五年级奥数教案：第25周　最大公约数 6页

第 25 周 最大公约数 专题简析： 几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做 这几个数的最大公约数。我们可以把自然数 a、b 的最公约数记作（a、 b），如果（a、b）=1，则 a 和 b 互质。 求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。 例题 1 一张长方形的纸，长 7 分米 5 厘米，宽 6 分米。现在要 把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？ 如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？ 分析 7 分米 5 厘米=75 厘米，6 分米=60 厘米。因为裁成的正方 形的边长必须能同时整除 75 和 60，所以边长是 75 和 60 的公约数。 75 和 60 的公约数有 1、3、5、15，所以有 4 种裁法。 如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取 75 和 60 的最大公约数 15 作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60 ÷15）=20 块。 练习一 1，把 1 米 3 分米 5 厘米长、1 米 5 厘米宽的长方形纸，裁成同 样大小的正方形，至少能裁多少块？ 2，一块长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形木板，把它锯成若干块 正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？ 3，将一块长 80 米、宽 60 米的长方形土地划分成面积相等的小 正方形，小正方形的面积最大是多少？ 例题 2 一个长方体木块，长 2.7 米，宽 1.8 分米，高 1.5 分米。 要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大 是多少分米？ 分析 2.7 米=270 厘米，1.8 分米=18 厘米，1.5 分米=15 厘米。 要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该 是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、 宽、高的最大公约数。 （270，18，15）=3，3 厘米=0.3 分米 练习二 1，一个长方体木块的长是 4 分米 5 厘米、宽 3 分米 6 厘米、高 2 分米 4 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求 所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？ 2，有 50 个梨，75 个橘子和 100 个苹果，要把这些水果平均分 给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以 分给几个小组？ 3，五年级三个班分别有 24 人、36 人、42 人参加体育活动，要 把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少 人？每班各可以分几组？ 例题 3 有三根钢管，它们的长度分别是 240 厘米、200 厘米和 480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘 米？ 分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是 240、200 和 480 的公约数，而每小段要取最长，也就是求 240、200 和 480 的最大公约数。240、200 和 480 的最大公约数是 40，所以每 小段最长是 40 厘米。 练习三 1，有一个长方体木块，长 60 厘米、宽 40 厘米，高 24 厘米。如 果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？ 2，用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等 的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？ 3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他 工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共 加工 2100 个，其中王师傅比每个工人多加工 7 个；第二批加工 1800 个，其中王师傅比每个工人多加工 6 个；第三批加工 1600 个，其中 王师傅比每个工人多加工 13 个。这批工人最多有多少人？ 例题 4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360 米，乙、丙村相距 675 米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之 间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相 邻两棵树之间的距离最多是多少米？ 分析 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将 360÷2=180 米、675÷2=337.5 米平均分成若干段，并且使每段的长 度最长。因为（675、360）=45，而 180=360÷2，337.5=675÷2，所 以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是 22.5 米。 练习四 1，一条公路由 A 经 B 到 C。已知 A、B 相距 300 米，B、C 相距 215 米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在 B 点及 AB、 BC 的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？ 2，有 336 支铅笔，252 块橡皮，210 个文具盒，用这些文具，最 多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒 各有多少？ 3，甲数是 36，甲、乙两数的最小公倍数是 288，最大公约数是 4，乙数是多少？ 例题 5 用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面 积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多 少？ 分析 前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形 长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大 公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。 第一步：1072÷469，余 134； 第二步：469÷134，余 67； 第三步：134÷67，没有余数，所以用 67 毫米为正方形的边长来 剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112 个正方形，即这些正 方形的边长最大是 67 毫米。 这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。 练习五 1，用辗转相除法求 568 和 1065 的最大公约数。 2，试用辗转相除法判断 1547 与 3135 是否互质。 3，判断 11111/15015 是不是最简分数。