六年级下册数学试题-奥数：一题多解（解析版）全国通用 13页

第七讲 一题多解 教学目标 学奥数的本意是开发智力，整合知识。我们通过一题多解的训练形式，要努力形成举一反三、融会 贯通的能力，常见的解题方法主要是算术方法和方程等，算术方法是我们解小学奥数题的主力，方程作 为一种数学工具也是我们解题时经常依赖的，除了这些以外，我们还有很多非常规、非典型的解题方法， 如（1） 特殊值法；（2） 利用图形解题；（3） 取特殊情形、极限考虑. 分析：转动小三角形使小三角形和大三角形相反方向，容易看出小三角形的 面积是大三角形的四分之一. 专题精讲 Ⅰ 考虑特殊情况与特殊值 特殊情况与特殊值的方法一般只适合用于巧解填空题，利用特殊情况和特殊值的原则，主要 有：1）不违背题目条件； 2）特殊情况或特殊值代入原题后不会产生逻辑或数值上的矛盾； 3）特殊情况或特殊值有利于题目的解决. 由于特殊情况和特殊值的特殊性，建议大家不要在解答题或证明题中使用这种方法，这种方 法仅仅作为一种应试技巧和参考. 想 挑 战 吗 ？ 一个正三角形中内接一个圆， 圆中又内接一个小三角形，问小 三角形的面积是大三角形面积的 几分之几？ 【例 1】 如图，在一个边长为 6正方形中，放入一个边长为 2的正方形，保持与原长正形的边平行，现 在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积 为 . 分析：（方法一）对于任意一个梯形（如图），上底和下底分别为 a 和 b 时，阴影部分的面积可以表示为 s1、s2、s3 的和，而 s3：s4=s1：s2=（s1+s3）：（s2+s4）=a：b，同理 s1：s3=s2：s4=a：b，所以：s1： s2：s3：s4=a2：ab：ab：b2，所以阴影部分的面积等于 2 2 2 2 2 a ab a ab b    . 连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到 了 2 2 2 2 2 2 6 7 2 2 2 6 6 16         ，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的 7 16 ，阴影部分的面积为 2 27 (6 2 ) 14 16    , （方法二）取特殊情况，使得两个正方形的中心相互重合，由上右图可知，A、B、C、D均为相邻两格 点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为 1.5，因此空白处的总面积为 5.16 222242  ，阴影部分的面积是 142266  . 【例 2】 （★★★★人大附中入学测试题）如图，有三个正方形 ABCD、BEFG 和 CHIJ，其中正方形 ABCD 的边长是 10，正方形 BEFG 的边长是 6，那么三角形 DFI 的面积是 ． A B C D E F G J I H 分析：（法一）S△DIF＝SABCD+SCHIJ+S△DIJ－SBEFG－SADFG－SADFG－SEHIF ＝100+a2+ 2 1 a(10－a)－36－ 2 1 (10－6)(10+6)－ 2 1 (6+a)(4+a)＝20。 （法二）还可以利用三角形 DFI 面积=DFC 的面积 （法三）极限考虑，令正方形 JCHI 边长为 0，这样 I 就变成 C 点，所以三角形 DFI 面积=DFC 的面积. [前铺]如下图，ABCD、CEFG 均为正方形，已知 ABCD 的边长是 12，试求三角形 BFD 的面积。 F D BA C E G 分析： （法一）设小正方形 CEFG 的边长为 a，则 72 212121212 2)12(212122)12(1212     aaaa SSSSS DEFABDBCEFABCDBFD （法二）直线 BD 与 CF 平行，所以三角形 BFD 与三角形 BCD 面积相等，则 7221212  BCDBFD SS 。 [点评]利用五大模型中的梯形两腰上的三角形相等。 （法三）取极限情况，令小正方形 CEFG 的边长为零（如下左图），则点 F 经线段 FC 滑至点 C，所求三角 形即为 BCF；令小正方形 CEFG 的边长与大正方形的边长相等（如下右图），则三角形 BFD 的面积即为大正 方形的一半。 D BA C(F、E) F D B A C E [点评]可以先让学生随便先设一些数据来算，再用方法一，再讲方法三，这样最能体现一个老师讲这道 题的能力。 【例 3】 甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班步行的速度均为每小时 5千米。学校有一辆汽车， 空车行驶的速度是每小时 60 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，搭载学生时的行驶速度是每小时 50千米。为了使两班学生在最短时间内到达公园，甲班学生步行了全程的几分之几？ 分析：（法一）运用比例结合图形解. 设甲班先步行，则甲班由 C至 B的时间与汽车由 C经 A至 B的时间相等。假设汽车的速度一直都是 50 千米/时，则 CA+AB=（ 550  ）CB=10CB。但实际上汽车在 BA段的速度变为 60，则相应的等量关系 应变为 CB+AB+ 60 50 AB=10CB，整理得 AB= 11 54 CB；又 CB=AD，所以 CD=（ 2 11 54  ）CB= 11 76 CB， 即甲班学生步行了全程的 76 11 。 （法二）设全程为 s千米，甲班学生步行了 x千米，根据甲班上车前的步行时间与汽车的行驶时间相等， 可得方程： 560 2 50 xxsxs     xxsxs 60)2(5)(6  xxs 601611  xs 7611  sx 76 11  (法三)运用特殊值的方法：设汽车行驶了 1个单位的路程后返回去接乙班学生，掉头时乙班学生们已走了 1 10 个单位的路程，因此汽车和乙班学生相遇时，学生分别又走了 1 5 9(1 ) 10 60 5 130     ，汽车走了 1 60 108(1 ) 10 60 5 130     ，这时候汽车距离甲班学生 9 108 9 130 130 10   个单位路程，汽车要追上甲班学生还 需要行驶 9 (50 5) 50 1 10     个单位路程.因此总路程为 1 9 1521 10 130 130    ，其中甲班学生走了 1 9 22 10 130 130   个单位的路程.因此甲班学生走的路程是全程的 22 152 11 130 130 76   . Ⅱ 从不同角度思考问题 【例 4】 汽车甲和乙分别以每小时 100 千米和 120 千米的速度从Ａ城开往 B 城。甲车比乙车早 l 小时离 开Ａ城，但同时到达 B 城。求两城间的路程。 分析： （法一）因为甲车先走了 100 千米，乙车每小时能追上甲车(120—100)=20(千米)，追 100 千米要用 (100÷20)=5(小时)，乙车 5小时共走 120×5=600(千米)就是 A、B 两城间的路程。列算式为 120×［100÷(120—100)]＝600(千米) （法二）由于甲、乙两车行的路程相同，根据甲、乙两车速度的比是(100：120)=5：6 可以知道，甲、 乙两车所用时间的比为 6：5，从而求出乙车用的时间为 61 ( 1) 5 5       （小时）.故 A、B 两城间的路程 为 120×5=600（千米）.列算式为 120120 1 ( 1) 600 100        （千米）. （法三）两车各走一千米所需的时间差： 1 1 1 100 120 600   （小时），由于两车所用的时间差为 1 小时， 所以两车各走 11 600  =600 千米. 【例 5】 一项工程，甲、乙合作 8 天完成。如果让甲先独做 6 天，然后乙再独做 9 天完成任务。乙独做 这项工程要多少天完成? 分析： （法一）用“分干合想”的思路，据题意可知甲先做 6 天、乙再做 9 天完成任务，可以看成是甲、乙合 作 6 天，然后乙独做 3 天。乙 3 天的工作量是 1 11 6 8 4    ，则乙独做这项工程的时间是 3÷ 1 4 =12(天)。 即（9-6）÷（1-6×1/8）=12（天） (法二)根据法一的分析，乙独做 3 天的工作量为 1 11 6 8 4    ，乙的工作效率为 1 13 4 12   ，乙独做这项 工程需用的时间为 l÷ 1 12 =12(天)。即 1÷[（1-6×1/8）÷（9-6）]=12 （法三）假设甲、乙合作 9 天，工作量就是 1 99 8 8   ，超过工作总量 1； 9 11 8 8   就是超过的工作量， 1 8 实际上就是甲 9—6=3(天)的工作量。那么，甲的工作效率就是 1 8 ÷3= 1 24 。乙完成全工程所用的时间 为 1÷ 1 1( ) 8 24  =12(天)。即 1÷[1/8-（9×1/8-1）÷（9-6）]=12 【例 6】 图是由正方形和半圆形组成的图形。其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点。已 知正方形的边长为 10，那么阴影部分面积是多少？（π取 3.14.） 分析：（法一）阴影面积的“加减法”。因为阴影部分面积不是正规图形，所以通过整个面积减去空白部 分面积来求解。过 P 点向 AB 作垂线，这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形，这样 阴影面积=整个面积-空白面积=（正方形 ABCD+半圆）—（三角形+梯形） =（10×10+π×5×5÷2）-[15×5÷2+（5+15）×5÷2] =51.75 [总 结]这种方法是小升初中最常用的方法，一定要学会这种处理思路。 （法二）面积的“加减法”和“切割法”综合运用，思路出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1. 半叶形 2。1/4 圆，所以我们可以先把面积补上再减去补上的面积 S1=正方形-1/4 圆=5×5-1/4×π×5×5 上面阴影面积=三角形 APE-S1=15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5 下面阴影面积=三角形 QPF-S2= 所以阴影面积=（15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5）+（10×5÷2-5×5-1/4×π×5×5）=51.75 （法三）面积的“切割法”出现正方形，出现弧线时，注意两个考点：1.半叶形 2。1/4 圆，这样可以 考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形 半叶形 S1=正方形-1/4 圆=5×5-1/4×π×5×5 上面阴影面积=三角形 ADP+S1=10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5 下面阴影面积=三角形 QPC+S2=5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5 阴影面积=（10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5）+（5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5）=51.75 【例 7】 （★★★）如图，ABCG 是 4×7 的长方形，DEFG 是 2×10 的长方形，那么，三角形 BCM 的面积 与三角形 DCM 的面积之差是多少？ 分析： （法一）公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。 GC=7，GD=10 推出 HE=3；BC=4，DE=2 阴影 BCM 面积-阴影 MDE 面积=(BCM 面积+空白面积)-(MDE 面积+空白面积)=三角形 BHE 面积-长方形 CDEH 面积=3×6÷2-3×2=3. [总结]对于公共部分要大胆的进行处理,这样可以把原来无关的面积联系起来,达到解题的目的. (法二)画阴影的两个三角形都是直角三角形，而 BC 和 DE 均为已知的，所以关键问题在于求 CM 和 DM．这 两条线段之和 CD 的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线 BC 与 DE 截成的比例线段求得． 分析 GC=7，GD=10 知道 CD=3； BC=4，DE=2 知道 BC:DE=CM:DM 所以 CM=2，MD=1。 阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3 (方法三)连接 BD (3 4 2 3) 2 3BCM DEM BCD BDES S S S            [拓展]如图,已知圆的直径为 20,S1-S2=12,求 BD 的长度. 分析：S1加上空白部分面积即为半圆面积，S2加上空白部分面积即为三角形的面积.所以 S1-S2等于半圆面 积减去三角形面积，半圆的面积为 102兀÷2=157，所以三角形的面积为 157-12=145，所以三角形的底边 边长为 145×2÷20=14.5 厘米. 【例 8】 如图，半圆 ACB的直径为 AB,△ABC 为等腰直角三角形，△BCD 为边长为 2 等边三角形，那 么途中阴影部分面积为 。 分析： （法一）阴影部分分为三角形 ACD+弓形 AC，可分别求。过 D点作 DF垂直交 AC于 F点，见下左图。 ∠BCD=60°,所以∠ACD=30°，那么在直角三角形 FCD中，直角边 DF=DC的一半=1；又 AC=BC=2， 所以三角形 ACD的面积是 1 1221  。设圆的半径为 r，在等腰直角三角形 ABC 中，根据面积相等 有 22222  rr ，则 22 r ，因此弓形 AC的面积是 57.04)2( 22 r ，所以阴影部分面积是 57.157.01  。 （法二）取 BC边的中点 E，连接 DE和 CO，见下右图。DE是正三角形 CBD在 CB边上的高，则 DE 与 AC垂直，那么 ACEACD SS  ，又 ACOABCACE SSS  2 1 ，则阴影部分面积等于 ACOS +弓形 AC，即四 分之一圆，同（法一）求得 22 r ，所以阴影部分面积为 57.142 r 。 【例 9】 一个两位数被它的各位数字之和除去，问余数最大是多少？ 分析：要使得余数最大，应首先使得这个两位数的两个数字之和尽可能大。 （法一）设这个两位数为 ab，即求 ab除以 )( ba  的余数，又 )(910 baabaab  ，所以只要求 a9 除以 )( ba  的余数。a =9时，依次检验b取 9、8、……、0时的余数，分别为 9、13、1、6、11、3、 9、4、1、0； a =8时，依次检验b取 9、8、……、0时的余数，分别为 4、8、12、2、7、0、6、2、0； a =7时，依次检验b取时，余数为 15，而此后 ba  一定不会超过 7+8=15，则余数也不会超过 15，所以 15即为最大的余数。 （法二） ba  最大，余数才可能最大，按照 ba  的和从大到小检验： ba  =18时， ab只能是 99，余数是 9； ba  =17时， ab可能是 98或 89，相应的余数是 13或 4； ba  =16时， ab可能是 97、88或 79，相应的余数是 1、8或 15； 而当 ba  ≤15时，余数应小于等于 14，因此 15即为最大的余数。 【例 10】 12和 60是很有趣的两个数，这两个数的积恰好是这两个数的和的 10倍： 12×60＝720,12＋60＝72。 满足这个条件的正整数还有哪些？ 分析: （法一）设满足条件的正整数对是 a和 b（a b）。依题意有 ab=10(a+b), ab=10a+10b,  ab-10a=10b a(b-10)=10b a= 10 100)10(10 10 10     b b b b =10+ 10 100 b 因为 a 是正整数，所以 b 是大于 10 的整数，并且（b-10）是 100的约数。推知 b=11,12,14,15,20，相应 地得到 a=110,60,35,30,20。即所求正整数对还有 11,110；14,35；15,30；20,20；四对。 （法二）变形为分数分拆 由 baab ba ba abbaab 11 10 1 10 110)(10      因为 110 1 11 1 35 1 14 1 30 1 15 1 20 1 20 1 10 1  60 1 12 1  所以可得到如上几个解。 例如：对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”例如 70与 30，那么在 1， 2，……，16这 16个整数中，有好数多少对？（此题为导引数论三第 4题） 可按如上题转化成分数分拆的方法分类加以阐述，求解为有好数四对：3 和 6，4 和 12，6 和 12，10和 15。 [拓展]对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”例如 70 与 30，那么在 1， 2，……，16 这 16 个整数中，有好数多少对？ 分析：（法一）不妨设它们的积是和的 k 倍，设这两个数为 a b、 ,则有 ab ka kb  ,化为 2kb ka k b k b k      ,由于 a b、 最多只能取 16，所以，k 的值不超过 16×16÷（16+16）=8，又因为 a b、 对称，所以不妨设 a≥b，显然当 b≤2k 时，a≥b，所以有如下判断： 显然 k=1 时，b-k 只能取值 1，此时 a b  2， 当 k=2 时，b-k 能取 1、2，对应的b  3、4，a  6、4； 当 k=3 时，b-k 能取 1、3，对应的b  4、6，a  12、6； 当 k=4 时，b-k 能取 1、2、4，对应的b  5、6、8， a  20、12、8； 当 k=5 时，b-k 能取 1、5，对应的b  6、10， a  30、10； 当 k=6 时，b-k 能取 1、2、3、4、6，对应的b  7、8、9、10、12，a  42、24、18、15、12； 当 k=7 时，b-k 能取 1、7，对应的b  8、14， a  56、14； 当 k=8 时，b-k 能取 1、2、4、8，对应的b  9、10、12、16， a  72、40、24、16； 从中筛选出符合条件的 a、b 值有：（3、6）（4、12）（6、12）（10、15）四对. 【例 11】 下图是一个各条边长度分别为 cm5 、 cm12 、 cm13 的直角三角形。将它的短直角边对折到 斜边上去与斜边相重合，那么右图中的阴影部分的面积是多少？ 分析： （法一）在右图中三角形 ACE 和 ACB面积相等；BC=EC=5cm，所以 DB= 8513  cm，又三角形 ACE、 ACB、ABD 的高 AB（AE）相等，所以它们的面积之比是为 5：5：8。三角形 CDE 的面积是 302512  2cm ，所以阴影部分的面积是 3 40 855 830    2cm 。 （法二）设 AB（AE）长为 x cm，则有方程 251225213  xx ，解得 3 10 x ，所以阴影部分 面积是 3 402)513( 3 10  2cm 。 练习七 1. 爷爷坐汽车，小李骑自行车，沿一条公路同时从 A 地去 B 地。汽车每小时行 40 千米，是自行车速度 的 2．5 倍。结果爷爷比小李提前 3 小时到达 B 地。A、B 两地间的路程是多少千米? 分析： （法一）根据“汽车的速度是自行车的 2．5 倍”可知，同时从 A 地到 B 地，骑自行车所花时间是汽车的 2．5 倍，也就是要比坐汽车多花 1．5 倍的时间，其对应的具体量是 3 小时，可知坐车要 3÷(2.5 一 1)=2(小 时)，A、B两地问的路程为 40×2=80(千米)。即 40×[3÷（2.5-1）]=80（千米） （法二）汽车到 B 地时，自行车离 B 地(40÷2．5×3)=48(千米)，这 48 千米就是自行车比汽车一共少走 的路程，除以自行车每小时比汽车少走的路程，就可以得出汽车走完全程所用的时间，也就可以求出两 地距离为 40×[（40÷2.5×3）÷（40-40÷2.5）]=80（千米） 2. 甲乙二人的年龄（均超过 10岁）相差 21岁，试问：有没有可能某一年，两人岁数的两位数字恰好 相反？ 分析：（法一）如果存在，设二人的岁数分别为 ab、ba，其中 ab >ba，则年龄差为 babaab 99  ， 应是 9的倍数，而 21不能被 9整除。 （法二）如果存在，设年纪小的那个人年龄为 ab，那么如果 b不等于 9的话，年纪大的那个人的年龄为 ( 2)( 1)a b  ，因为 a+b≠（a+2）+（b+1）所以这两个两位数不可能数字恰好相反（否则应该相等）， 如果 b=9，那么年纪大的那个人的年龄应该是个整十数，即 a=0，这显然不可能，所以没有可能某一年， 两人的两位数字恰好相反. 3. 如图，长方形的长为 15厘米，宽为 9 厘米，把长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与各分点、 顶点连接，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（十一学校 06年选拔试题） 分析：取特殊情况，设该任意点在长方形的顶点上，由下图可知阴影部分的面积是长方形的一半，即 5.672915  平方厘米。 4. 在一个梯形内部有两个面积分别是 6 和 8 的三角形，梯形下底的长是上底的 3 4 倍，试求阴影部分 的面积。 分析：设上底为 3，下底为 4，则梯形的高是 4+4=8，梯形面积是（3+4） 28 =28，空白部分面积为 28 – 6 – 8 =14. 5.如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10 和 12，已知梯形的上底是下底长的 3 2 。那么余下 的阴影部分的面积是多少？ 分析： （法一）设上底为 a2 ，那么下底为 a3 ，则上下两个三角形的高分别为 aa h 10 2 210 1    ， aa h 8 3 212 2    ，梯形的高是 aaa hh 18810 21  ，其面积为 45218)32(  a aa ，阴影部分面 积为 23121045  . （法二）不妨设上底为 2，则下底为 3，则上下两个三角形的高分别为 10 2 210 1   h ， 8 3 212 2   h ， 梯形的高是 1881021  hh ，其面积为 45218)32(  ，阴影部分的面积为 23121045  . 专题展望 欲知更多方法，请关注寒假班！ 成长故事 谷仓里的金表 让成功更有效率 哲理的故事 一个农场主在巡视谷仓时不慎将一只名贵的金表遗失在谷仓里。他遍寻不获，便在农场门口贴了一张 告示，要人们帮忙，悬赏 100 美元。 人们面对重赏诱惑，无不卖力地四处翻找，无奈谷仓内谷粒成山，还有成捆成捆的稻草，要想在其中 找寻一块金表如同大海捞针。 人们忙到太阳下山仍没找到金表，他们不是抱怨金表太小，就是抱怨谷仓太大、稻草太多，一个个放 弃了 100 美元的诱惑。只有一个穷人家的小孩儿在众人离开之后仍不死心，努力寻找，他已整整一天没 吃饭了，希望在天黑之前找到金表，解决一家人的吃饭困难。 天越来越黑，小孩儿在谷仓内坚持寻找。突然他发现一切喧闹静下来后有一个奇特的声音，那声音 “滴答，滴答”不停地响着。小孩儿顿时停止寻找。谷仓内更加安静，滴答声响得十分清晰。小孩循声 找到了金表，最终得到了 100 美元。