小学数学精讲教案2_3_3 列不定方程解应用题 学生版 9页

列不定方程解应用题 教学目标 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．‎ 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。‎ 二、运用不定方程解应用题步骤 ‎1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 ‎2、根据解不定方程方法解方程 ‎3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 【例 1】 把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数．‎ 【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？‎ 【巩固】 现有足够多的角和角的邮票，用来付元的邮资，问角的邮票需要多少张？‎ 【例 1】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.‎ 模块二、不定方程与应用题 【例 2】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？‎ 【例 3】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以，让冬冬把自己命中的次数乘以，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？‎ 【巩固】 某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上．问：他命中环、环和环各几发？‎ 【例 4】 某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？‎ 【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？‎ 【例 1】 张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？‎ 【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这天内它们共叫了声．问：波斯猫至少叫了多少声？ ‎ 【例 2】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？‎ 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？‎ 【例 3】 有一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天．‎ 【例 4】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数．‎ 【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数．‎ 【巩固】 每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人．现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？‎ 【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？‎ 【例 1】 一个家具店在1998年总共卖了213张床．起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床．问：他们共有多少个月是卖出25张床？‎ 【例 2】 五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组．若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人．那么，参加组的有_______人．‎ 【例 3】 将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为，，.甲乙两组人合起来的平均年龄为；乙丙两组人合起来的平均年龄为．则这一群人的平均年龄为 ‎ ‎.‎ 【例 1】 个大、中、小号钢珠共重克，大号钢珠每个重克，中号钢珠每个重克，小号钢珠每个重克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？‎ 【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字，和，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是．问：小明最多摸出几个标有数字的球？‎ 【例 2】 公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？‎ 【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得分，套中小猴得分，套中小狗得分．小明共套了次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套次共得分．问：小明至多套中小鸡几次？‎ 【例 3】 开学前，宁宁拿着妈妈给的元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支元，铅笔每支元．宁宁买完两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？‎ 【巩固】 小华和小强各用角分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是分一支和分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支．‎ 【例 1】 蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？‎ 【巩固】 今有桃个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？‎ 【例 2】 甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的倍．甲、乙两人共有多少粒糖？‎ 【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？‎ 【例 1】 甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有人捐册，有人各捐册，其余都各捐册，乙班有人捐册，人各捐册，其余各捐册；丙班有人各卷册，人各捐册，其余各捐册。已知甲班捐书总数比乙班多册，乙班比丙班多册，各班捐书总数在册与册之间，问各班各有多少人？‎ 【例 2】 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应分、分和分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中分才能获奖，要想获奖至少需要投中 　 次飞镖．‎ 模块三、不定方程与生活中的应用题 【例 3】 某地用电收费的标准是：若每月用电不超过度，则每度收角；若超过度，则超出部分按每度角收费．某月甲用户比乙用户多交元角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？‎ 【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过度的部分，按每度元收费；超过度而不超过度的部分，按每度元收费；超过度的部分按每度元收费．某月甲用户比乙用户多交电费元，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费)‎ 【例 1】 马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金元，乙公司每月付给他薪金元．年终，马小富从两家公司共获薪金元．他在甲公司打工 个月，在乙公司兼职 个月．‎ 【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成绩．‎ 【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)‎ 【例 3】 小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道．‎ 【例 4】 甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中，试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个，而且每个小题的分值都是自然数．结果公布后，已知甲做对了5道解答题，7道选择题，9道填空题，共得52分；乙做对了7道解答题，9道选择题，11道填空题，共得68分．问：解答题、选择题、填空题的每道小题各多少分？‎ 【例 1】 甲乙丙三人参加一个共有个选择题的比赛，计分办法是在分的基础上，每答对一题加分，答错一题扣分，不答既不扣分也不加分．赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少分，但乙丙答对的题数却互不相同．由此可知，甲所得总分最多为 ．‎ 【例 2】 某男孩在年月日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是．”请问：他是在哪一天出生的？‎ 【例 3】 某次演讲比赛，原定一等奖人，二等奖人，现将一等奖中的最后人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了分，得一等奖的学生的平均分提高了分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分．‎ 【例 4】 某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给支，二等奖每人发给支，三等奖每人发给支，后来改为一等奖每人发支，二等奖每人发支，三等奖每人发支．那么获二等奖的有 人．‎