小学数学总复习资料 19页

第一部分 数与代数 1 数的认识 (1)整数 1.整数的意义 像…,-3,-2,-1,0,1,2,3…这样的数统称整数。整数的个数是无限的。没有 最小的整数,也没有最大的整数. 2.自然数的意义: 我们在数物体的个数时,用来表示物体个数的 1,2,3……是自然数。一个物 体也没有,用 0 表示,自然数的个数是无限的。最小的自然数是 0,没有最大的自 然数。自然数是整数的一部分,“1”是自然数的单位。 3.读法和写法: 读数时从高位到低位,一级一级地读,每一级末尾的 0 都不读出来,其它数位 有连续几个 0 都只读一个零。 写数时,从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在 那个数位上写 0 占位。 4.大小比较 比较两个整数的大小,如果位数不同,那么位数多的数就大;如果位数相同, 就比较左起第一位上的数,左起第一位上的数大的那个数就大,如果左起第一位 上的数相同,就比较左起第二位上的数……直到比较出数的大小。 5.奇数与偶数 能被 2 整除的整数是偶数,不能被 2 整除的整数是奇数。 如 2,4,6,8……是偶数,1,3,5,7……是奇数。 6.因数与倍数: (1)一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数。如 15 能够被 3 或 5 整除,因此 15 是 3 的倍数,也是 5 的倍数。3 和 5 是 15 的因数。 (2)一个数的倍数有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集。注意:不能 把一个数单独叫做倍数,只能说谁是谁的倍数。 7.能被 2,3,5 整除的数的特征: 个位上是 0,2,4,6,8 的数都能被 2 整除,如 12,24,46 等 被 3 整除的数各个数位上的数相加所得的和能被 3 整除。如 93,个位和十位 上的数的和是 12 可被 3 整除。 被 5 整除的数个位不是 0 就是 5。如 15,25,35,50 等, 8.质数与合数: 一个数,如果只有 1 和它本身两个因数,叫质数。如 13,17,5 等,一个数,如果 除了 1 和它本身,还有别的因数,叫合数。如 12,15,16 等。 9.分解质因数： 把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 10.最大公因数和最小公倍数: 几个数公有的因数叫这几个数的公因数,公因数中最大的一个数叫这几个数 的最大公因数。如 12,15 的公因数是 3,1,其中 3 是最大公因数。 几个数共有的倍数叫这几个数的公倍数,公倍数中最小的一个数叫这几个数 的最小公倍数。如 3 和 5 的公倍数是 15,30,45……其中最小公倍数是 15。 11.正数与负数 (1)意义:像 1,2,3,……这样的数叫做正数,像-1,-2,-3,……这样的数叫负数。0 既不是正数也不是负数。负数都小于 0,正数都大于 0。 (2)读法和写法:读数时,“十”读作正,正号后面是几就读几,“一”读作“负”, 负号后面是几就读几。如一 9 读作负 9。 (3)在直线上表示的数:一般先确定 0 的位置,再确定方向,最后确定单位长度。一 般右边的数是正数,左边的数是负数。 1 数的认识 (2)小数 1.小数的意义 把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份……表示这样的一份或几份的 数是十分之几、百分之几、千分之几……还可以用小数来表示。一位小数表示十 分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几…… 小数点右边第一位是十分位,计数单位是十分之一:第二位是百分位,计数单 位是百分之一……小数部分的最大计数单位是十分之一,没有最小的计数单位。 小数部分有几个数位,就叫做几位小数。 2.小数的分类 ① 小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。(例:0.14 12.83462) 分类﹛ ②小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。(例:45.1286542……) 3.循循环小数 (1)循环小数:一个小数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不 断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。如:33,333…… 7.145145…… (2)循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小 数的循环节。例如:33.333……的循环节是“3”7.145145……的循环节是“145” (3)循环小数的表示方法，表示循环小数通常有两种情况: ①写两遍循环节,然后用“……”表示。 ②也可以只写第一个循环节,但为了标识清楚循环节是什么,要在循环节的首位 和末位上面各记一个圆点。例如如:33.888…可以表示“33.8” 23.5646464…… 可以表示成“23.564”。 (4)成为循环小数的必备条件 ①必须是无限小数。 ②小数部分必须依次不断地重复出现一个数字或几个数字。 (5)循环小数的种类 循环节从小数部分第一位开始的叫纯循环小数。如 0.5;循环节不是从小数 部分第一位开始的叫混循环小数.如 7.238。 (6)循环小数与无限小数的关系: 循环小数一定是无限小数,无限小数不一定是循环小数。 (7)循环小数的写法和读法 例:0.88888……写作:0.8 读作:零点八 八循环 23.5646464……写作:23.564 读作二十三点五六四 六四循环 9.258258……写作:9.258 读作:九点二五八 二五八循环 小提示:如果循环节是三个或三个以上的数字,只要在循环节的第一个数和 最后一个数的上面点上点。 4.小数大小的比较 小数大小的比较可以分成两步走:先看整数部分,整数部分大的那个数就大, 如:124.954〈125.01；如果整数部分相同就比较十分位上的数,十分位上的数大 的那个数就大;如果十分位上的数也相同,就比较百分位上的数,百分位上的数大 的那个数就大……依此类推,直到能比较出大小为止。 5.小数的性质 小数的末尾添上 0 或者去掉 0,小数的大小不变。根据这一性质可以在小数 的末尾添上“0”,即 5.3=5.30=5.300,也可以把小数化简,如:50.300=50.3。 6.小数点位置移动引起小数大小的变化 小数点向右移动一位、两位、三位……原来的数就扩大到它的 10 倍、100 倍、1000 倍……反之,小数点向左移动一位,两位,三位…原来的数就缩小到它 的 、 、 …… 若 把 一 个 数 扩 大 到 原 来 的 10 倍 、 100 倍 、 1000 倍 …… 或 缩 小 到 原 来 、 、 ……只需要移动小数点,数位不够时用 0 补足。 3 数的认识 (3)分数与百分数 （一）分数 1.分数的意义 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫分数。表示其中 一份的数是这个分数的分数单位,如把一根绳子平均分成 5 份,每份就是五分之 一。 2.分类: (1)真分数:分子比分母小的分数叫真分数,真分数小于 1。 (2)假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数大于或等 于 1.带分数实际上就是大于 1 的假分数的另一种表示形式。 3.读法和写法 读数时,先读出分母,再读“分之”,最后读出分子。读带分数时,先读整数部 分,再读“又”，最后读分数部分。 写数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。写带分数时,先写整数部分,再 写分数部分。 4.大小比较: 分母相同的分数,分子大的分数大;分子相同的分数,分母小的分数大;分子 和分母都不相同的分数,先通分,再比较大小,或将它们的分子变成同一分子再比 较。 5.基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0 除外),分数的大小 不变。 (二)百分数 1.百分数的意义: 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数,也叫做百分率或百分比。 百分数是一种特殊的分数,它表示两个数之间的倍比关系,不表示具体的数量,所 以百分数后面不带单位名称。百分数可以直接写成分母是 100 的分数。 2.读法和写法: 读数时,先读百分号,再读百分号前面的数。写数时,百分数通常不写成分数 形式,而是在原来的分子后面加百分号。 3.分数、小数、百分数的混合比较： 一般先将它们统一化成小数,然后按小数的大小比较方法进行比较。 2.运算定律与简便运算 (1)运算定律总结如下： 四则混合运算,有时可以运用运算定律使计算更加简便。 名 称 举例 用字母表示 加法交换律 17+26=26+17 a+b=b+a 加法结合律 (12+13)+8=(12+8)+13 （a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律 4×5=5×4 a×b=b×a 乘法结合律 (25×5) ×4=(25×4)×5 (a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配律 (25+8) ×4=25×4+8×4 (a+b)×c=ac+bc (2) 减法的运算性质:一个数连续减去两个非零的数,等于这个数减去这两个减 数的和。用字母表示为:a-b-c=a-(b+c)(b≠0 c≠0) (3)除法的运算性质:一个数连续除以两个非零的数,等于这个数除以这两个数的 积。用字母表示为:a÷b÷c=a÷(b×c)(b≠0 c≠0) 3 常见的量 1.常用的计量单位及其进率。 (1)长度、面积、体(容)积单位。 长度单位 图 形 千米一→米一→分米一→厘米一→毫米 (1000) (10) (10) (10) 面积单位 平方千米一→公顷一→平方米一→平方分米→平方厘米 (100) (10000) (100) (100) 体(容)积单位 立方米一→立方分米(升) 一→ 立方厘米(毫升) (1000) (1000) (2)质量单位。 名称 吨 千克 克 进率 (1000)千克 (1000)克 —— (3)时间单位。 名 称 世纪 年 月 日[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 时 分 秒 进 率 (100) 年 （12） 月 31 日(1 3 5 7 8 10 12) 30 日(4 6 9 11 各月) 29 日(闰年 2 月) 28 日(平年 2 月) (24) 时 (60) 分 (60) 秒 — 4 式与方程 1.用字表示数: 用字母成含有字母的式子可以表示数,也可以表示数量关系、运算定律和计 算公式等。 2.含有字母的式子; (1)字母与字母,字母与数字之间的乘号可以记作“.”或省略不写写。应把数字 写在字母的前面。 (2)用字母表示除法、分数和比时,表示除数、分母和比的后项的字母不能为 0。 用字母表示运算结果时,必须是最简明的式子。 3.等式: (1)意义:表示相等关系的式子,叫等式。 (2)性质:a:等式的两边加上或减去同一个数,左右两边仍相等。b:等式的两边乘 同 一 个 数 , 或 除 以 同 一 个 不 为 0 的 数 , 左 右 两 边 仍 相 等 。 如 a+b=c+d ， a+b+2=c+d+2 (a+b) × 2=(c+d) ×2 等式同样成立。 4.方程 (1)意义:含有未知数的等式,叫方程。如 x-8=9 就是方程。 (2)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。上题 x=17 就是 方程 x-8=9 的的解。 (3)解方程:求方程解的过程叫解方程。解方程的依据是等式的性质。 如 x 一 8+8=9+8,x=17,这就是解方程。 (4)等式和方程的区别和联系: a:方程一定是等式,等式不一定是方程。 b:方程必须含有未知数,等式可以不含有未知数 5.用方程解决实际问题: (1)弄清题 意,找出未知数 x。 (2)根据等量关系式,列出方程。 (3)解方程,求出未知数。 (4)检验方程的解是否符合题意,并写出答语。 5 比和比例 1.比： (1)意义:两个数相除又叫做两个数的比 。3÷5=3:5 (2)各部分的名称:比号前面的数叫比的前项,比号后面的数比的后项,比的前 项除以比的后项的商叫比值。 (3)基本性质:比的前项和后项同时乘(或除以)相同的数(0 除外),比值不变。 (4)求比值与化简比:比的前项除以比的后项所得的商叫比的比值,比值是一 个数;应用比的基本性质把比化成最简单的整数比,叫化简比,结果还是一个比。 如 24：36=(24÷12):(36÷12)=2:3 2.比例 (1)意义:表示两个比相等的式子叫比例。 (2)各部分的名称:组成比例的四个数叫做比例的项,两端的两项叫做比例的 外项,中间的两项叫做比例的内项。 (3)基本性质:在比例里,两个外项之积等于两个内项之积。 如 10:8=5:4 10×4=40 8×5=40 (4)解比例:求比例中的未知项叫解比例。 3.比与分数、除法的联系和区别。 各部分的名称 例子[来源:Z.xx.k.Com] 比 前项 比号 后项 比值 5:2 分数 分子 分数线 分母 分数值 2.5 除法 被除数 除号 除数 商 5÷2=2.5[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 4.比例尺:图上距离和实际距离的比,叫做一幅地图的比例尺,即:图上距离÷ 实际距离=比例尺。比例尺分为数值比例尺和线段比例尺。 5.正比例和反比例 (1)正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果 这两种量相应的比值一定,那么这两个变量之间的关系就叫做正比例关系。用字 母表示是 y/x=k(k 为非零的常数)。 (2)反比例意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两种 量中相对应的两个数的积一定。这两种量叫做成反比例的量,它们的关系叫做反 比例关系。用 k=yx (一定)x 不等于 0,k 不等于 0 来表示。 (3)正比例的图像:正比例的图像是一条经过点(0,0)的直线。 第二部分 图形与几何 1 平面图形的认识与测量 一、线 1.直线:直线没有端点;长度无限;不可度量。过一点可以画无数条直线,过两点只 能画一条直线。 2.射线:射线只有一个端点;长度无限,不可度量。它是直线的一部分。 3.线段:线段有两个端点,它是直线的一部分:长度有限,可以度量。线段的长度就 是两点间的距离。在所有两点的连线中,线段最短。 4.直线、射线和线段的联系和区别 图形 相同点 不同点 直线 没有端点,无限长,不可度量 射线 1 个端点,无限长,不可度量 线段 都是直的,射线、线段都 是直线的一部分,线段是 直线的有限部分。 两个端点,有限长,可以度量 5.平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。也可以说这两条直 线互相平行。两条平行线之间的距离处处相等。过直线外一点画已知直线的平行 线,只能画一条。 6.垂线:两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫 做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线 的长叫做这点到直线的距离。过直线外或直线上一点画已知直线的垂线,只能画 一条。 二、角 1.概念 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射 线叫做角的边,角的大小与两条边的长短无关。与两边又开的大小有关,叉开的越 大角越大,反之,又开的越小角越小。角用符号“∠”表示,读作“角”。 2.测量角的方法 (1)中心对顶点:(就是说量角器的中心与角的顶点对齐重合) (2)零线对一边:(就是说量角器零刻度线与一边起始边对齐重合) (3)它边看度数:(就是说角的另一条边所对的是角的度数) (4)内外要分辨:(量角器上有两条 0 刻度线,一条是内圈的,一条是外圈的;0 刻度 线在在内圈,度数就读内圈;零刻度线在外圈,度数就读外圈) 3.角的分类 锐角:小于 90°的角叫做说角。例:78°,51°46°是锐角。 直角:等于 90°的角叫做直角。 钝角:大于 90°而小于 180°的角做钝角。例:109°、156°、124°是钝角。 平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角做平角。平角是 180°,1 个平角 =2 个直角。 周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是 360°,1 个周角=2 个平角=4 个直角。 三、三角形 1.三角形的定义 由三条线段首尾依次相连围成的图形叫三角形。围成三角形的每条线段叫做 三角形的边,两条线段的交点叫做三角形的顶点,三角形有 3 个顶点,3 个角(至少 有两个锐角),3 条边，3 条高。 三角形的高和底:从三角形的一个顶点向它对边所作的垂线段(顶点至对边 垂足间的线线段),叫做三角形的高,这条边叫做三角形的底。(底是对高而言) 2.三角形的特征 三角形具有稳定性;任意的两条边的和大于第三条边;任意的两条边的差小 于第三条边；三角形的内角和是 180°。 3.三角形的分类 锐角三角形(3 个角都是锐角) 按角角分 直角三角形(1 个角是直角,2 个角是锐角) 钝角三角形(1 个角是钝角,2 个角是锐角) 三角形 一般等腰三角形(两条边相等) 按边分 等腰三角形 等边三角形:又叫正三角形(三条边都相等) 不等腰三角形(三条边各不相等) 4.三角形的面积 三角形的面积=底×高÷2 S= ah 四、四边形 四边形的定义:由四条线段首尾顺次相接围成的图形叫做四边形,四边形内 角和 360°。 1.长方形 (1)特征:对边相等,4 个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 (2)计算公式:C=2(a+b);S=ab 2.正方形 (1)特征:四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有 4 条对称轴。 (2)计算公式:C=4a S=a 3.平行四边形 (1)特征:两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等,相 邻的两个角的度数之和为 180 度。平行四边形容易变形, (2)计算公式:S=ah 4.梯形 (1)特征:只有一组对边平行的四边形。等腰梯形有一条对称轴。 (2)公式:S= (a+b)h 五、圆和扇形 1.圆的认识 (1)定义:在平面上,以定点为中心,一定的长度为距离旋转一周,所形成的封 闭曲线图形叫做圆,圆是曲线图形。 (2)圆心:圆中心的一点叫做圆心。一般用字母 O 表示 (3)半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用 r 表示。在同一 个圆里，有无数条半径,每条半径的长度都相等。 (4)直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用 d 表示。同一 个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。在同一个圆里,直径等于两个半径的长 度,即 d=2r。 (5)圆的大小由半径决定;圆的位置由圆心决定。圆有无数条对称轴。 (6)圆的周长:围成圆的曲线的长叫做圆的周长。圆的周长和直径的比值叫做 圆周率。用字母 表示。(计算时 =3.14)C= d 或 C=2 r (7)圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。S= r 。 (8)圆的画法:①把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径)。②把有针尖 的一只脚固定在一点(即圆心)上。③把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一 个圆。 2.扇形 (1)扇形的认识:一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆上 AB 两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴。 (2)计算公式：S= r 。 3.环形 (1)特征:由两个半径不相等的同心圆所围成的。有无数条对称轴。 (2)计算公式:S= (R –r ) 六、轴对称图形 1.特征:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图 形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 2,等腰梯形有 1 条对称轴,等腰三角形有 1 条对称轴,扇形有 1 条对称轴,长方 形有 2 条对称轴,等边三角形有 3 条对称轴。正方形有 4 条对称轴,圆有无数条对 称轴。 七、不规则图形 1.周长:求所有边的长度和。 2.面积:根据图形的特点,运用分解、平移、旋转、割补等方式变成规则图形, 求出它们的面积和或差。 2 立体图形的认识和测量 一、长方体 1.特征:六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。相对的两个面完 全相同。12 条棱中相对的 4 条棱长度相等。有 8 个顶点。相交于一个顶点的三 条棱的长度分别叫做长,宽、高。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做 顶点,把长方体放在桌面上,最多只能看到三个面。 2.表面积:所有立体图形外面的面积之和叫做它的表面积。长方体的表面积就 是求 6 个面的面积和。 3.体积:指长方体所占空间的大小。体积用字母“V”表示。 4.计算公式:S =2(ab+ah+bh)；V=S h 或 V=abh 二、正方体 1.特征:6 个面都是正方形；6 个面完全相同；12 条棱,棱长都相等；有 8 个 顶点；长、宽、高部相等的长方体。它是特殊的长方体。 2.计算公式:S =6a =6×a×a V= a =a×a×a 三、圆柱 1.圆柱的认识:圆柱是由 3 个面组成。因柱的上、下两个面叫做底面。圆柱周 围的面(上、下底面除外)叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高,圆柱的 底面都是圆,并且大小一样,它的侧面是曲面。 2.圆柱的表面积:圆柱的表面积指两个底面和侧面的面积和。 3.圆柱的体积:指圆柱所占空间的大小。 4.计算公式:S =ch S =S +S ×2 V=S h= r h 5.进一法:在实际生活中,实际使用的材料要比计算的结果多一些,因此,要保 留数的时候,省略的位上的是 4 或者比 4 小,都要向前一位进 1。这种取近似值的 方法叫做进一法。 四、圆锥[来源:学§科§网] 1.圆锥的认识:圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底 面圆心的距离是圆锥的高。把圆锥的侧面展开后得到一个扇形。 2.测量圆锥的高:先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上 面,竖直地量出平板和底面之间的距离。 3.计算公式:V = V = S h 五、观察物体 1.从不同方位观察具体实物:从不同角度观察同一物体,往往所看到的形状是 不同的. 2.从不同方位观察立体图形组合:从不同方向观察同一物体可能看到的图形 是不同的. 3 图形的运运动 一、平移与旋转 1.平移 (1)定义:在平面内,将一个物体或图形沿直线朝某个方向移动一定的距离,而 本身没有发生形状、大小和方向上的改变。这样的图形运动称为平移。 (2)平移的特点:图形的形状、大小和方向没有发生改变,只是位置发生了变化。 (3)决定平移后的图形位置的关键是:一是平移的方向；二是平移的距离。 2.旋转 (1)定义:在平面内,将一个图形绕一定点沿某个方向转动一定角度,这样的图 形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角；沿着时针运 动方向的转动称为顺时针转动；反之称为逆时针转动。 (2)特点:旋转不改变图形的形状和大小。 (3)决定图形旋转后的前后的关键是:一是旋转的方向；二是旋转的角度。 二、图形的放大与缩小 1.图形的放大与缩小就是把图形按一定的比把一个图形放大或缩小,图形放 大或缩小时各对应角的大小不变。对应边都要以一定的比例放大或缩小。 2.方法:(1)要看清是按什么样的比进行变换；(2)选取原图形中关键的一些线 段,按按照指定的比放大或缩小；(3)连接起来。 4 图形与位置 一、方向 1.方向:在我们的实际生活中,常常需要辨认东、西、南、北等方向,来正确确 定事物的位置或判断物体运动的方向。 2.基本方向:东、西、南、北、东北、东南、西北、西南。东和西相对,南和 北相对,东北和西南相对,东南和西北相对。 (西北) (北) (东北) 北 3.地图上的方向: 地图上常按上北、下南、左西、右东的方法绘图。 (西) (东) (西南) (东南) 4.偏向的描述 (南) 示例:“西偏北 40°”表示从正西方向开始向北偏转 40°；“东偏北 50°” 表示从正东方向开始向北偏转 50°。 二、位置 确定位置的方法 1.用“上、下、左、右、前、后”来确定位置。用于确定现实空间中物体的 位置。[来源:Zxxk.Com] 2.用数对来确定位置。数对是一个表示位置的概念。前一个数字表示列,后一 个数字表示行。比如,(2,5),表示它的位置是第二列第五行,主要用于确定平面图 上物体的位置。 3.用“东、西、南、北”等方向来确定位置,或把方向、角度和距离结合起来 确定位置。 既可以用于确定现实空间中物体的位置,也可以确定平面图上物体的位置。 三、观察物体 1.从不同的方位观察物体,看到的形状可能是不同的;不管从哪个方位观察, 一次最多只能看到不同的三个面 2.从一个或两个方向看到的图形是不能确定立体图形的形状的。同一个角度观察 不同的立体图形,得到的平面图形可能是相同的,也可能是不同的。 第三部分 统计与概率 1 统计表、统计图与平均均数 1.统计表 统计表分为单式统计表和复式统计表两种。制作统计表时,先将原始数据加 以分类整理,按照统计要求分清类别,确定项目,设计表头,确定纵、横栏数,并根 据需要计算出总计、合计、平均数或百分数。 2.统计图 (1)条形统计图 特点:用一个单位长度表示一定的数量,用直条的长短表示数量的多少。 作用:从图中能清楚地看出各数量的多少,便于直观地了解数据的大小及不同数 据的差异。条形统计图可分为单式条形统计图和复式条形统计图两种。 (2)折线统计图 特点:用一个单位长度表示一定的数量,用折线的起伏表示数量的增减变化。 作用:从图中能清楚地看出数量增减变化的情况,便于直观了解数据的变化趋势。 折线统计图可分为单式折线统计图和复式折线统计图两种。 (3)扇形统计图 特点:用整个圆表示总数,用圆内的扇形表示各部分。 作用:从图中能清楚地看出各部分占总数的百分比,便于直观了解各部分的百分 率。 3.数据的收集、整理和分析的一般步骤 (1)确定调查的主题和需要调查的数据。 (2)根据调查的主题和数据设计调查表或统计表。 (3)确定调查方法。如:实地调查、测量,问卷调查,收集媒体信息等。 (4)进行调查,确定数据记录方法。 (5)整理和描述数据,对数据进行分类,选择适当的统计图表表示数据。 (6)根据统计图表分析数据,做出判断和预测。 4.平均数 (1)意义:若干个数相加的和除以这些数的个数所得的结果就是这些数的平均数。 (2)特点:平均数是表示一组数据集中趋势的数,它是反映数据集中趋势的一项指 标。 (3)求法:求平均数的基本数量关系式是:总数量÷总份数=平均数。 2 可能性 1.一定、可能和不可能 事件的发生的可能性情况有三种:一定、可能和不可能。 “一定”和“不可能”是在完全确定的情况下作出的判断。肯定会发生的用 “一定”来描述；肯定不会发生的用“不可能”来描述。 “可能”是在不确定的情况下作出的判断。有可能发生、有可能不发生的用 “可能”来描述。如:明天一定是星期一。今天是一月一号,明天不可能是 30 号。 2.可能性的大小 不确定事件的发生存在着可能性的大小。当条件对某件事有利时,发生的可 能性就大些,当条件对某件事不利时,发生的可能性就小一些。 一个袋子里有 10 个红球和 1 个黄球,这些球的大小完全一样。随意从袋子里 摸出一个球,摸出的这个球是红色的可能性大还是黄色的可能性大? 3.游戏规则的公平性 当游戏的双方获胜的机会是均等的,即双方获胜的可能性的大小是相等的, 这样游戏规则是公平的。如:投币游戏,正、反面各占一半。这个游戏是公平的。 第四部分 数学思考 一、探索规律 1.常见数列 (1)规律蕴含在相邻两数的倍或差中。例:1 2 3 4 5……相差 1；1 3 9 27 81……相 邻两数为 3 倍关系。 (2)相邻两数中隐含规律。例:1 2 3 5 8 13 21…… (3)几项为一组,以组为单位找到规律。例:O 口△O 口△O…… 2.算式中的规律。例:1×9=9 12×9=108 123×9=1107 1234×9=11106 12345×9=111105…… 3.图形中的规律。例:数线段的公式:(n-1)+……+2+1(n 为选段的总端点数)；同 一平面内,求 n 个点可以连多少条线段时可以用公式“ n (n-1)”。 二、植树问题 主要公式有:(1)两端都栽树:棵树=间隔数+1。(2)一端栽,一端不栽:棵树=间 隔数。（3)两端都不栽:棵树=间隔数-1。(4)封闭图形:棵树=间隔数 三、鸡兔同笼问题 通常用猜测、列表、假设和列方程等方法解决此类问题。 四、鸽巢问题 1.抽屉原理:每个“抽屉”星面至少有“商+1”个。 2.摸球:(1)至少要摸几个球能保证一定有两个是同色的:“颜色的种数+1” 五、搭配问题 解题的思路类似于乘法原理,即完成一件事分若干个步骤,每个步骤分别有 n ,n ，n ，……种不同的方法,那么完成这件事情一共有“n ×n ×n ,…”种 不同的方法。 第五部分 综合与实践 1.综合与实践的特点: “综合与实践”是一类以问题为载体的学习活动,是一项经历有目的、有设 计、有实施、有反思的实践活动。在活动中,我们要综合运用“数与代数”“图 形与几何”“统计与概率”等知识和方法,在具体的情境中,体验发现和提出问题、 分析和解决问题的过程;感受针对具体问题提出设计思路、制订简单的方案解决 问题的过程;并通过应用和反思,进一步理解所用的知识和方法,了解所学知识之 间的联系,获得数学活动的经验。 2.综合与实践活动一般经历下列几个步骤: (1)理解内容,明确意义。 (2)制订方案,准备用具 n (3)用规律,探索方法 (4)思过程,加深体会。 第六部分 专项训练 1 计算专项训练 一、四则混合运算的计算法则 1.在没有括号的算式里,如果只含有加减法或乘除法,要从左往右依次计算;如果 既含有加减法,又含有乘除法,先算乘除,再算加减。 2.在有括号的算式里,先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。 二、简便运算 1.四则运算的运算定律 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c =a×(b×c) 乘法分配律:a×(b 士 c)=a×b 士 a×c 2.运用四则运算的性质 减法的运算性质:a-b-c=a-(b+c) a-(b+c)=a-b-c 除法的运算性质:a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c)=a÷b÷c 三、解方程 1.依据等式的基本性质 (1)等式的两边都加上或减去同一个数,等式仍然成立。 (2)等式的两边都乘一个数或除以一个数(不能为 0),等式仍然成立。 2.依据加减乘除法各部分之间的关系。 (1)加数+加数=和 和- 一个加数=另一个加数 (2)被减数-减数=差 被减数- 差=减数 差+减数=被减数 (3)因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数 (4)被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 四、解比例 1.按概念解:比值相等。 2.按比例的基本性质:两个外项的积等于两个内项的积。 2 解决问题专项训练 一、一般数量关系问題 1.一般复合实际问题的解法 (1)列表法:以列表格的形式解决问题 (2)分析法:从问题想起,根据问题分析出相应的条件,然后把缺少的条件当作问 题逐步。分析 (3)综合法:从条件想起,根据两个条件推导出中间的问题,然后把中间问题再当 作条件，直到求出需要解决的问题为止。 (4)分析综合法:将分析法和综合法结合起来使用。 (5)假设法:遇到“鸡兔同笼”问题时,经常用到假设法。 2.常见的数量关系 速度×时间=路程 单价×数量=总价 工作效率×工作时间=T 作总量 收人一支出=结余 单产量×数量=总产量 平均数×总份数=总数量 3.典型的实际问题 (1)平均数问题 平均数问题实质上是移多补少,使每一份量都相等；关键是确 定总数量以及相对应的总份数；基本数量关系:总数量÷总份数=平均数；平均数 ×总份数=总数量。 (2)行程问題 ①一般行程问题:速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 ②相遇、相背问题:速度和×时间(相遇时间)=路程和 路程和÷时间=速度和 路程和÷速度和=时间(相遇时间) ③追及问题:速 度差×时间(追及时间)=路程差(追及距离) 路程差÷时间=速度差 路程 差÷速度差=时间 (3)归一、归总问题 ①归一间题:每份量保持不变。先求每份量,再算所求 量。 ②归总间题:总数量保持不变,先求总数量,再算所求量。 二、分数、百分数实际问题 1.一般分数、百分数应用题 在分数、百分数应用题中存在三个量,标准量、比较量和分率。 数量关系式:标准量×分率=比较量 比较量÷标准量=分率 2.生活中的百分数问题 比较量÷分率=标准量 包括:折扣、成数、税率、利率、利息、浓度、出勤率、发芽率等。 (1)几折、几成就表示十分之几,也就是百分之几十。 (2)利息=本金×利率×存期 (3)出勤率=出勤人数÷总人数×100% 发芽率=发芽的种子数÷种子总数×100% 3.分数工程问题 分数工程应用题中的工作总量不具体,一般用“1”来表示,工作作效率则表示 为工作时间的倒数。 4.解决问题的方法 (1)列表法 (2)画图法 (3)列举法 (4)假设法 (5)转化法等 三、比和比例实际问题 图上距离:实际距离=比例尺 1.比例尺实际问题 图上距离÷比例尺=实际距离 实际距离×比例尺=图上距离 2.按比例分配实际问题 方法一:把比看成份数,先求出一份是多少,再求出相应的几份。 方法二:把比转化成分数,按分数实际问题的方法解答。 3.正、反比例实际问题的解题步骤 ①分析数量关系,判断成什么比例； ②根据数量关系列出方程； ③解方程； ④检验是否正确。 四、几何图形的实际问题 遇到几何图形的实际问题时,首先判断图形的形状；其次找出题干中的条件, 分析问题；最后利用学过的图形的公式去计算。 3 动手操作专项训练 一、平面图形 1.直线、射线和线段的画法 直线就直接画一条线无需画端点；射线在画直线的基础上在一端画一个端点； 线段在画直线的基础上在两端端画上两个端点。 2.角的画法： 例如画一个 50°的角,先画一条射线 OA,使量角器的中心和射线的端点 O 重 合,零刻度与射线重合,在量角器的 50°的地方画一个点 B,拿去量角器,以画出 的射线的端点 O 为端点,通过刚才的点 B 用直尺画出射线 OB,50°的角就出来了。 3.测量角的方法 (1)中心对顶点:(就是说量角器的中心与角的顶点对齐重合) (2)零线对一边:(就是说量角器零刻度线与一边起始边对齐重合) (3)另一边看度数:(就是说角的另一条边所对的是角的度数) (4)内外要分辨:(量角器上有两条 0 刻度线,一条是内圈的,一条是外圈的；0 刻 度线在内圈,度数就读内圈；零刻度线在外圈,度数就读外圈) 4.垂线的画法 经过直线上一点,怎样画这条直线的垂线:(1)把三角板的一条直角边与已知 直线重合；(2)沿着已知直线移动三角板,让三角板的直角顶点与直线上的已知点 重合；(3)沿着另一条直角边画经过已知点的直线。 5.平行线的画法 利用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线:(1)用三角板的一条直 角边与已知直线重合；(2)用直尺紧靠三角板另一条直角边；(3)沿着直尺平移三 角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点；(4)沿着这条直角边画一条直线, 所画直线与已知直线平行。 6.圆的画法 (1)用尺子量出圆规两脚之间的距离,作为半径；(2)把带有针的一端固定在一 个地方,作为圆心；(3)把带有铅笔的一端旋转一周。 二、图形的运动 1.图形的平移和旋转 (1)平移就是将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离。 (2)旋转就是将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度。 2.图形的放大与缩小 图形的放大与缩小就是把图形按一定的比把一个图形放大或缩小,图形放大 或缩小时各对应角的大小不变,对应边都要以一定的比例放大或缩小。