小学奥数知识点：工程问题、找简单数列的规律 13页

小学奥数知识点：工程问题、找简单数列的规律 例1：‎ 一件工作，甲做5小时后，再由乙做3小时可以完成；若乙先做9小时后，再由甲做3小时也可以完成。那么甲做1小时以后，由乙做____小时可以完成？‎ 讲析：因为“甲做5小时，乙做3小时可以完成”；或者“甲做3小时，乙做9小时也可以完成”。由此得，甲做5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙做9-3=6（小时）的工作量。‎ ‎　　即：甲做1小时，相当于乙做3小时。‎ ‎　　由“甲做5小时，乙再做3小时完成”，可得：甲少做4小时，就需乙多做3×4=12（小时）。‎ ‎　　所以，甲做1小时之后，还需要乙再做3+12=15（小时）才能完成。‎ 例2：‎ 如果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两根水管，1小时20分可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分可以灌满。那么，用乙管单独灌水，要灌满一池水需要____小时。‎ 讲析：关键是求出乙的工作效率。‎ 例3：‎ 一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成；乙队单独做 时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整个工程要挖多少方土？‎ 讲析：甲、乙两队合做，则工效可提高20％，所以每天可以完成 例4：某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可以完成一项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前几分钟完成这项生产任务。‎ 所以，同样交换A与B，C与D之后，全组每小时可以完成：‎ 找简单数列的规律 ‎　　日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：‎ ‎　　自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1）‎ ‎　　年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）‎ ‎　　某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）‎ ‎　　45，45，44，46，45 （3）‎ ‎　　像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项。如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。‎ ‎　　根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。‎ ‎　　研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。‎ 例1 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.‎ ‎　　①2，5，8，11，（），17，20。‎ ‎　　②19，17，15，13，（），9，7。‎ ‎　　③1，3，9，27，（），243。‎ ‎　　④64，32，16，8，（），2。‎ ‎　　⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…‎ ‎　　⑥1，3，4，7，11，18，（），47…‎ ‎　　⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.‎ ‎　　⑧1，2，6，24，120，（），5040。‎ ‎　　⑨1，1，3，7，13，（），31。‎ ‎　　⑩1，3，7，15，31，（），127，255。‎ ‎　　(11)1，4，9，16，25，（），49，64。‎ ‎　　(12)0，3，8，15，24，（），48，63。‎ ‎　　(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.‎ ‎　　(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.‎ 分析与解答 ‎　　①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。‎ ‎　　② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。‎ ‎　　不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.‎ ‎　　③1，3，9，27，（），243。‎ ‎　　此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括号中应填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。‎ ‎　　④64，32，16，8，（），2‎ ‎　　与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：‎ ‎　　因此，括号中填4，代入后符合规律。‎ ‎　　综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。‎ ‎　　⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34…‎ ‎　　首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。‎ ‎　　这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。‎ ‎　　⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47…‎ ‎　　在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=11＋18。‎ ‎　　数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。‎ ‎　　⑦1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。‎ 方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：‎ ‎　　因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确。‎ 方法2：其实，这一列数有如下的规律：‎ ‎　　第1项：1=1‎ ‎　　第2项：3=1＋2‎ ‎　　第3项：6=1+2+3‎ ‎　　第4项：10=1+2+3+4‎ ‎　　第5项：（ ）‎ ‎　　第6项：21=1+2+3+4+5+6‎ ‎　　第7项：28=1+2+3+4+5+6+7‎ ‎　　第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8‎ ‎　　第9项：（ ）‎ ‎　　即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，‎ ‎　　第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；‎ ‎　　第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。‎ ‎　　⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。‎ 方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：‎ ‎　　所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6。‎ 方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：‎ ‎　　第1项 1=1‎ ‎　　第2项 2=1×2‎ ‎　　第3项 6=1×2×3‎ ‎　　第4项 24=1×2×3×4‎ ‎　　第5项 120=1×2×3×4×5‎ ‎　　第6项 （ ）‎ ‎　　第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7‎ ‎　　所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720‎ ‎　　⑨1，1，3，7，13，（ ），31‎ ‎　　与⑦类似：‎ ‎　　可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2×（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。‎ ‎　　⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。‎ ‎　　因此，括号中的数应填为63。‎ 小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：①寻找各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。‎ ‎　　事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。‎ ‎　　在⑩题中，1=2-1‎ ‎　　3=22-1‎ ‎　　7=23-1‎ ‎　　15=24-1‎ ‎　　31=25-1‎ ‎　　127=27-1‎ ‎　　255=28-1‎ ‎　　所以，括号中为26-1即63。‎ ‎　　（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.‎ ‎　　1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。‎ ‎　　本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。‎ ‎　　(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。‎ ‎　　仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规律是项=项数×项数-1.所以，括号中填35，即 35= 6×6-1。‎ ‎　　(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。‎ ‎　　前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：‎ ‎　　奇数项：1，2，3，4，5‎ ‎　　偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=16×2）。‎ ‎　　(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。‎ ‎　　同上考虑，把数列分为奇、偶项：‎ ‎　　偶数项：2，4，6，8，10‎ ‎　　奇数项：1，3，9，27，（ ）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。‎ ‎　　像(13)(14)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列。‎ 例2 下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：‎ ‎　　（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？‎ ‎　　方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；这些数组的第2个分量 3，6，9…也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。‎ ‎　　方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。‎ ‎　　第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18‎ ‎　　第3组：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。‎ 例3 按下图分割三角形，即：①把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C））…继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40…请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.‎ ‎　　分析与解答：‎ ‎　　第4次分割后的图形如左图：‎ ‎　　因此，数列的第5项为121。‎ ‎　　这个数列的规律如下：‎ ‎　　第1项1‎ ‎　　第2项4=1+3‎ ‎　　第3项13=4+3×3‎ ‎　　第4项40=13+3×3×3‎ ‎　　第5项121=40+3×3×3×3‎ ‎　　或者写为：第1项 1=1‎ ‎　　第2项4=1+31‎ ‎　　第3项13=1＋3＋32‎ ‎　　第4项 40=1＋3＋32＋33‎ ‎　　第 5项 121=1＋3＋32+33＋34‎ ‎　　因此，第10项也即第9次分割后得到的不重叠的三角形的个数是29524。‎ 例4 在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉，再从括号中选一个合适的数替换。‎ ‎　　①42，20，18，48，24‎ ‎　　（21，54，45，10）‎ ‎　　②15，75，60，45，27‎ ‎　　（50，70，30，9）‎ ‎　　③42，126，168，63，882‎ ‎　　（27，210，33，25）‎ 解：①中，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用54代替。‎ ‎　　② 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数，而 27不是，用30来替换27。‎ ‎　　③同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882都是42的整数倍，而63却不是.因此，用210来代替63。‎