小学数学精讲教案8_1 智巧趣题 教师版 15页

1.挖掘孩子学习数学的兴趣. 2.让孩子掌握各种趣题的不同思考方式． 知识点说明 智巧趣题顾名思义，就是有趣的一类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要 想正确地解答这类题目，一是细心，善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识； 三是需要那么一点思考问题的灵气和非常规的思考方法。本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学 习奥数的兴趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。 智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问题，其中包括火柴棍游戏、数的恰当排列、称量问题及直线或 圆周形状的报数问题。 青蛙跳、蜗牛爬 【例 1】 青蛙沿着 10 米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳 出井外？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】每次青蛙向上跳半米，然后又落下去，等于还在原地，所以永远也跳不出去. 【答案】永远也跳不出去 【巩固】 一只树蛙爬树，每次往上爬 5 厘米，又往下滑 2 厘米，这只青蛙这样上下了 5 次，实际往上爬 了多少厘米？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】分析：实际上青蛙每爬行一次只前进了 5-2=3（厘米），5 次共前进了 3×5=15（厘米）. 【答案】15 厘米 【例 2】 一口井深 10 米，一只蜗牛从井底白天往上爬 2 米，晚上又往下滑 1 米，请问要多长时间，这只 蜗牛能爬出这口井？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】 “白天往上爬 2 米，晚上又往下滑 1 米”其实一天只往上爬 1 米，如果这样理解，说这只蜗牛爬出 这口井需要 10 天就错了．因为最后一次爬出井外不会往下滑，所以蜗牛只要往上爬 9 米，晚上 下滑 1 米，这时距离井口只有 2 米了，这样只要一个白天再往上爬 2 米就到井口了．所以只需要 8 天再加一个白天． 【答案】8 天再加一个白天 【巩固】 蜗牛沿着 9 米高的柱子往上爬，白天它向上爬 5 米，而晚上又下降 4 米，问蜗牛爬到柱顶需要 几天几夜？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】一昼夜可以爬 1 米，爬了 4 昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要 5 天 4 夜. 智巧趣题 教学目标 知识点拨 例题精讲 【答案】5 天 4 夜 【巩固】 蜗牛沿着 10 米高的柱子往上爬，白天它向上爬 5 米，而晚上又下降 3 米，问蜗牛爬到柱顶需要 几天？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】一昼夜可以爬 2 米，爬了 3 昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要 4 天 3 夜. 【答案】4 天 3 夜 【巩固】 有一道关于蜗牛爬墙的题：“日升六尺六，夜降三尺三，墙高一丈九，几日到顶端”。蜗牛第 天首次到顶端。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】蜗牛一整天可升三尺三 ，四天可升一丈三尺二，第五天白天即已经达到顶端。 【答案】第五天白天 【例 3】 某个早晨，容器中有 200 个细菌，白天有光照，容器中的细菌将减少 65 个，夜间无光照，容器 中的细菌将增加 40 个。则在第 个白天，容器中的细菌全部死亡。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】（200-65）÷（65-40）=5……15，6+1+1=8，在第 8 个白天，容器中的细菌全部死亡。（认为“某 个早晨”是第一个白天） 【答案】 个白天 【例 4】 树袋熊丫丫在爬一棵 米高的大树，每爬 分钟累了休息 分钟再继续爬，在这 分钟里它能 向上爬 米。那么丫丫要 分钟才能爬到树顶。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级 【解析】 分钟能爬 米，那么要爬上 米的树，总共要爬 （个）这样的 10 分钟，要花 （分钟）。在这期间，它要休息 次，需要 （分钟）。因此，贝贝要爬上这棵树，总共要 花 （分钟）。 【答案】 过桥过河问题 【例 5】 一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、 羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】分析：如下表： 次数 此岸 过河 彼岸 1 狼，白菜 农民，羊〉 2 狼，白菜 〈农民 羊 3 狼 农民，白菜〉 羊 4 狼 〈农民，羊 白菜 5 羊 农民，狼〉 白菜 6 羊 〈农民 狼，白菜 7 农民，羊〉 狼，白菜 农民，羊，狼，白菜 【答案】 次数 此岸 过河 彼岸 1 狼，白菜 农民，羊〉 2 狼，白菜 〈农民 羊 6.6 3.3 3.3− = 8 10 10 2 10 2 10 2 10 10 2 5÷ = 10 5 50× = 4 2 4 8× = 50 8 58+ = 58 3 狼 农民，白菜〉 羊 4 狼 〈农民，羊 白菜 5 羊 农民，狼〉 白菜 6 羊 〈农民 狼，白菜 7 农民，羊〉 狼，白菜 农民，羊，狼，白菜 【例 6】 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸 边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要 2 分钟，小八路划船需要 3 分钟，负伤的红 军战士划船需要 5 分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过 河用时最少？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】赵大爷首先跟小八路或者红军战士一起过河，用时 2 分钟，再由赵大爷把船划过来，用时 2 分钟， 最后把剩下的人一起载过去，再用时 2 分钟．一共用时 6 分钟． 【答案】6 分钟 【例 7】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩 子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳 作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟弟只要 1 分钟．当时正是初 一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏 油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30 分钟了！他 们焦急万分，该怎样过桥呢？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】首先姐姐跟弟弟一起过，用时 3 分钟，姐姐再回去送油灯，用时 3 分钟，老爷爷跟爸爸一起过河， 用时 12 分钟，弟弟将灯送回去，用时 1 分钟，弟弟和母亲一起过，用时 6 分钟，弟弟送灯过河， 用时 1 分钟，最后与姐姐一起过河，用时 3 分钟．一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29 分钟．最后能 够安全全部过河． 【答案】29 分钟 【巩固】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让 2 个人同时通过，否则桥会倒 塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4 个人的行走速度不同： 小强用 1 分种就可以过桥，中强要 2 分中，大强要 5 分中，最慢的太强需要 10 分中．17 分钟后 桥就要倒塌了．请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】小强和中强先过桥，用 2 分钟；再用小强把电筒送过去，用 1 分钟，现在由大强跟太强一起过桥， 用 10 分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用 2 分钟，最后小强与中强一起过河再用 2 分钟， 他们一起用时间：2＋1＋10＋2＋2=17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河．（时间最短过河 的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）. 【答案】17 分钟 【例 8】 37 个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载 5 人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少 要使用这只小船渡河多少次？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】如果由 37÷5=7……2，得出 7+1=8 次，那么就错了．因为忽视了至少要有 1 个人将小船划回来这 个特定的要求．实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡 4 个人过河去，只有最后一次小 船不用返回才能渡 5 个人过河．因为除最后一次可以渡 5 个人外，前面若干个来回每个来回只能 渡过 4 个人，每个来回是 2 次渡河，37=4×8+5，所以渡河次数是 8×2+1=17（次）. （注：由于 数据的特殊性，刚好最后一次 5 个人过河）． 【答案】17 次 【巩固】 38 个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载 4 人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少要 使用这只小船渡河多少次？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】根据前面的解答，实际上前面每次过河的人数只有 3 人，最后一次最多过 4 人，因为 38=3×12+2，所以前面 3 人一次过了 12 次，来回一共划了 12×2=24（次），最后一次是 2 人过河， 还要用 1 次．所以最终需要渡河的次数是 24+1=25（次）． 【答案】25 次 【例 9】 一家人 6 口人，夜间要过一架独木桥，他们仅有一盏油灯照明，借助这盏灯，每次最多两人可 以走过独木桥．而这 6 人过桥所需要的时间分别是 1 ， 3 ， 6 ， 8 ， 12 ， 20 分钟，要 命的是这盏灯只能点燃 47 分钟了，而没有灯照明，任何人企图过河那是必然跌落到深谷中． 【考点】智巧趣题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】用 1，3，6，8，12，20 表示这 6 人． 让时间接近的人搭配过桥，让速度快的人来回送灯 第一次：1 与 3，用的时间是 3 分钟，让 1 分钟的人回来送灯，共用时间是 第二次：6 与 8，用的时间是 8 分钟，让 3 分钟的人回来送灯，共用时间是 第三次：12 与 20，用的时间是 20 分钟，让 6 分钟的人回来送灯，共用时间是 第四次：1 与 3，用的时间是 3 分钟，让 1 分钟的人回来送灯，共用时间是 第五次：1 与 6，用的时间是 6 分钟 共用时间是 （分钟） 【答案】 分钟 【巩固】 小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁 4 头牛．甲牛过河需要 1 分钟，乙牛过河需要 2 分钟，丙牛过河需要 5 分钟，丁牛过河需要 6 分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这 4 头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【考点】智巧趣题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】要想用最少的时间，4 头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用： (分钟)； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了 (分钟)； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了 分钟； 所以，小明要把这 4 头牛都赶到对岸，最小要用 (分钟)． 【答案】 分钟 【巩固】 小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一 座小木桥到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过 2 人，因 此必须先由 2 个人拿着手电筒过桥，并由 1 个人再将手电筒送回，再由 2 个人拿着手电筒过 桥……直到 4 人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要 1 分钟；小明单独过桥要 1.5 分钟;小红单 独过桥要 2 分钟;小蓉单独过桥要 2.5 分钟.那么,4 个人都通过小木桥,最少要多少分钟？ 【考点】智巧趣题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 (方法一)要想用最少的时间，4 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送 回，这样就能保证时间最短了． 第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用： (分钟)； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了 (分钟)； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 分钟； 所以，4 个人都通过小木桥，最少用 (分钟)． (方法二)要想用最少的时间，4 人都能过桥，保证时间最短还可以： 第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用： (分钟)； 第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回，共用了 (分钟)； 第三步：最后小强与小小明一起过桥用了 分钟； 3 1 4+ = 8 3 11+ = 20 6 26+ = 3 1 4+ = 4 11 26 4 45+ + + = 45 2 1 3+ = 6 2 8+ = 2 3 8 2 13+ + = 13 1.5 1 2.5+ = 2 1 3+ = 2.5 2.5 3 2.5 8+ + = 1.5 1 2.5+ = 2.5 1.5 4+ = 1.5 所以，4 个人都通过小木桥，最少用 (分钟)． 【答案】 分钟 酒杯问题 【例 10】吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计，他只给伙计两个分别为 5 升和 3 升的盛酒杯，要求满足所 有顾客的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒），这下难倒了很多前来应聘的人，可是有一个 聪明的放牛娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】先将 5 升的酒杯盛满，倒入 3 升的容器中，再将 3 升的酒倒入酒缸中，将 5 升的酒杯中剩余的 2 升酒倒入 3 升的酒杯中；再次将 5 升的酒杯盛满，再将其中的酒倒入 3 升的容器中，使 3 升的酒 杯装满，这样 5 升酒杯还剩 4 升酒；最后把 3 升酒杯里的酒全部倒入酒缸中，再次将 5 升酒杯中 的酒倒入 3 升的酒杯中，把 3 升的酒杯装满，这样 5 升的容器中就剩下 1 升酒了．如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 5 升 5 2 2 0 5 4 4 1 3 升 0 3 0 2 2 3 0 3 还有更简单一方法：用 3 升的酒杯量 2 次倒入 5 升酒杯中，即可量出 1 升酒． 【答案】 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 5 升 5 2 2 0 5 4 4 1 3 升 0 3 0 2 2 3 0 3 【巩固】 大桶能装 5 千克油，小桶能装 4 千克油，你能用这两只桶量出 6 千克油吗?怎么量？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】略． 【答案】先将 5 千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有 5-4=1(千克)油；然后将小桶倒空，将 大桶中 1 千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是 5+1=6(千克)．这道题要学会借助于大桶 小桶容积的差量出想获得的中间量(1 千克) 【例 11】某人有 12 升啤酒一瓶，想从中倒出 6 升．但是他没有 6 升的容器，只有一个 8 升的容器和一个 5 升的容器．怎样的倒法才能使 8 升的容器中恰好装好了 6 升啤酒？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示． 　第一种解法： 　 12 　 12 　 4 　 4 　 9 　 9 　 1 　 1 　 6 　 8 　 0 　 8 　 3 　 3 　 0 　 8 　 6 　 6 　 5 　 0 　 0 　 5 　 0 　 3 　 3 　 5 　 0 　第二种解法： 12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6 8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6 5 0 0 4 4 0 5 1 1 0 5 0 【答案】　第一种解法： 　 12 　 12 　 4 　 4 　 9 　 9 　 1 　 1 　 6 　 8 　 0 　 8 　 3 　 3 　 0 　 8 　 6 　 6 　 5 　 0 　 0 　 5 　 0 　 3 　 3 　 5 　 0 　第二种解法： 12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6 8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6 5 0 0 4 4 0 5 1 1 0 5 0 2.5 4 1.5 8+ + = 8 【例 12】有大、中、小 3 个瓶子，最多分别可发装入水 1000 克、700 克和 300 克．现在大瓶中装满水， 希望通过水在 3 个瓶子间的流动动使得中瓶和小瓶上标出装 100 克水的刻度线，问最少要倒几次 水？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】6 【答案】6 火柴棍游戏 【例 13】桌子上放着 55 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～3 根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如 果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方 4 根，此时无论 对方取 1，2 或 3 根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方 4 根，在 倒数第三次取时，必须留给对方 8 根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是 4 的倍数根， 则必胜．现在桌上有 55 根火柴，55÷4=13……3，所以只要甲第一次取走 3 根，剩下 52 根火柴是 4 的倍数，以后甲总留给乙 4 的倍数根火柴，甲必胜． 【答案】甲必胜 【巩固】 将例题中的条件“每次取走 1～3 根”改为“每次取走 1～4 根”，其余不变，情形会怎样？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】由上面的分析，只要始终留给对方（1+4=）5 的倍数根火柴，就一定获胜．因为 55 是 5 的倍数， 甲先取，不可能留给乙 5 的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可能留给甲 5 的倍数根，所以在 双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜． 【答案】乙必胜 【巩固】 桌子上放着 50 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～3 根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如 果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方 4 根，此时无论 对方取 1，2 或 3 根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方 4 根，在 倒数第三次取时，必须留给对方 8 根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是 4 的倍数根， 则必胜．现在桌上有 55 根火柴，50÷4=12……2，所以只要甲第一次取走 2 根，剩下 48 根火柴是 4 的倍数，以后甲总留给乙 4 的倍数根火柴，甲必胜． 【答案】甲必胜 【巩固】 将例题中的“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又 将如何？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】因为最后留给对方 1 根火柴者必胜，按照逆推的方法分析，只要每次留给对方 4 的倍数加 1 根火 柴必胜．甲先取，只要第一次取 2 根，剩下 53 根（53 除以 4 余 1），以后每次都将除以 4 余 1 的 根数留给以，甲必胜． 【答案】甲必胜 【巩固】 1111 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动 1～ 7 个格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】一开始棋子已占一格，棋子的右面有空格 1111-1=1110（个）．只要甲始终留给乙（1+7=）8 的倍 数加 1 格，就可获胜． ，所以甲第一步必须移 5 格，还剩下 1105 格， 1105 是 8 的倍数加 1．以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是 8，甲就必胜． 【答案】第一步必须移 5 格 【例 14】有两堆火柴，一堆 35 根，另一堆 24 根．两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不 取.规定取得最后一根者为胜者.如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】先取者在 35 根一堆的火柴中取 11 根火柴,使得取后剩下两堆的火柴数相同以后无轮对手在某一 堆取几根火柴,你只需在另一堆也取同样多根的火柴只要对手有火柴可取,你也有火柴可取,也就是 说,最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者胜. 【答案】先取者胜 【巩固】有两堆火柴，一堆 3 根，另一堆 7 根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火 柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火柴 谁胜．如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为 0，简记（0，0）；因为甲至少取 1 根火 柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙 留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取， 甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）．所以甲先从 7 根火柴的一堆取出 2 根，留给乙 （3，5），甲必胜. 【答案】甲必胜 【巩固】桌子上放着 2 堆火柴，一堆 12 根，另一堆 24 根．两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限, 但不能不取.规定取得最后一根者为胜者.如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】先取者在 24 根一堆的火柴中取 12 根火柴,使得取后剩下两堆的火柴数相同以后无轮对手在某一 堆取几根火柴,你只需在另一堆也取同样多根的火柴只要对手有火柴可取,你也有火柴可取,也就是 说,最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者胜. 【答案】先取者胜 【例 15】黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数．规定在 谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】甲先划，把中间 25，26，27 这三个数划去，就将 1 到 51 这 51 个数分成了两组，每组有 24 个 数．这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可 划．因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜. 【答案】甲必能获胜 智巧行程 【例 16】甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距 里，甲每小时走 里，乙每小时走 里。如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲 奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住。这只狗共跑了多少里路？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 ( ) ( )1110 1 1 7 138 5− ÷ + =  100 6 4 10 【解析】只从狗本身考虑，光知道速度，无法确定跑的时间。但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从 开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同。由此便能求出答案。 狗一共跑了 （小时），所以狗跑的距离为 （千米） 【答案】 千米 【例 17】孙小空和猪坚强一道坐火车从北京去天津玩，玩了两天后，他们又结伴回北京。非常巧的是， 他们往返所坐的火车都是中午十二点整发车的，而途中所用的时间也都是半个小时。坐在火车上， 两个人看着窗外的风景，突然，猪坚强说：“小空，我们在来回的路上，一定在同一个时间看到 了相同地方的景色。”小空摇了摇头：“哪会这么巧？你又在骗我吧？”猪坚强向小空解释了理由， 小空一听，原来真是这样。那么同学们，你们能想明白，为什么这个看起来很不可思议的结论能 成立么？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】实际上，这个问题可以利用我们以前解决行程问题中用过的图示法解决： 图中的两条线分别代表从北京开往天津和从天津返回北京的火车。那么，表示两辆车中途形成的 折线一定会有一个交点 ，而这个交点就是猪坚强所说的，在同一时间位于相同地方的位置。 【答案】实际上，这个问题可以利用我们以前解决行程问题中用过的图示法解决： 图中的两条线分别代表从北京开往天津和从天津返回北京的火车。那么，表示两辆车中途形成的 折线一定会有一个交点 ，而这个交点就是猪坚强所说的，在同一时间位于相同地方的位置。 其它问题 【例 2】 老师在黑板上画了 个点，要求同学们用一笔画出四条首尾顺次相连并通过这 个点的线段。你能办 到吗? 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有 折线只能限定在这 个点的范围之内。我们把折线的范围冲破图中 个点所限定的正方形，那么 问题就容易解决了，如右图。 【答案】 A 12:3012:00 天津北京 A 12:3012:00 天津北京 A A 10 10 100× = A A 9 9 9 9 【例 18】小明的左衣袋和右衣袋中分别装有 6 枚和 8 枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等。当任意 从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的钱 数多 2 分，要么比原来的钱数少 2 分，那么两个衣袋中共有多少分钱？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】 ，共: 分=2 角 4 分. 【答案】2 角 4 分 【例 19】现有 段铁链，每段上有 个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这 个铁环焊接成一个一 环套一环的圆圈．如果每打开一个铁环要 分钟，焊接上一个铁环要 分钟．那么焊成这个圆圈， 至少需要________分钟． 【考点】统筹规划 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】把第一段的每个都打开之后用了 (分钟)，下面用每个铁环把剩下的 段铁链之间的两个 相连，只需要 (分钟)．所以至少需要 分钟． 【答案】 分钟 【例 20】如图 10-5，在一个圆周上放了 1 枚黑色的和 1990 枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作： 从黑子开始，按顺时针方向，每隔 1 枚，取走 1 枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】将黑子右边的第一个编号 1，顺时针排下去，到黑子就是第 1991 号；每隔 1 枚，取走 1 枚，即第 一圈取所有偶数编号的，最后一颗取走的为 1990 号，即黑子左边的一个，到黑子时正好跳过黑 子；这样第一圈共取走（1991-1）/2=995 个，留下了 996 个；对剩下的棋子重新按上述方法（即 黑子右边为 1 号）编号，第 2 圈就变成了全部取走奇数号，因为此时黑子为 996 号，又正好留下； 并且可以知道，只要留下的是偶数枚，黑子总能跳过；992/2=498，第三圈留下 498 枚； 498/2=249，第四圈留下 249 枚；249 为奇数，因此第 5 圈结束将正好取走黑子，那么，当黑子被 取走时，还留下（249-1）/2=124 枚。 【答案】124 枚 【例 21】用数字 1，1，2，2，3，3 拼凑出一个六位数，使两个 1 之间有 1 个数字，两个 2 之间有 2 个数 字，两个 3 之间有 3 个数字。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】312132 231213 【答案】312132 231213 【例 22】 第8题 2 6 5 7 1× = + × 2 6 2 24× × = 5 4 20 2 3 4 2 8× = 4 4 3 12× = 20 20 12345679 999999999× 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】粗看起来，本题应该是利用了 这个知识点。于是有： 注意 到这个数字的特殊性质， ，可以得到 【答案】 【例 23】把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】对折一次: 段　对折二次: 段　对折三次: 段. 【答案】 段 【例 24】将长为 厘米宽为 厘米的纸带沿着长对折二次，然后从一端开始，每隔 厘米剪一刀，最后 可得到（ ）个正方形 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】对折两次，折成 4 段纸，有 3 个折痕，这 3 个折痕处事 的长方形，剩下都是正方形，有 个正方形。 【答案】 【例 25】有 10 张，卡片分别标有从 2 开始的 10 个连续偶数。如果将它们分成 5 组，每组两张，计算同 组中两个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。那么每组中的两张卡片上标的数各 是多少？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】10 个连续偶数是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 　　　　8=2+6 16=4+12 22=14+8 30=20+10 34=16+18 【答案】8=2+6 16=4+12 22=14+8 30=20+10 34=16+18 【例 26】售货员把 29 个乒乓球分装在 5 个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于 30，他总可以恰 好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这 5 个盒子里分别装着多少个乒乓球？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】一道二进制的题目！需要老师能和二进制结合起来讲解，1+2+4+8+14=29 或者 1+2+4+7+15=29。 【答案】1+2+4+8+14=29 或者 1+2+4+7+15=29 【例 27】如图，这是用 24 根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的 4 根火柴，使它变成两个完全相 同的正方形。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】两种方法！图中画圆圈的地方可以左右调换位置！ 999999999 1000000000 1= − ( ) 12345679 999999999 12345679 1000000000 1 12345679000000000 12345679 12345678987654321 × = × − = − = 12345679 12345679 9 111111111× = 12345679 999999999 12345679 9 111111111 111111111 111111111 12345678987654321 × = × × = × = 12345678987654321 2 2 1 3× − = 4 2 3 5× − = 8 2 7 9× − = 9 48 2 2 2 4× 48 2 3 2 18÷ − × = 18 【答案】 【例 28】请将 16 个棋子分放在边长 30 厘米、20 厘米、10 厘米的 3 个盒子里，使大盒子里的棋子数是中 盒子里棋子数的 2 倍，中盒子里的棋子数是小盒子里棋子数的 2 倍。问应当如何放置？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】把小盒子放进中盒子里,中盒子放在大盒子里.小盒里放 4 个,中盒里放 4 个,大盒里放 8 个. 【答案】把小盒子放进中盒子里,中盒子放在大盒子里.小盒里放 4 个,中盒里放 4 个,大盒里放 8 个 【例 29】把 123，124，125 三个数分别写在下图所示的 A，B，C 三个小圆圈中，然后按下面的规则修改 这三个数。第一步，把 B 中的数改成 A 中的数与 B 中的数之和；第二步，把 C 中的数改成 B 中 （已改过）的数与 C 中的数之和；第三步，把 A 中的数改成 C 中（已改过）的数与 A 中的数之 和；再回到第一步，循环做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C 中的数都变成了奇数，则 停止运算。为了尽可能多运算几步，那么 124 应填在哪个圆圈中？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】当 124 在 A 中时，每次运算后的状态分别为：偶奇奇—偶奇奇—偶奇偶—偶奇偶—偶奇偶—偶奇 奇—偶奇奇，需 6 步完成操作。 当 124 在 B 中时，第一次后，B 中的数字为偶数+奇数=奇数，而 A、C 也是奇数，运算完毕。 当 124 在 C 中，开始状态为奇奇偶，然后变为奇偶偶—奇偶偶—奇偶偶—奇奇偶—奇奇奇，需 5 步操作。 所以 124 在 A 中时，运算的次数最多。 【答案】124 在 A 中时，运算的次数最多 【例 30】（可以当作故事给学生出题） 国王带着 、 、 、 、 、 六位大臣去旅游。晚上大家要 去住旅馆，可只有三间房。 国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房， 只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。 大臣说：“我是质数，我应该住质数房！” 大臣说：“不对，你是奇数，我才应该住质数房！” 他们闹得不可开交，最后只好请 国王来评判。可 国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们， 你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】首先，在题目里 大臣所说的是错误的，而 大臣所说的是正确的。 所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有 、 、 、 四位大臣可以住在质数房。 所以，例如 、 、 住奇数房， 、 、 住质数房的安排方法就是正确的。 0 1 3 5 7 9 11 0 1 3 0 0 1 3 3 5 7 11 1 3 9 5 7 11 由前面的分析， 、 必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住 法，那么一共有 种不同的住法。 【答案】 种 【例 31】若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有 装棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排 了一下。小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有 1 个，当然现在也必须有个盒子 有 1 个；现在盒中有 1 个，说明原来是 2 个，当然现在也必须有个盒子有 2 个；……考虑 50 多， 所以有 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55　共 11 个盒子。 【答案】11 个盒子 【例 32】在一块黑板上将 123456789 重复 50 次得到 450 位数 123456789123456789……。先删去这个数 中从左至右数所有位于奇数位上的数字，再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字，……，依 此类推。那么，最后删去的是哪个数字？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】容易发现，每次留下的应该是 2^n 位上的数字；2^8=256，2^9=512>450，所以最后一个数字应该 是第 256 位上的数；256/9=28......4，所以，最后删去的是 4。 【答案】最后删去的是 4 【例 33】如图 10-3，圆周上顺序排列着 1，2，3，……，12 这 12 个数。我们规定：把圆周上某相邻 4 个 数的顺序颠倒过来，称为一次变换，例如 1，2，3，4 可变为 4，3，2，1，而 11，12，1，2 可 变为 2，1，12，11。问能否经过有限变换，将 12 个数的顺序变为如图 10-4 所示的 9，1，2， 3，……，8，10，11，12？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】从两个图可以看出，10、11、12 没有变化，我们不妨这样排列：9、8、7、6、5、4、3、2、1 变 为 8、7、6、5、4、3、2、1、9;这样只要 9 次就行。 【答案】9 次 【例 34】 “上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如 ， ， 等），上升数不包括一 位数。求所有上升数的个数。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】首先，上升数中不可能包含 ，否则 应该在这个数的最高位 分情况讨论如下： 从 到 中任取不同的两个，将较小的作为十位，较大的作为个位，就可得到一个两位的上升数， 1 9 1 4 4C = 4 34 568 2469 0 0 1 9 所以两位的上升数共有 （个）； 类似地，三位的上升数共有 （个）； 四位的上升数共有 （个）； 五位的上升数共有 （个）； 六位的上升数共有 （个）； 七位的上升数共有 （个）； 八位的上升数共有 （个）； 九位的上升数共有 （个）； 所以上升数共有 （个） 考虑到从 到 中取出若干个（至少两个），都可以唯一地组成一个上升数。 所以上升数共有： （个） 【答案】 【例 35】去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后， 突然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。崔老师把 同学们写好的纸条收走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一 样。”这时下面有个特别聪明的同学，立刻说道：“不可能，肯定是有人统计错了！”当他解释过 自己这样说的原因后，教室里的其他同学们和崔老师都很佩服这个同学。那么同学们能够说出这 个同学这样说的原因吗？ 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】假设一共来了 名同学，则他们认识的人数应该不超过 。又因为崔老师说所有同学认识的人 数都不一样，那么这 名同学就应该分别认识 ， ， …… ， 名同学。 但是，那名认识 名同学的学生应该认识来参加颁奖的所有同学，也就是说，不可能有人认识 名同学。因为这 名同学不可能分别认识 ， ， …… ， 名同学，所以也就不可能 所有人认识的人数刚好不同。 【答案】假设一共来了 名同学，则他们认识的人数应该不超过 。又因为崔老师说所有同学认识的人 数都不一样，那么这 名同学就应该分别认识 ， ， …… ， 名同学。 但是，那名认识 名同学的学生应该认识来参加颁奖的所有同学，也就是说，不可能有人认识 名同学。因为这 名同学不可能分别认识 ， ， …… ， 名同学，所以也就不可能所 有人认识的人数刚好不同 【例 36】（丢番图是古希腊数学家，被誉为“代数学之父”。而丢番图的墓碑，就包含了一个很有趣的数 学 问题）以下就是丢番图的墓碑原文，同学们能从其中看出丢番图一共活了多少岁吗？ 　　 上帝给予的童年占六分之一， 　　 又过十二分之一，两颊长胡， 　　 再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。 　　 五年之后天赐贵子， 　　 可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。 　　 悲伤只有用数论的研究去弥补， 　　 又过四年，他也走完了人生的旅途。 2 9 36C = 3 9 84C = 4 9 126C = 5 9 126C = 6 9 84C = 7 9 36C = 8 9 9C = 9 9 1C = 36 84 126 126 84 36 9 1 502+ + + + + + + = 1 9 9 1 0 9 92 502C C− − = 502 n 1n − n 0 1 2 2n − 1n − 1n − 0 n 0 1 2 2n − 1n − n 1n − n 0 1 2 2n − 1n − 1n − 0 n 0 1 2 2n − 1n − 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】题目中的数量都与丢番图的年龄直接相关，因此可以考虑列方程求解： 设丢番图活了 岁。可以根据题目条件列出方程 移项后得到 ，解得 。 所以丢番图一共活了 岁。 巧解：由题目条件也可简单地列出算术式： （岁） 或者利用 6、12、7 的最小公倍数是 84。也可以快速算出！ 【答案】84 【例 37】有一种小虫，每隔 2 秒钟分裂一次．分裂后的 2 只新的小虫经过 2 秒钟后又会分裂．如果最初 瓶中只有 1 只小虫，那么 2 秒后变 2 只，再过 2 秒后就变 4 只……2 分钟后，正好满满一瓶小 虫．现在这个瓶内最初放入 2 只这样的小虫．经过多长时间，正巧也是满满一瓶小虫? 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】如果刚开始瓶里有 1 只小虫，每隔 2 秒钟分裂一次，第一次就分裂成 2 个，第二次就分裂成 4 个……这样 2 分钟就正好有了满满一瓶小虫．如果瓶里开始就放有 2 只小虫，那么第一次就分裂 成 4 个，和原来比少了 1 个分裂成两个的 2 秒，直接已经有了 2 个．这样如果瓶里有 2 只小虫， 就会原来的时间少 2 秒，需要 1 分钟 58 秒就分裂成了满满一瓶小虫． 【答案】1 分钟 58 秒 【例 38】往一个篮子里放鸡蛋，假定篮子里的鸡蛋数目每分钟增加 1 倍，这样放下去，10 分钟时，篮子 放满了。那么，____分钟时恰好放入半篮子鸡蛋。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试 【解析】9 分钟 【答案】 分钟 【例 39】两只食量相同的猴子抢一堆桃子吃，吃完后，一只猴子还差 1 个桃子吃饱，另一只还差 5 个吃 饱。如果这堆桃子都给一只猴子吃，它仍不会吃饱，那么一只猴子一共需要_____个桃子才能吃 饱。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】一只猴子还差 1 个吃饱，可是全给一只猴子吃，它还是吃不饱，说明另一只猴子没有吃到桃子， 所以猴子一共需要吃 5 个才能吃饱。 【答案】 个桃子 【例 40】一城镇共有 5000 户居民，每户居民的小孩都不超过两个。其中一部分家庭每户有一个小孩，余 下家庭的一半每户有两个小孩，则此城镇共有 个小孩。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】5000 户居民可以分为三部分：（1）只有 1 个小孩的；（2）有 2 个小孩的；（3）没有小孩的。 其中（2）与（3）的居民相同，我们就可以将有 2 个小孩的家庭的其中 1 个孩子分给没有小孩的 家庭，这样 5000 户居民每个家庭都有 1 个小孩，所以这城镇共有 5000 个小孩。 【答案】 【例 41】如图，有一些写有数字的圆圈，请你用线段将水平或竖直方向的相邻圆圈连接起来，使得该图 形成为一个连通的图形，要求水平或竖直方向的相邻两个圆圈之间最多只能连 条线段，而且每 x 1 1 1 15 46 12 7 2x x x x x+ + + + + = 3 928 x = 84x = 84 ( ) 1 1 1 1 35 4 1 9 846 12 7 2 28  + ÷ − − − − = ÷ =   9 5 5000 2 个圆圈里面的数字表示的是与该圆圈相连接的线段的条数。 【考点】智巧趣题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,6 年级 【解析】如图 ,根据题目所列的连线要求，左下角的圆圈只能和左下角的标有 的圆圈和最下面一行的标 有 的圆圈，这两个圆圈相连，所以各连两条线；那么左下角的标有 的圆圈还剩下一条线只能 和其右邻的标有 的圆圈相连：图中唯一的一个标有 的圆圈也只能和这个标有 的圆圈相连； ，容易先得出图 ；剩下的部分，两个标有 的圆圈之间必定要连线（否则第一行右边的两 个圆圈之间要连 条线），且只要连 条（否则右数第一列下面的两个圆圈之间要连 条），于是可 得最终的结果如图 。 【答案】见分析 第10题 4 4 2 2 1 3 4 43 3 3 3 2 3 4 4 3 2 4 3 1 4 3 3 图1 图2 3 3 4 1 3 4 2 34 4 3 2 1 3 2 3 3 1 3  1 4 3 1 3 2