六年级下册数学试题-奥数：数论之同余定理、个位律（解析版）全国通用 9页

第六讲 数论之同余定理、个位律 教学目标 学习与研究小学奥数，余数和同余定理是重镇. (1)熟练掌握余数定理在多位数除法以及高次冥末尾数字求解中的基本运用. (2)同余性质是解决同余问题的重要依据,学会灵活运用同余性质解决同余问题. (3)能用凑同余的办法解决一个数除以多个数，得不同余数的问题，会运用中国剩余定理解决这一 类问题. 分析：这道题翻译为白话即：一些东西不知道有多少，如果 3 个 3 个地数，那么最后还剩 2 个，如 果 5 个 5 个地数，那么最后还剩 3 个，如果 7 个 7 个地数，那么还剩 2 个，求这些物体到底有多少个（最 少）.黄蓉给出的解法是：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知”，意思 就是用被 3 除得到的余数乘以 70，加上被 5 除的余数乘以 21，再加上被 7 除得的余数乘以 15，所得的 和不断得减去 105 即可得到答案,实际上就是中国剩余定理的解法. 你还记得吗？ 【例 1】 有一个自然数，用它分别去除 63，90，130 都有余数，这三个余数的和是 25。这三个余数中最 大的一个是多少？ 分析：63＋90＋130－25 应该能被这个自然数整除，即这个自然数是 258 的约数。而 258＝2×3×43。由 于 6 能整除 90，而且这个自然数不能大于 63。则这个自然数为 43。可见余数最大的是 63 的余数：20。 【例 2】 一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？ 分析：设两位数位 ab（a 表示十位数字，b 表示个位数字） ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1 a+b 最大是 18，此时余数为 9 当 a+b=17，则两位数为 89、98，余数为 4、13 。 当 a+b=16，则两位数为 97、88、79，余数为 1、8、15。 则余数最大的为 15，因为接下来，除数最大为 15，这样余数中最大的只有 14，所以余数最大的是 15。 想 挑 战 吗 ？ 射雕英雄传第 29 回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是 所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七 七数之剩二,问物几何? 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题 吗？ 专题精讲 题型一、余数规律 余数定理： a：两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7+5）÷3 的余数就等于 1+2=3，所以余 0。 b: 两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差。 实例：8÷3=…2，4÷3=…1，这样（8-4）÷3 的余数就等于 2-1=1，所以余 1。 如果是（7-5）÷3 呢? 会出什么问题？ c: 两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积。 实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7×5）÷3 的余数就等于 1×2=2，所以余 2。 性质： 带余除法： 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数 q 和 r，0≤r＜b,使得 a=b ×q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当 r≠0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的不完全商 （亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为 a÷b=q……r, 0≤r＜b 【例 1】 20054321 20054321   除以 10 所得的余数为多少？ 分析：求结果除以 10 的余数即求其个位数。从 1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的，而 对已一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循环的，因此把每个加数的个位数按 20 个一组，则 不同组中对应的数字应该是一样的。 首先计算 204321 204321   的个位数字，为 4。 2005 个加数中有 100 组另 5 个数，100 组的个位数是 4001004  的个位数即 0，另外 5 个数为 20012001 、 20022002 、 20032003 、 20042004 、 20052005 ，它们和的个位数字是 2356741  的个位数 3，所 以原式的个位数字是 3，即除以 10 的余数是 3 [前铺]（奥数网精选试题）求 14389 除以 7 的余数。 分析：解法 1：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7） ∵89＝64+16+8+1 而 32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。 ∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。 解法 2：证得 14389≡389（mod 7）后， 36≡32×34≡2×4≡1（mod 7）， ∴384≡（36）14≡1（mod 7）。 ∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。 ∴14389≡5（mod 7）。 ［点评］ “大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余 意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。 【例 2】 试求 25310×1685 的末两位数。 分析：分别考虑这两个幂除以 4 和 25 所得的余数。 首先考虑 4，253 除以 4 余数是 1，所以 25310 除以 4 的余数仍是 1；168 是 4 的倍数，它的 5 次方仍 是 4 的倍数，即除以 4 的余数为 0，则原数除以 4 的余数也是 0。 再考虑 25，253 除以 25 余 3，则只需看 310 除以 25 的余数，又 310=27×27×27×3 则 310 除以 25 的 余数为 2×2×2×3=24；168 除以 25 余 18，则只需看 185=324×324×18 除以 25 的余数，可知余数为 18； 又 24×18=432 除以 25 的余数为 7，所以原式除以 25 的余数即为 7。 两位数中，能被 4 整除，除以 25 余 7 的数只有 32，则原式的末两位即为 32。 [前铺]试求 20072008 的末两位数. 分析：2007=2000+7，所以 20072008 的末两位数与 72008 的末两位数相同. 72008=71004×71004=491004=49502×49502=2401502，2401 被 100 除余 1 所以 2401502 被 100 除得的余数等于 1502，所以 20072008 的末两位数是 01. 题型二、余数定理、性质的运用 同余定义： 若两个整数 a，b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a，b 对于模 m 同余，用式子表示为 a≡b(mod m) （*） 同余式（*）意味着（我们假设 a≥b）a－b=mk，k 是整数，即 m|(a-b) 若两个数 a，b 除以同一个数 c 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 c 整除 这条性质非常有用，一定要熟练掌握。下面是一些和同余有关的题目，这些题型都是考试经常出 的，一定要掌握。 【例 3】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余 数，则这个自然数是多少？ 分析：这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90+164=254 后所得的余数， 所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254-220=34 的约数，这个自然数 只能是 17 或者是 34，如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16， 不符合题目条件.如果这个数是 17，那么他去除 90、16、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目 条件，所以这个自然数是 17 [前铺]：有一个自然数，用它分别去除 63，90，130 都有余数，3 个余数的和是 25.这 3 个余数中最大的 一个是多少？ 分析：由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为 25，所以 63、90、130 的和除以这个自然数后所 得的余数为 25，所以 63+90+130-25=258 能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数 M 为 2、3、6 时，3 个余数的和最大为 3×（2-1）=3，3×（3-1）=6，3×（6-1）=15，所以均不能满足条件. 当除数为 43×2、43×3、43×6 时，它除 63 的余数均是 63，所以也不满足. 那么除数只能是 43，它除 63，90，130 的余数依次为 20，4，1，余数的和为 25，满足. 显然这 3 个余数中最大的为 20 [前铺]一个大于 1 的自然数去除 300，243，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是______ 分析：余数相同，我们可以利用余数定理，这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么 这个自然数是 300-243=57 的约数,又是 243-205=38 的约数，因此就是 57 和 38 的公约数,因为 57 和 38 的最大公约数是 19,所以这个自然数是 19。 【例 4】 甲、乙、丙三数分别为 603，939，393.某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍，A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍.求 A 等于多少？ 分析：设这个数为 M，则 603÷M=A1…r1 939÷M=A2…r2 393÷M=A3…r3 r1=2×r2,r2=×r3,要消去余数 r1,r2,r3,我们只能先把把余数处理成相同的，再两数相减。 这样我们先把第二个式子乘以 2，这样被除数和余数都扩大 2 倍，同理，第三个式子乘以 4。 这样我们可以得到下面的式子： 603÷M=A1…r1 （ 939×2）÷M=2A2…（r2×2） （393×4）÷M=4A3…（r3×4） 这样余数就处理成相同的。最后两两相减消去余数，意味着能被 M 整除。 939×2-603=1275，393×4-603=969 （1275，306）=51=3×17。 603，939，393 这三个数有公约数 3。 51÷3=17。则 A 等于 17。 [拓展]一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 a+5、2a、a，求这个自然数和 a 的值. 分析：将这些数转化余数为 2a 的数： （429-5）×2=848，791、 500×2=1000，这些数被这个自然数除所得的余数都是 2a，同余. 将这三个数相减，得到 848-791=57、1000-848=152，所求的自然数一定是 57 和 152 的约数，而[57、152]=19， 所以这个自然数是 19 的约数，显然 1 是不符合条件的，经过验证，当这个自然数是 19 时，除 429、791、 500 所得的余数分别为 11、12、6，a=6 时成立,所以这个自然数是 19，a=6. 题型三、一个数除以多个数，得不同余数 一般解题步骤: ①凑“多”相同，即把余数处理成相同 条件：余数与除数的和相同 ②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同 条件：除数与余数的差相同 ③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理” 【例 5】 一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？ 分析：仔细分析可以发现 3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7，[3、5、11]=165，所 以这个数最小是 165+7=172. [前铺]一个大于 10 的数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，问满足条件的最小自然数为____. 分析：根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是 5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处 理成都余 8，所以[5、7、9] =315，所以这个数就是 315+8=323. 【例 6】 一个大于 2 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 3，除以 7 余 5，问满足条件的最小自然数是____. 分析：我们发现差都相等，所以把他们都处理成都缺 2 能被整除，这样得[3、5、7]-2=103 [前铺]一个小于 200 的数，它除以 11 余 8，除以 13 余 10，这个数是几？ 分析：根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于 11-8=13-10=3，观察发现这个数加上 3 后就能 同时被 11 和 13 整除,所以[11、13]=143，所以这个数是 143-3=140. 【例 7】 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然数____. 分析：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”： 3、5 的公倍数 3、7 的公倍数 5、7 的公倍数 15 21 35 30 42 70 45 63 105 60 84 140 … … … 找出除以 7 余 4 的 除以 5 余 3 除以 3 余 2 可以找出分别是：60 63 35 可见 60+63+35=158 满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍， 使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。 【例 8】 一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5，求符合条件的最小的数： 分析：将 3、5、7、11 这 4 个数 3 个 3 个分别计算公倍数，如表： 5、7、11 公倍数 3、7、11 公倍数 3、5、11 公倍数 3、5、7 公倍数 385 231 165 105 770 462 330 210 1155 693 495 315 …… …… …… …… 除 3 余 2 的最小 数是 770 除 5 余 3 的最小 值是 693 除 7 余 4 的最小 值是 165 3、5、7 公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找，但注意到 210 除以 11 余 1，所以 210×5=1050 被 11 除余 5， 由此可知 770+693+165+1050=2678 是符合条件的一个值，又 3、5、7、11 的最小公倍数是 1155，所以 2678-1155×2=368 是符合条件的最小值. [拓展]一个数除以 2、3、5、7、11 的余数分别是 1、2、3、4、5，求符合条件的最小数. 分析：本题实际上就是求被 3、5、7、11 除的余数分别是 2、3、4、5 的最小奇数， 符合条件的最小偶数时 368，只要将 368 加上 3×5×7×11 就能求得符合条件的最小奇数，这个数是 368+3 ×5×7×11=1523 题型四：余数和应用题相结合。 【例 9】 在 3×3 的方格表中已如右图填入了 9 个质数。将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的自然 数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数吗？为什么？ 分析：因为表中 9 个质数之和恰为 100，被 3 除余 1，经过每一次操作，总和增加 3 的倍数，所以表中 9 个数之和除以 3 总是余 1。如果表中 9 个数变为相等，那么 9 个数的总和应能被 3 整除，这就得出矛盾！ 所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为 9 个相同的数。 （法二）运用反正法和奇偶分析，由于九个数当中只有 2 是偶数，所以，如果能通过若干次操作使得表 中 9 个数都变为相同的数，那么第一行共同加上的数一定与第二、三行加上的数的奇偶性相反，否则经 过所有操作后第一列的 3 个数的奇偶性质一定不同，同理，第一列共同加上的数一定与第二、三列加上 的数的奇偶性相反，由此得到，第二、三行，二、三列的四个数（即原来的 11、7、19、23）被加上的所 有数和的奇偶性与第一行第一列（即原来的 2）被加上的所有数和的奇偶性相等.这样的话，第一行第一 列最后所得的数与第二、三行，二、三列的数的奇偶性质相反.数值必不同. 【例 10】 六张卡片上分别标上 1193，1258，1842，1866，1912，2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张， 丙取 1 张，结果发现甲手中卡片上的数之和是乙各自手中卡片上的数之和的 2 倍，则丙手中卡片上 的数是几？ 分析：甲，乙手中卡片上的数之和必是 3 的倍数。六张卡片上的数分别除以 3，依次余 2，1，0，0，1， 1，因此只有后 5 个数的和能被 3 整除，所以丙手中卡片上的数是 1193. 【例 11】 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘 36 人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余 下的 11 人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每 个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍____张照片（每 个胶卷可拍 36 张照片）。 分析：每车坐 36 人，甲代表团余下的 11 人和乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车意味着乙代表团还 剩下 36-11=25 人，这样我们可以知道甲团人数除以 36 余 11，乙团人数除以 36 余 25，现在甲代表团的 每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，意味着总共要拍的照片数目为：甲团人数×乙 团人数，每个胶卷可拍 36 张，所以胶卷用了若干卷后还要拍：（甲团人数×乙团人数）÷36 的余数，根 据余数定理可知，（甲团人数×乙团人数）÷36 的余数等于（11×25）÷36 余 23，这样总共还要拍 23 张，也就是说要还可以拍 36-23=13 张. 【例 12】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛 D 卷第 11 题）现有糖果 254 粒,饼干 210 块和桔子 186 个.某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔 子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果 _____粒，饼干_____块，桔子_____个。 分析：设大班共有 a 名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是 1:3:2，所以余下的糖果、桔 子数目的和正好等于余下的饼干数，从而 254+186-210 一定是 a 的倍数，即 254+186-210=230=1×230=10 ×23=2×5×23 是 a 的倍数。 同样，2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7 也一定是 a 的倍数。所以，a 只能是 23×2 的因 数。 但 a﹥40,所以 a=46。 此时 254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48。 故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个。 专题展望 一定要熟练前面的三种基本题型，寒假班中我们将通过真题来巩固本节主要内容。 练习六 1、有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1。问这个数除以 12 余数是几？ 分析：除以 12 的余数在 0 到 11 之间，它除以 3 余 2，除以 4 余 1，只有余数是 5 时符合要求. 2、五(3)班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 行多 5 人.问上 体育课的同学最少多少名? 分析：[3，4，5，6]=60， 60—1=59 人 3、 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数 分析：中国剩余定理得 23。 4、一个数去除 70、103 所得的余数为 a、2a+2，求 a 的值， 分析：70×2+2 与 103 同余，所以 70×2+2-103=39 是这个数的倍数，这个数可以是 1、3、13、39，显然 1、3 不符合，经检验这个数是 13，13 除 70 的余数为 5，所以 a=5. 5、 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。 分析： “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除”，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除”。 [5，6]-2=28，即 28 适合前两个条件。 想：28+[5，6]×？之后能满足“7 除余 1”的条件？ 28+[5，6]×4=148，148=21×7+1， 又 148＜210=[5，6，7] 所以，适合条件的最小的自然数是 148。 成长故事 天堂与地狱 哲理的故事 一天，一位老板犯了错误，上帝为教育他，请他去参观两个地方。 第一个地方，让他看了十分害怕，毛骨悚然。只见这里每个人都骨瘦如柴、饥寒交迫、痛苦万 分、度日如年。他定睛一看，这些人在吃饭，每个人所用的筷子和勺都很长，是自己胳膊的三倍，因此， 他们每个人不论怎样调整高度、调整角度，都无法把饭菜送到自己口里，于是每个人都挨饿受渴，经受 痛苦折磨。上帝画龙点睛地说：“这就是地狱。我带你到另外一个地方看看。” 这个地方的人也在吃饭：所用的家伙与地狱一样，但他们互相喂饭菜，所以人人满面红光，皆大欢喜， 身体都十分健壮。上帝说：“你看到了，这就是天堂。天堂与地狱唯一的区别是他们的心，他们不是只为 自己，而是先想到别人，即我为人人，人人为我。你看他们．想吃想喝都由别人充分满足他们，但他们 是从‘我为人人’开始的。”