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  • 2022-02-12 发布

六年级下册数学试题-小升初数学专题--计数模块--找规律(含答案)全国通用

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1 找规律 【教学目标】 1、使学生探索并发现简单周期现象中的排列规律。 2、使学生在探索规律的过程中体会周期规律在生活中的重要性。 一、基本方法 等差数列、兔子数列、等比数列 二、基本技巧 1、标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根 据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包括序列号。所以,把变量和序列号 放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。 2、有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一) 技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。 3、有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在 再找出规律,并恢复到原来。 4、观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别 找规律。 三、解题步骤: ①寻找数量关系; ②用代数式表示规律; ③验证规律。 题型一 数字规律 例题 1、按规律排列的一串数 2,5,9,14,,这串数的第 19个数是? 2 例题 2、(周期规律)已知一列数:5,4,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3, 7,1,2,5,4,,3,……,由此可推出第 2008个数是____________。 例题 3、(日期周期)2004年元月 1日是星期四,2005年元月 1日是星期几? 例题 4、(列举找周期)有一列数:2,3,6,8,8,4,…从第三个数起,每个数恰好都是它 前两个数乘积的个位数字,这一列数的第 80个数是_____。 例题 5、(操作与规律)字母 A、B、C、D、E和数字 1997分别按下列方式变动其 顺序: ABCDE1997 BCDEA9971(第一次变动) CDEAB9719(第二次变动) DEABC7199(第三次变动) …… 问至少经过几次变动后,ABCDE1997将重新出现? 例题 6、有依次排列的 3个数:3,9,8,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去 左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为 第一次操作,第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8.继续依 次操作下去.问:从新数串 3,9,8开始操作,第 100次后产生的那个新数串的所有数 之和是多少? 3 例题 7、将正整数从 1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”,其中 2在第 1个拐角处,3在第 2个拐角处,5在第 3个拐角处,7在第 4个拐角处,…….那么在 第 2007个拐角处的数是( ). 22 20 21 19 18 171614 1513 12 11 10 9 8 7 6 543 2 1 题型二、图形规律 例题 1、下图的两个图形(实线)是分别用 10根和 16根单位长的小棍围成的.如 果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了 70多根小棍, 那么围成的图形有几层? 例题 2、有若干根火柴棍,其长为 1,摆成如图一系列三角形图案,按这种方式摆下去, 它的规律是什么? 例题 3、用同样大小的黑色棋子按图所示方向摆放,则第 n个图形(n是大于零的 整数)需要的棋子的个数是( )。 4 题型三 递推规律 例题 1、同一平面内的 5条直线两两相交,最多有 个交点,最多把平面分成 个部分,最多构成 对对顶角. 基础练习 1、观察数列,将数列补充完整,1,3,8,22,60,( ),448. 2、有 20个等式:1+2=3,4+5+6=7+8,9+10+11+12=13+14+15,……,第 5个等式的 左右两边的和都是( )。 3、有 249朵花,按 5朵红花,9朵黄花,13朵白花的顺序轮流排列,最后一朵花 是什么颜色? 4、有一列数 1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,第 25个数是多少? 5、图中是小明用火柴搭的 1条、2条、3条金鱼,则搭 6条金鱼需要多少根火柴? 5 6、有若干根长度相等的火柴棒,把这些火柴棒摆成如下图的图形.照这样摆下去, 到第 10个图形一共用了( )根火柴棒. 7、一张大饼,切 18刀(不叠放),最多可分成的块数为( )。 巩固提升 1、某年 4月所有星期六的日期数之和是 54,这年 4月的第一个星期六的日期数是 ( )。 2、有一列数:3,6,8,8,4,2,第 3个数起,每个数都是前面两个数乘积的个位数, 那么第 2008个数是多少? 3、小明按 1~5循环报数,小花按 1~7循环报数,当两个人都报了 2007个数时,小 花报的数字之和比小明报的数字之和多( )。 4、你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅,用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再 捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示: 这样捏合到第( )次后可以拉出 64根面条. 6 5、把珠子一个一个按顺序往返不断投入到 A、B、C、D、E、F袋中。如图所示, 第 2006粒珠子投在哪个袋子中。 17 18 16 15 14 13 12 7 8 9 10 11 6 5 4 3 2 1 F E D C B A 6、如图在 2×2方格中,画一条直线最多可穿过 3个方格,那么在 10×10的方格 中,画一条直线最多可穿过( )个方格。 7、如图,将正方形纸片由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作.按 上述规则完成 6次操作以后,剪去所得小正方形的左下角.问:当展开这张正方形纸片 后,一共有多少个小洞孔? 8、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成,依次规律,第 5 个图案中小正方形的个数是多少? 7 1、有一串数字: ,,,, 17 4 10 3 5 2 2 1 ……,则第 9个数是( )。 2、我们把分子为 1的数叫做分数单位,如 2 1 ,3 1 , 4 1 ,...,任何一个都可以拆分成 两个不同的分数单位的和,如 6 1 3 1 2 1  , 12 1 4 1 3 1  ,…观察上述式子,你会发现: NM 11 8 1  ,请写出: M ( ); N ( )。 3、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第 1个图形有 6 个小圆,第 2 个图形有 10个小圆,第 3个图形有 16个小圆,第 4个图形有 24个小圆……依此规律, 第 10个图形有( )个小圆。 4、已知数串 1,1,2,3,5,8,13,……,从第 3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数 之和,那么,数串中第 1999个数被 3除所得的余数是( )。 1、下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形,依此规律第 9个图形中, 共用火柴的根数是( )。 第 1题图 8 2、如图,每个图案都由若干个棋子摆成,依照此规律,第 100个图案中棋子的总 个数为( )。 第 2题图 3、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子,观察图形的变化规律,写出第 6 个小房子用了 ( )块石子。 第 3题图 4、如图,这是一组有规律的图案,第 1个图案是由 4个基础图形组成,第 2个图 案是由 7个基础图形组成,……,第 n个图案中是由( )个基础图形组成。 第 4题图 第 5题图 5、第(1)个图有 1个黑球;第(2)个图为 3个同样大小球叠成的图形,最下一 层的 2个球为黑色,其余为白色;第(3)个图为 6个同样大小球叠成的图形,最下一 层的 3个球为黑色,其余为白色;……;则从第(n)个图中随机取出一个球,是黑球 的可能性是( )。 6、如图,四个小动物排座位,一开始,小鼠坐在第 1号座位,小猴坐在第 2号座 位,小兔坐在第 3号座位,小猫坐在第 4号座位。以后它们不停地交换位子,第一次上 下两排交换,第二次是在第一次交换后左右两列交换,第三次再上下两排交换,第四次 再左右两列交换…这样一直换下去,第十四次交换座位后,小兔坐在第( )号座 位上。 第 6题图 9 7、小明有许多截面是六边形的铅笔,有一天他做围铅笔游戏.如图,中间 1支铅 笔,周围需要用 6支铅笔把它围住.照这样围法,如果围第二圈,你知道需要多少支铅 笔吗?围第三圈、第四圈呢?画一画,围一围,填写下表. 圈数 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 需要铅 笔的只数 观察上表,你发现了什么规律?根据这个规律能推算出围第五圈、第八圈、第十圈 各需要多少支铅笔吗? 8、现在用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7种彩色,在一张方格纸上,自左上到右 下的斜行里按顺序涂色(如右图)。请问第 20行的第 30个格子里涂的颜色是( ) 色。 第 8题图 10 参考答案 例题 1、【答案】解:2+3+4+5+…+19+20 =(1+20)×(20÷2)﹣1 =21×10﹣1 =209 例题 2、【答案】解:因为所给的数列,除开头两个数,后面都是六个数为一个循环, 所以,(2008﹣2)÷6, =2006÷6, =334…2; 因为余数是 2,而在 7,1,2,5,4,3六个数为一个循环中,第 2数是 1; 所以第 2008个数是 1. 例题 3、【答案】解:2004÷4=501,2004年是闰年,全年有 366天, 所以 2004年 1月 1日到 2005年 1月 1日有 366天, 366÷7=52…2, 余数是 2, 4+2=6, 答:2005年元月 1日是星期六. 例题 4、 【答案】解:因为,这个数列依次是:2,3,6,8,8,4,2、8,6,8,8、4、2、8…, 我们将 2,3排除,可知是 6个一循环(周期), 所以,(80﹣2)÷6=13, 那么 80应该是一个循环的第 6项, 而一个循环的第 6项是 8, 所以,这列数第 80个数是 8; 例题 5、 【答案】解:字母 A、B、C、D、E是 5次一个循环变回原样,数字 1997是 4次一个 循环变回原样, 5与 4的最小公倍数是 20, 11 答:最少经过 20次变动后 ABCDE1997将重新出现. 例题 6、【答案】解:设 A=3,B=9,C=8,操作第 n次以后所产生的那个新数串的所有 数之和为 Sn. n=1时,S1=A+(B﹣A)+B+(C﹣B)+C=B+2C=(A+B+C)+1×(C﹣A); n=2时,S2=A+(B﹣2A)+(B﹣A)+A+B+(C﹣2B)+(C﹣B)+B+C=﹣A+B+3C= (A+B+C)+2×(C﹣A); … 故 n=100时,S100=(A+B+C)+100×(C﹣A)=﹣99A+B+101C=﹣99×3+9+101×8=520. 答:第 100次后产生的那个新数串的所有数之和是 520. 例题 7、【答案】解:第 1个拐弯:1+1=2 第 2个拐弯:1+1+1=3 第 3个拐弯:1+1+1+2=5 第 4个拐弯:1+1+1+2+2=1+(1+2)×2=7 第 5个拐弯:1+1+1+2+2+3=1+(1+2)×2+3=10 第 6个拐弯:1+1+1+2+2+3+3=1+(1+2+3)×2=13 第 7个拐弯:1+1+1+2+2+3+3+4=1+(1+2+3)×2+4=17 … ∵2007=2×1 003+1, ∴A(2007)=1+(1+2+3+…+1003)×2+1004 =1008017 故答案为:1008017. 题型二: 例题 1【答案】解:设用了 70根小棍围成的图形有 x层。 (x+2x-1)×2=70 3x-1=35 3x=36 x=12 答:用了 70根小棍围成的图形有 12层. 例题 2 【答案】解:当 n=1时,需要火柴 3×1=3; 12 当 n=2时,需要火柴 3×(1+2)=9; 当 n=3时,需要火柴 3×(1+2+3)=18, …, 依此类推, 第 n个图形共需火柴 3×(1+2+3+…+n)= . 例题 3 【解析】根据题意,分析可得第 1个图形需要黑色棋子的个数为 2×3﹣3,第 2个图形 需要黑色棋子的个数为 3×4﹣4,第 3个图形需要黑色棋子的个数为 4×5﹣5,依此类 推,可得第 n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)﹣(n+2),计算可得答案. 【答案】解:第 1个图形是三角形,有 3条边,每条边上有 2个点,重复了 3个点,需 要黑色棋子 2×3﹣3个, 第 2个图形是四边形,有 4条边,每条边上有 3个点,重复了 4个点,需要黑色棋子 3 ×4﹣4个, 第 3个图形是五边形,有 5条边,每条边上有 4个点,重复了 5个点,需要黑色棋子 4 ×5﹣5个, … 则第 n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)﹣(n+2)=n(n+2). 故答案为:n(n+2). 题型三 例题 1、 【解析】可以从 1条直线,两条直线,三条直线,进行观察总结得出. 【答案】解:(1)当一条直线时,没有交点,把平面分成两个部分,没有对顶角; (2)当两条直线时,两两相交,最多有 1个交点,最多把平面分成 4个部分,最多构 成 2对对顶角; (3)当三条直线时,两两相交,相当于在(2)的基础上再增加一条直线,所以最多有 1+2=3个交点,最多把平面分成 4+3=7部分,最多构成 3×2=6对对顶角; (4)当四条直线时,两两相交,相当于在(3)的基础上再增加一条直线,所以最多有 1+2+3=6个交点,最多把平面分成 7+4=11部分,最多构成 6×2=12对对顶角; (5)当五条直线时,两两相交,相当于在(4)的基础上再增加一条直线,所以最多有 1+2+3+4=10个交点,最多把平面分成 11+5=16部分,最多构成 10×2=20对对顶角. 13 故填:10;16;20. 基础练习 1、【答案】解:(22+60)×2=164 故答案为:164. 2、【答案】解:(1)根据分析可知第 5个算式为: 25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35; 3、【答案】解:249÷27=9…6, 所以最后一朵花是第 10个循环周期的第 6朵花,是黄花. 4、【答案】解:25÷3=8…1 所以左起第 25个数是第 9组数的第 1个数,是 9; 5、【答案】解:观察图形发现:搭 1条金鱼需要火柴 8根,搭 2条金鱼需要 14根, 即发现了每多搭 1条金鱼,需要多用 6根火柴.则搭 n条“金鱼”需要火柴 8+6(n﹣1) =6n+2 当 n=6时,6×6+2=38(根) 答:搭 6条“金鱼”需要火柴 38根. 6、【分析】根据观察可知第一个图开是一个正方形用了 4根火柴棒,第二个图形 有 1+3=4 个正方形,用了 13 火柴棒,第三个图形有 1+3+5=9 个正方形,用了 26 火柴 棒,每一些正方形的个数是 n2个,火柴棒需要的个数是 2n2+3n﹣1个。 7、【答案】解:根据观察可知第 n个图形共用火柴根数的计算公式为 2n2+3n﹣1 2×102+3×10﹣1 =2×100+3×10﹣1 =200+30﹣1 =229(根) 8、【答案】解:根据题干分析可得:一刀可最多切 2块,切 2刀最多切 4块,切 3 刀最多切 7块, 可以发现,切两刀时比原来多了 2块,切三刀时比原来多了 3块, 所以切四刀时比原来多了 4块,是 11块, 14 切 5刀时,比原来多了 5块,是 11+5=16块, …, 则 n刀时切了:an=1+1+2+3+…+n=1+(1+2+3+…+n)=1+ 块 因此切 18刀时,切了:1+18×19÷2=172(块)。 巩固提升 1、【答案】解:设第一个星期六是 X号,则: X+(X+7)+(X+14)+(X+21)+(X+28)=54; 或者 X+(X+7)+(X+14)+(X+21)=54; 由第一式子得到:5X+70=54,X为负不符合题意,舍去; 式子二:4X+42=54,4X=12,X=3;答:4月的第一个周六是 4月 3号; 故答案为:3号. 2、【答案】解:因为,这个数列依次是:3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、 8…, 我们将 3排除,可知是 6个一循环(周期), 所以,(2008﹣1)÷6=334…3, 那么 2008应该是一个循环的第 3项, 而一个循环的第 3项是 8, 所以,这列数第 2008个数是 8; 故答案为:8. 3、【答案】解:小明报了 2007个数时,1﹣5重复的次数:2007÷5=401…2, 即报了 401次,还多报了一次 1和 2, 所以和是:401×(1+2+3+4+5)+1+2, =401×15+3, =6015+3, =6018, 小红的 1﹣7重复了的次数:2007÷7=286…5, 即报了 286次,多报一次 1、2、3、4、5, 所以和是:286×(1+2+3+4+5+6+7)+1+2+3+4+5, =286×28+15, =8008+15, 15 =8023, 8023﹣6018=2005; 故答案为:2005. 4、【答案】解:根据题意有 第一次:21=2, 第二次:22=4, 第三次:23=8, … 第 n次:2n, ∴第 6次:26=64. 故答案为:6. 5、【解析】根据题干,可以将已知图形化出分析示意图如下: 这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题,由上图中的数字排列可以看出: 右边为第一列,下边为第一行,从 1开始依次排列;其规律是: 每 10个数字为一个周期,这 10个数字分别所在的列数依次为 A→B→C→D→E→F →E→D→C→B;由此规律,只要求出 2006是第几周期的第几个数字,即可得出答案. 【答案】解:根据题干分析可得:上述数字的排列规律为:每 10个数字为一个周 期,这 10个数字分别所在的列数依次为 A→B→C→D→E→F→E→D→C→B; 2006÷10=200…6, 所以 2006是第 201个周期的第 6个数字,与第一周期的第 6个数字相同,即是 F. 答:最后一个弹珠投在 F袋子中. 6、【解析】如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生 11个交 点,与竖边至多 9个交点,共 20个交点; 如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生 10个交点,与 竖边至多产生 10个交点,共 20个交点. 20个交点,将直线分成 21部分,其中在大正方形有内有 19部分,故至多穿过 19 16 个方格. 【答案】解:如下图,画一条直线最多可穿过 19个方格: 答:画一条直线最多可穿过 19个方格. 故答案为:19 7、【答案】解:一次操作后纸的面数为 4的 1次方(面数为 4),剪去后有 4的 0 次方个小孔(第一次剪的时候我们有人会误认为是 4个,要看清楚); 两次操作后纸的面数为 4的 2次方(面数为 16),剪去后有 4的 1次方即 4个小孔; 三次操作后纸的面数为 4的 3次方(面数为 64),剪去后有 4的 2次方即 16个小 孔; 那么六次操作为纸的面数为 4的 6次方, 剪去后有 4的(6﹣1)次方个小孔,也就是 4的 5次方个. 故答案为:1024. 8、【答案】解:由题意得:第 n个图形的小正方体的个数=n的平方+(n﹣1)的 平方, 故第 5 个图案中小正方形的个数为 9+7+5+3+1+7+5+3+1=52+(5﹣1)2=25+16=41 (个). 故答案为:41. 1、【答案】9/82 【解析】分母 2+3+5+7+9+11+13+15+17=82;分子 9, 2、【答案】9,72 3、【答案】144 17 4、【答案】1 【解析】上述数串各项被 3除的余数是 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,… 从第 9项开始循环,而 1999÷8=249余 7; 即第 1999项与第 7项被 3除的余数相同,余数是 1. 1、【答案】解:分析可得:第 1个图形中,有 3根火柴. 第 2个图形中,有 3+3=6根火柴. 第 3个图形中,有 3+3+4=10根火柴. …; 第 9个图形中,共用火柴的根数是 3+3+4+5+6+7+8+9+10=55根. 故答案为:55. 2、【答案】解:每个图案的纵队棋子个数是:n, 每个图案的横队棋子个数是:n+1, 那么第 n个图案中棋子的总个数为:n(n+1). 则:100×101=10100(个) 3、【答案】解:∵第一个屋顶是 1块石子,下边是 4块石子, 第二个屋顶是 3块石子,下边是 9块石子, 第三个屋顶是 5块石子,下边是 16块石子, … ∴第 n个屋顶是 2n﹣1块石子,下边是(n+1)2,块石子; ∴第 n个小房子用的石子数是(n+1)2+2n﹣1=n2+4n; ∴第 6个小房子用了 36+24=60块石子. 故答案为:60. 4、【答案】解:观察可知,第 1个图案由 4个基础图形组成,4=3+1 第 2个图案由 7个基础图形组成,7=3×2+1, 第 3个图案由 10个基础图形组成,10=3×3+1, …, 第 n个图案中基础图形有:3n+1, 5、【答案】解:根据图示规律,第 n个图中,黑球有 n个,球的总数有 1+2+3+4+5+… 18 +n= , 则从第(n)个图中随机取出一个球,是黑球的概率是 = . 6、【答案】解:由已知和图形得知,小兔自第一次交换位子后依次坐在①→②→ ④→③→①…,得到每 4次一循环, 因为,14÷4=3…2, 14所以,第次交换位子后,小兔坐在和第二次交换的位子相同,即第 2号位子上. 答:第 14次交换座位后,小兔坐在第 2号位子 7、【解析】 第一周,仍构成一个正六边形,每边 2个小六边形,重复数了 6个,用了 2×6﹣6=6; 第二周,仍构成一个正六边形,每边 3个小六边形,重复数了 6个,用了 3×6﹣6=12; 第三周,仍构成一个正六边形,每边 4个小六边形,重复数了 6个,用了 4×6﹣6=18; 则第四周,仍构成一个正六边形,每边 5个小六边形,重复数了 6个,用了 5×6 ﹣6=24; 据此即可解答. 【答案】解:5×6﹣6=24(支); 答:第四周共用 24支铅笔围成. 8、【答案】解:20÷7=2(个)…6(个), 因按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫排列,余数是 6,所以第 20行的第一个格是蓝色, 它的排列应是蓝、紫、红、橙、黄、绿、青、蓝. 30÷7=4(个)…2(个). 因余数是 2,所以应是紫色. 19 答:第 20行与 30列的交叉处所涂的颜色是紫色;