 7 35  ，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3 余 2，不符合 要求，那么就继续看 5 和 7 的“下一个”倍数 35 2 70  是否可以，很显然 70 除以 3 余 1 类似的，我们再构造一个除以 5 余 1，同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显 然 21 可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么 所求的自然数可以这样计算： 2 70 3 21 2 45 [3,5,7] 233 [3,5,7]k k        ，其中 k 是从 1 开始的自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以 限制，那么我们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算 2 70 3 21 2 45 2 [3,5,7] 23        得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上[3,5,7]即可，即 23+105=128. 五、重点难点解析 1.带余除法的定义式，4 个基本量的相互关系 2.三大余数定理的应用 3.弃九法的理解和应用 4.中国剩余定理原理的理解和应用 六、竞赛考点挖掘 1. 三大余数定理的灵活运用。 2. 求某些复杂数的个位数字 3. 弃九法的逆用与中国剩余定理模型的拓展应用 例题精讲 【试题来源】 【题目】 一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。 【答案】39，91 【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整 除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用 被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3×7×13，所求的两位数约数还 要满足比 37 大，符合条件的有 39，91. 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 有一个两位整数，除 39，51，147 所得的余数都相同，求这个数。 【答案】12 【解析】 本题考查知识点为同余定理。发现未知的两位整数除 39，51，147 的余数都相同，但是都 不知道是多少，所以无法按照例 1 的方法去求，那么根据同余定理，这三个被除数两两作 差后都可以得到这个未知两位数的倍数，即 108，96，12 均为所求数的倍数，即所求的数 是 108，96，12 的公约数，在这三个数的公约数中两位数的约束仅有 12，所以所求两位数 是 12. 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】求 478×296×351 除以 17 的余数。 【答案】1 【解析】 本题考查知识点为余数的乘法定理，不必求原先的三个三位数的乘积，直接分别计算每个 三位数除以 17 的余数即可。478÷17=28…2，296÷17=17…7，351÷17=20…11，那么 2×7×11=154，154÷17=9…1，所以原式除以 17 余 1. 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 求 126443 19 的余数 【答案】11 【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由 6443÷19 余 2，求原式的余数只要求 122 19 的余数即可。但是如果用 2÷19 发现会进入一个死循环， 因为这时被除数比除数小了，所以可以进行适当的调整， 12 6 62 2 2 64 64    ， 64÷19 余数为 7，那么求 122 19 的余数就转化为求 64 64 19  的余数，即 49÷19 的余数。 49÷19 余数为 11，所以原式 126443 19 的余数为 11. 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是 933， 求这 2 个自然数各是多少？ 【答案】856,21 【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到 40 16 40 16 933 x y x y        ,解方程组得 856 21 x y    ，即这两个自然数分别是 856，21. 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？ 【答案】11 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是 2008-10 即 1998 的约数，同时还要满足大于 10 这个条件。这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约数， 31998 2 3 37   ，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16 个约数，其中 1，2，3， 6，9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有 11 个。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们 号码的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【答案】5 【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2， 0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显 然 126 运动员打 5 盘是最多的。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 有一个自然数,用它分别去除 63,90,130 都有余数,3 个余数的和是 25.这 3 个余数中最大的 一个是多少? 【答案】20 【解析】 设这个除数为 M,设它除 63,90,130 所得的余数依次为 a,b,c,商依次为 A,B,C． 63÷M=A……a 90÷M=B……b 130÷M=C……c a+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即 283-25=258=(A+B+C)×M． 所以 M 是 258 的约数.258=2×3×43,显然当除数 M 为 2、3、6 时,3 个余数的和最大为 3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足． 而当除数 M 为 43×2,43×3,43×2×3 时,它除 63 的余数均是 63,所以也不满足． 那么除数 M 只能是 43,它除 63,90,130 的余数依次为 20,4,1,余数的和为 25,满足． 显然这 3 个余数中最大的为 20． 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图 15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于 100 个).小明像玩跳棋那样 从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到 A 孔.他先试着每隔 2 孔跳一步,结果只能跳到 B 孔.他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔.最后他每隔 6 孔跳一步,正好回到 A 孔.问这个圆圈上共有多少个孔? 【答案】91 【解析】 设这个圆圈有 n 个孔,那么根据题意有 n 除以 3 余 1,n 除以 5 余 1，结合前两个条件说明 n-1 是 15 的倍数，所以 n 可以写作 n=15a+1 的形式。又因为每隔 6 个孔跳一步后恰好回到了 A 点，说明 n 是 7 的倍数，那么 15a+1 需要是 7 的倍数，15a+1=14a+a+1，14a 已经是 7 的倍 数了，只要 a+1 是 7 的倍数即可，所以 a 可以取 6，13，20，…，因为 n＜100，所以 a 只 能取 6，此时 n=91。即圆圈上共有 91 个孔。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 若有一数介于 300 与 400 之间，以 3 除剩 1，以 8 除剩 5，以 11 除剩 4。问此数为何？ 【答案】301 【解析】 本题为中国剩余定理模型的典型题目。可以采用前面部分精讲的构造步骤来解决。 满足条件的数为 301。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是 1,2,3，…,12.他们的电话号码依次是 12 个连 续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数 字都小于 6,并且门牌号码是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除,问这一家的电话号码是 什么数? 【答案】388089 【解析】 设这 12 个连续的自然数为 n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被 1,2,3,…,12 整除, 显然有凡能同时被 1,2,3,…,12 整除.即 n 为 1,2,3,…,12 的公倍数． [1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以 n 是 27720 的倍数,设为 27720k.则有第 9 家 的门牌号码为 27720k+9 为 13 的倍数,从 27720k 中可以分离出一个最大的 13 的倍数是 27716k，那么要让 27720k+9 为 13 的倍数，只需要 4k+9 是 13 的倍数即可，k 的取值可以为 1，14，27…等自然数。考虑到 n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于 6,所以 k 只能取 14,有 7n=27720×14=388080． 那么门牌号码是 9 的这一家的电话号码是 388080+9=388089． 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和。 【答案】360 【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部 分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个 一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8， 所以等式一边除以 9 的余数为 8，那么□1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3.将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积， 即31031 31 1001 143 217    所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是 360 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 两位自然数 ab 与ba 除以 7 都余 1，并且 a＞b，求 ab ×ba 。 【答案】92,29 【解析】 两位自然数 ab 与ba 除以 7 都余 1，说明 ab 与 ba 同余，不妨设 ab ba cd  ，根据同余的 性质， cd 是 7 的倍数，但是我们知道 9( )ab ba a b   ，一定是 9 的倍数，那么 cd 也一 定是 9 的倍数。，所以满足条件的 cd 只有 63，对应的 ab ba和 就为：92 和 29。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】   "2"2000 2222 个 除以 13 所得余数是_____. 【答案】9 【解析】 我们发现 222222 整除 13，2000÷6 余 2， 所以答案为 22÷13 余 9。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 1.4.8.10.16.19.21.25.30.43 这 10 个数中取出一些数，取出的数不超过三个，并使其和是 11 的整倍数，那么，不同的取法有几种？ 【答案】15 【解析】 这 10 个数除以 11 的余数分别是 1，4，8，10，5，8，10，3，8，10。取两个数有 1＋10 和 3＋8，共 3×2＝6 种，取三个数有 4＋8＋10，共有 3×3＝9 种，共 6＋9＝15 种取法。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 有五个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是 2 的倍数，任意三个数的和是 3 的倍 数．为了使这五个数的和尽可能地小，那么这五个数的和是_______. 【答案】60 【解析】 任意 2 个数的和是 2 的倍数，说明他们奇偶性相同，要么都是偶数，要么都是奇数； 任意 3 个数的和是 3 的倍数，说明他们关于 3 同余，要么都整除，要么都余 1，要 么都余 2，所以答案为 0+6+12+18+24=60 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 在小于 1000 的自然数中，分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个?(余数可以为 0) 【答案】99 【解析】 我们知道 18，33 的最小公倍数为[18，33]=198，所以每 198 个数一次． 1～198 之间只有 1，2，3，…，17，198(余 O)这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同， 而 999÷198=5……9，所以共有 5×18+9=99 个这样的数． 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 2008 22 2008 除以 7 的余数是多少？ 【答案】3 【解析】 20082 7 余 2（找循环） 2008÷7 余 6，所以 22008 7 余 1（余数乘法定理） 根据余数加法定理 2+1=3， 所以答案为 3。 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某个自然数被 187 除余 52，被 188 除余 52，那么这个自然数被 22 除的余数是多少？ 【答案】8 【解析】 A÷187=……52, A÷188=……52, A=[187,188]+52=35208 35208÷22=……8 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】数 11…1（2007 个 1），被 13 除余多少？ 【答案】10 【解析】 1001=7×11×13 所以 6 个 1 就能整除 13 了，即 111111÷13=……0, 所以 2007÷6=234……3, 111÷13=7……10 所以数 11…1（2007 个 1），被 13 除余 10 【知识点】余数问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 习题演练 【试题来源】 【题目】求 20001999 7 的余数 【答案】2 【解析】2 【知识点】余数问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】被除数、除数、商与余数之和是 2143，已知商是 33，余数是 52，求被除数和除数。 【答案】1999，59 【解析】1999,59 【知识点】余数问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】有一个大于 1 的整数，除 45，59，101 所得的余数相同，求这个数的可能范围。 【答案】2，7，14 【解析】2,7,14 【知识点】余数问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】一个两位数除以 13 的不完全商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数。 【答案】83 【解析】83 【知识点】余数问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】有一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 10，从第三个数开始，每个 数恰好是前两个数的和，那么第 1997 个数被 3 除所得的余数是多少？ 【答案】0 【解析】0 【知识点】余数问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】有 5000 多根牙签,可按 6 种规格分成小包.如果 10 根一包,那么最后还剩 9 根.如果 9 根一包,那么最后还剩 8 根.第三、四、五、六种的规格是,分别以 8,7,6,5 根为一包,那么最后也分别剩 7,6,5,4 根.原来一共有牙签多少根? 【答案】5039 【解析】5039 【知识点】余数问题 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5