六年级下册数学试题-奥数：分数应用题之比例百分数 8页

第十讲 分数应用题之比例百分数 教学目标 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用.这一部分内容 也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有: 1. 比例式的恒等变形. 2. 各种条件下比例的转化,有目的的转化. 3. 比例与和差关系问题中数量关系的对应和运用. 一个正方形的一边减少 20％，另一边增加 2 米，得到一个长方形， 这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形的边长是多少米? 想 挑 战 吗 ？ 分析：要保证面积不变，一边减少 20％，即是原来的 5 4 ，另一边要增加 4 114 5  ，所以原正方形边长 为 2÷ 4 1 =8(米). 专题精讲 Ⅰ 比例的转化 解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根 据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的 效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位 “1”。 2. 目题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。 1. 掌握转化为单位“l”的方法。如 x 是 y 的 b a ，则 y 是 x 的 a b ；X 是 y 的 b a ，则 x 是 x、y 总数的 ba a  ；x 比 y 多 b a ，则 y 比 x 少 ba a  ；x 的 a c 等于 y 的 b d ，则 x 是 y 的 bc ad ，y 是 x 的 ad bc . 2. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例， 还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系， 就能找到更好、更巧的解法。 3. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的 2 倍也等于丙的 2 3 ,那么甲的 2 3 、乙的 2 倍、丙的 一半这三个数的比为多少？ 分析：甲的一半、乙的 2 倍、丙的 2 3 这三个数的比为 1：1：1，所以甲、乙、丙这三个数的比为（1÷ 1 2 ）： （1÷2）：（1÷ 2 3 ）也就是 2： 1 2 ： 3 2 即 4：1：3，那么甲的 2 3 、乙的 2 倍、丙的一半这三个数的比为(4 × 2 3 )：（1×2）：（3× 1 2 ）也就是 8 3: 2:3 2 ，即 16：12：9. [巩固]已知甲、乙、丙三个数，甲：（乙+丙）=4：3，乙：丙=2：7，求甲：乙：丙. 分析：由乙：丙=2：7 得到乙：（乙+丙）=2：9，丙：（乙+丙）=7：9，而甲：（乙+丙）=4：3、所以甲： 乙：丙= 4 2 7 12 2 73 9 9 ：： ：：. [前铺]已知 a:b=c:d,那么下面的等式中那些没有错误？ （1） a 2b c 2d b d   ，（2） a-b c-d a c  ，（3） c d a+c b+d  ，（4） a-b c-d a+b c+d  . 分析：原式是 a c b d  ，两边同时加 2 就能得到（1），所以（1）没有错误. 原式分子分母交换得到 b c a d  ，1 同时剪去两边就能得到 a-b c-d a c  ，所以（2）没有错. 原式两边同时乘以 b c ，得到 a b c d  ，两边+1 得到 a+c b+d c d  ，倒一倒变成 c d a+c b+d  ，所以（3）没有 错. 原式两边加 1 得到 a b c d b d   ，倒一倒 b d a b c d   ，两边乘以 2 得到 2b 2d a b c d   ，用 1 减两边得 到 a-b c-d a b c d   .所以（4）也没有错误. 【例 2】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的 一段时间后，分别剩下 60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率（建设速度之比）之 比 3：1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比. 分析：（法一）甲工程队以 3 倍乙工程队建设速度，仅完成了 40%的承包任务，而乙工程队完成了 60%， 所以甲工程队承包任务的 40%等于乙工程队承包任务的 60%×3=180%，所以甲工程队的承包的任务是乙工 程队承包任务的 180%÷40%=450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为 450%：1=9：2. (法二)两个工程队完成的工程任务（修建公路长度）之比等于工作效率之比等于 3：1，而他们分别完成 了各自任务的 40%和 60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为（3÷40）：（1÷60%）=9：2 【例 3】 如下图所示，圆 B 与圆 C 的面积之和等于圆 A 面积的 4 5 ，且圆 A 中的阴影部分面积占圆 A 面积 的 1 6 ，圆 B 的阴影部分占圆 B 面积的 1 5 ，圆 C 的阴影部分占圆 C 面积的 1 3 .求圆 A、圆 B、圆 C 的面 积之比. 分析：设 A 与 B 的共同部分的面积为 x，A 与 C 的共同部分的面积为 y，则根据题意有 5 B CA= B C 6 x+y x= , y ,4 5 3 （ + ）= ( ), 于是得到 5 B C(B C) 6( )4 5 3    ，这条式子可化简为 B=15C，所以 5A= (B C) 20C4   .最后得到 A：B：C=20：15：1. Ⅱ 比例与和差关系问题 已知多个类别的元素数量比和数量和，求各个类别的数量的问题，也可称之为按比例分配问题. 例如将 X 个物体按照 a：b 的比例分配给甲乙两个人，那么实际上甲乙两个人各自分配到的物体数量 与 X 的比分别为 a：（a+b）和 b：（a+b），所以甲分配到 aX a b ，乙分配到 bX a b . 对于将物体分配到多个人的问题也可以将多个人分配的比例化为各自分配数与总数的比. 【例 4】 有一个长方体，长与宽的比是 2∶1，宽与高的比是 3∶2。已知这个长方体的全部棱长之和是 220 cm，求这个长方体的体积。 分析：由条件宽与高的比为 3：2=1：2/3，所以这个长方体的长宽高的比为 2：1：2/3 即 6：3：2，由于 长方体的所有棱中，长、宽、高各有 4 条，所以长方体的长为 6 1220 306 3 2 4     厘米，宽为 3 1220 156 3 2 4     厘米，高为 2 1220 106 3 2 4     厘米，所以这个长方形的体积为 30×15× 10=4500 立方厘米. [拓展] 有一个长方体，长和宽的比是 2：1，宽与高的比是 3：2.表面积为 72cm2，求这个长方体的体积. 分析：由条件长方体的长宽高的比为 6：3：2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为（6 ×3）：（6×2）：（3×2）=18：12：6=3：2：1，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以， 长方体的上面的面积为 1 372 182 3+2+1    cm2，前面的面积为 1 272 122 3+2+1    cm2，左面的面积为 1 1720 62 3+2+1    cm2，18×12×6=1296=362，所以 36 即是长宽高的乘积，所以这个长方体的体积为 36cm2 【例 5】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 2 5 ，美术班人 数相当于另外两个班人数的 3 7 ，体育班有 58 人，音乐和美术班各有多少人？ 分析：条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数 2 5+2 ，美术班的学生人数是所有班人数的 3 7+3 ，所以 体育班的人数是所有班人数的 2 31 5 2 7+3      ，所以所有班的人数为的 58÷（1－2/7－3/10）=140 人，其中音乐 140×2/7=40 人，其中美术 140×3/10=42 人. 【例 6】 6 枚壹分硬币摞在一起与 5 枚贰分硬币摞在一起一样高，4 枚壹分硬币摞在一起与 3 枚伍分硬币 摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了 124 枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？ 分析：由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为 6：5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为 4：3=6：4.5， 所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为 6：5：4.5 即 12：10：9，因此壹分硬币的数量 为 12124 4812 10 9    枚 ， 贰 分 硬 币 的 数 量 为 10124 4012 10 9    ， 伍 分 硬 币 的 数 量 为 9124 3612 10 9    枚，这些硬币一共有 48+40×2+36×5=308 分. 【例 7】 师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟。完成 任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 分析：师傅与徒弟的工作效率之比是 5:315 1:9 1  ，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师 傅与徒弟分别完成总量的 35 5  和 35 3  ，师傅比徒弟多加工零件 100)35 3 35 5(400  个。 [拓展]师徒二人加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟.完成任务时，师傅比徒弟多加工 100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少零件？ 分析：师傅与徒弟的工作效率之比是 5:315 1:9 1  ，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅 与徒弟分别完成总量的 35 5  和 35 3  ，师傅和徒弟一共加工了 400)35 3 35 5(100  个零件（涉及 到数量差和数量比的题在以下题目中详细讲述）. 已知两个类别中元素的数量比和数量差，求各个类别的数量的问题，所涉及的主要数量关系有： 对于两个类别 A、B，元素的数量比为 a：b（这里 a＞b），数量差为 X，那么 A 的元素数量为 aX a b ， B 的元素数量为 bX a b ，所以解题的关键是求出（a-b）与 a 或 b 的比值. 【例 8】 甲、乙两只蚂蚁同时从 A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的 1．2 倍，求这个长方形 的周长。 分析：两只蚂蚁在距 B 点 2 厘米的 C 点相遇，说明乙比甲一共多走了 2 ×2=4(厘 米)。又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的 1．2 倍，相同时间内乙蚂蚁爬的距离应是甲蚂蚁的 1．2 倍。所 以甲爬的长度是 4÷(1．2-1)=20(厘米)，乙爬的长度是 20+4=24(厘米)，长方形的周长为 20+24=44(厘 米)。 【例 9】 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小客车 15 元，小轿车 10 元。某日 通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 5∶6，小客车与小轿车之比是 4∶11，收取小轿车的通 行费比大客车多 210 元。求这天这三种车辆通过的数量。 分析：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将 5∶6 中的 6 与 4∶11 中的 4 统一成[4， 6]=12，就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。由 5∶6=10∶12 和 4∶11=12∶33，得到大客 车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。以 10 辆大客车、12 辆小客车、33 辆小轿车为一组。因为每组中 收取小轿车的通行费比大客车多 10×33-30×10=30（元），所以这天通过的车辆共有 210÷30=7（组）。 这天通过大客车=10×7=70（辆），小客车=12×7=84（辆），小轿车=33×7=231（辆）。 [前铺]育红小学四年级学生比三年级学生多 25％，五年级学生比四年级学生少 10％，六年级学生比五年 级学生多 10％。如果六年级学生比三年级学生多 38 人，那么三至六年级共有多少名学生? 分析：设三年级学生数为单位“1”，则四年级学生数占三年级的 125%，五年级学生数占三年级的 125%× （1-10%）=112.5%，六年级学生数占三年级的 112.5%×（1+10%）=123.75%，所以三年级学生数的 23.75% 为 38 人 ， 那 么 三 年 级 有 38 ÷ 23.75%=160 人 ， 三 至 六 年 级 一 共 有 160 × （1+125%+112.5%+123.75%）=738 人。 【例 10】 一班和二班的人数之比是 8∶7，如果将一班的 8 名同学调到二班去，则一班和二班的人数 比变为 4∶5。求原来两班的人数。 分析：原来一班的人数为两班总人数的 8 8 8 7 15  ，调班后一班的人数是两班人数的 4 4 4 5 9  ，调班前 后一班人数的比值为 8 15 ： 4 9 =6：5，所以一班原来的人数为 8÷（6-5）×6=48 人，二班的人数为 48÷8×7=42 人. [拓展]一把小刀售价 3 元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是 2∶5；如果小强 买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为 8∶13。小明原来有多少钱？ 分析：分析：由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的 5 5 2 5 7  ，小明的钱相当于小明、 小强买刀后钱数和的 8 8 8+13 21  ，所以小明、小强的钱数的比值为 8：15，而小明买刀后小明、小 强的钱数之比为 2：5=6：15，所以小明买刀前后的钱数之比为 8：6=4：3，所以小刀的售价等于原 来小强钱数的 4-3 1 4 4  ，所以小明的钱数为 13 124   元. 专题展望 比例与百分数作为处理多组数据的数量关系的数学工具，在人们生活工作学习研究中经常用到，也 是小升初的重要考点. 欲知比例问题的其他应用，请关注寒假班！ 练习十 1. 学而思学校四五六年级共有 615 名学生，已知六年级学生的 1 2 ，等于五年级学生的 2 5 ，等于四年级 学生的 3 7 。这三个年级各有多少名学生学生？ 分析：将六年级学生的 1 2 ，等于五年级学生的 2 5 ，等于四年级学生的 3 7 ，看作一个单位，那么六年级学 生人数等于 2 个单位，五年级学生等于 2.5 个单位，四年级学生等于 7 3 学生，所以六年级、五年级、 四年级学生人数的比为 5 72 12 15 142 3 ：： ： ： ，所以六年级学生人数为 12615 12 15 14    =180 人，五 年级学生人数为 15615 22512 15 14    人，四年级学生人数为 14615 21012 15 14    人. 2. 今年，小明的年龄是小强、小志年龄和的五分之四，小强、小志的年龄比是 2：3，而 5 年前小明的 年龄等于小强、小志的年龄和，求今年小志的年龄. 分析： 5 年前小明的年龄等于小强、小志的年龄和，那么现在小明的年龄等于小强、小志的年龄和减 5， 而小明的年龄也是小强、小志年龄和的五分之四，所以小强、小志的年龄和为 5÷（1-4/5）=25，小志 的年龄等于 325 152 3   年. 3. 参加植树的同学共有 720 人，已知六年级与五年级人数的比是 3：2，六年级比四年级多 80 人，三 个年级参加植树的各有多少人? 分析：假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有 720+80=800 人，三个年级的人数比为(四： 五：六)3：2：3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数。 六年级： 300323 3)80720(  人； 五年级： 200323 2)80720(  人； 四年级： 22080300  人。 4. 制造一个零件，甲需 6 分钟，乙需 5 分钟，丙需 4．5 分钟。现在有 1590 个零件的制造任务分配给 他们三个人，要求在相同时间内完成，每人应该分配到多少个零件? 分析：先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比进行解答。 甲、乙、丙工作效率比： 20:18:155.4 1:5 1:6 1  ， 甲： 450201815 151590  个； 乙： 540201815 181590  个； 丙： 600201815 201590  个. 5. 一些苹果平均分给甲乙两班的学生，甲班比乙多分到 16 个，而甲、乙两班的人数比为 13：11，求 一共有多少个苹果？ 分析：16÷（13-11）×（13+11）=192 个. 成长故事 打开思路 一位著名的诗人最近思路打不开，怎么也冲不出思想的牢笼，于是想到外面寻找灵 感。这一天，他到乡间野外散步，阳光下，忽然远远看见一块牌子掩映在树林里，上书四个 大字特别醒目“阳光不锈”，诗人当场呆住，心想，这是多么有寓意的词语，绝对不是一般 人能够想到的。于是，他非常想拜访一下书写这个精辟之极的词语的高人。等他走近这块牌 子，发现被树丛挡住的那部分牌子写着“钢制品厂”。