小学数学精讲教案4_5_1 长方体与正方体（一） 学生版 20页

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具 体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积： ； 长方体的体积： ． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为 ，那么： ， ． 板块一 长方体与正方体的表面积 【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？ 【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？ c b a H G FE D C BA 长方体与正方体（一） 例题精讲 2( )S ab bc ca= + +长方体 V abc=长方体 a 26S a=正方体 3V a=正方体 【例 2】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，高为 2 的小长方体，那么新的几何 体的表面积是多少？ 【巩固】在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下 的立体图形的表面积是多少？ 【例 3】 如右图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么 它的表面积减少了多少? 【例 4】 如图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它 的表面积减少了百分之几? 【例 5】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米 的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的 正方体） 【例 6】 如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小 立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 【例 7】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体 小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法 和前两个相同为 厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【例 8】 从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下 部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 1 2 1 4 【例 9】 一个正方体木块，棱长是 15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 的小 正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？ 【例 10】 从一个长 8 厘米、宽 7 厘米、高 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的 表面积之和是 平方厘米． 【巩固】一个长、宽、高分别为 厘米、 厘米、 厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正 方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切 下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？ 【例 11】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小 块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？ 6 8 7 6 6 21 15 12 【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条 又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块．那么，这 60 块长方体表面积的和是多少平方米? 【 巩 固 】 一 个 表 面 积 为 的 长 方 体 如 图 切 成 27 个 小 长 方 体 ， 这 27 个 小 长 方 体 表 面 积 的 和 是 ． 【例 12】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成 8 个正方体，这 些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？ 【例 13】 有 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果 这个长方体的表面积是 3096 平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的 表面积比原长方体的表面积减少 144 平方厘米，那么 为多少？ 【例 14】 边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？ 【例 15】 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 256cm 2cm n n 【例 16】 由六个棱长为 1 的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ． 【例 17】 将 个棱长为 的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是（ ） 平方厘米 【例 18】 用 6 块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的 是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？ 【巩固】用 10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是 多少? 1 2 3 15 1 【例 19】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该 如何打包？ ⑴当 b 2h 时，如何打包？ ⑵当 b 2h 时，如何打包？ ⑶当 b 2h 时，如何打包？ 【巩固】要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【例 20】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比 是 3：4：5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 。 【例 21】 如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面 积． 【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米，要在表面涂 刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ = < > 【例 22】 如图，棱长分别为 厘米、 厘米、 厘米、 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体 的表面积是_______平方厘米． 【例 23】 如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个 顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并 保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的 93.75%， 那么一共用了多少个黑色的小正方体？ 【例 24】 边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第 5 层时，这个立体图形的表面 积是多少平方厘米？ 【巩固】按照上题的堆法一直堆到 层( )，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则 的最小值是 多少？ 1 2 3 5 N 3N > N 【例 25】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形 的表面积． 【巩固】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【例 26】 现有一个棱长为 1 厘米的正方体，一个长宽为 1 厘米高为 2 厘米的长方体，三个长宽为 1 厘米高为 3 厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的 图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积． 例： 【例 27】 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为 1 厘米的小正方体，其中一面都没有红色的 小正方形只有 3 个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 侧面所看 到的图形 前面所看 到的图形 上面所看 到的图形 【例 28】 有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂 成红色的表面积． 【例 29】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下 层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积(含最底层正方体 的底面面积)超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是________． 【例 30】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成 红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多 ______ 块． 【例 31】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 1 所示，从上面 看如图 2，那么这个几何体至少用了　　　　块木块．  【例 32】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 2 所示，从上面 看如图 3 所示，那么这个几何体至少用了 块木块． 图1 图2 【例 33】 右图是 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方 体各有多少块？ 【例 34】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 4 刀，沿着高边等 距离切 次后，要使各面上均没有红色的小方块为 24 块，则 的取值是________． 【例 35】 棱长是 厘米（ 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方 体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为 ，此时 的最小 值是多少? 【例 36】 有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼 成一个 的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？ 【例 37】一个长方体的长是 12 厘米，宽 10 厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是 1 厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有 448 个．求原来长方体的体积与表面积． 图2 图3 4 5 6× × n n m m 13:12 m 4 4 4× × 【例 38】将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1 分米的小正方 体．在这些小正方体中，6 个面都没有涂红色的有 12 块，仅有两个面涂红色的有 28 块，仅有一个 面涂红色的有 块，原来长方体的体积是 立方分米． 【例 39】右图是由 27 块小正方体构成的3 3 3 的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的 8 个小正方 体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余 18 块小方块中，有 12 个两面是红 的，6 个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色 的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面 涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一 点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？ 【例 40】有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的 长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是红色的，有的长方体恰有 3 个面是红色的， 有的长方体恰有 4 个面是红色的，有的长方体恰有 5 个面是红色的，还有一个长方体 6 个面都是 红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为 1 厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的 小正方体最多有多少个？ 【例 41】三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连 续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方 体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？ × × 【例 42】 有 l25 个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为 1 平方厘米，其中 63 个表面涂上白色， 还有 62 个表面涂上蓝色。将这 l25 个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为 5 厘米大正方体木块。 这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是 平方厘米。 【例 43】 有 l00 个棱长为 l 厘米的正方体木块，表面均为白色，还有 25 个棱长为 l 厘米的正方体木块，表面 均为蓝色。将这 125 个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体。大正方体的表面为白色的面积 至少是 平方厘米。 【例 44】64 个同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的。现将它们拼成一个 4×4×4 的大正 方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为 。 【例 45】将 16 个相同的小正方形拼成一个体积为 16 平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其 中 2 面涂漆的小正方体有 8 个，那么 3 面涂漆的小正方体有__________个，4 面涂漆的小正方体有 __________个。 【例 46】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂 上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 【例 47】把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求 有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？ 【巩固】把正方体的六个表面都划分成 4 个相等的正方形．用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方 形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？ 　　　　 【例 48】一个正方体的棱长为 3 厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为 1 厘米的 正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积. 【例 49】如右图，一个边长为 3a 厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截 口是边长为 a 厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为 2592 平 方厘米，试求正方形截口 a 的边长． 【例 50】有一个棱长为 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个 立体图形的内、外表面的总面积． 5cm 【例 51】左下图是一个正方体，四边形 表示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四边 形 的四条边． 【例 52】如图，用 455 个棱长为 1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下 371 个 小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是 多少？ 【例 53】大正方体的棱长是小正方体棱长的 4 倍，那么它的表面积是小正方体表面积的______倍． 【例 54】一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的 棱长分别为 5 厘米、2 厘米、1 厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米． H P F Q G B CD E A F E HGD C BA APQC APQC 【例 55】如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的 6 倍．将大正方体的 6 个 面都染上红色，将小正方体的 6 个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图 形表面上红色面积是黄色面积的 倍． 【例 56】两个棱长分别为 1cm 和 3cm 的立方体如图放置，如果在这个立体图形上切一刀，要求切面与已有 立方体的表面平行，那么得到的两个立体图形的表面积之和最大是_____cm3. 【例 57】如图，棱长分别为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面 积是 平方厘米。 【例 58】如图，有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为 4 厘米的正方 形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长,宽,高分别为 15 厘 米,12 厘米,9 厘米，内部有水，水深 3 厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器，铁块在水下部 分的体积为　　 　　立方厘米． 【例 59】将一个立体纸盒沿着棱切开，使它展开成下图所示的图形，一共要剪开 条棱。 【例 60】右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为 18 厘米的正方形，②③④⑤是同样大 的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是＿＿＿毫升． 【例 61】右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的 2 倍，⑺⑻⑼⑽是同 样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是 以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍． ⑨ ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ ④ ③② ① 【例 62】一个表面积为 56 cm2 的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是______cm2． 【例 63】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为 1 的小正方体，其中恰有两个面涂上 红色的小正方体恰好是 2005 块。大长方体体积的最小值是 。 【例 64】用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图 a，从正面看这个立体， 如下图 b，则这个立体的表面积最多是________. 【例 65】图是一个正方体木块。M 是 AB 的中点，N 是 AD 的中点。用一把锋利的锯，过 M、N、G 三个点 将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是______ 边形。 ⑷ ⑶⑵ ⑴ ⑾ ⑽⑼ ⑻⑺ ⑹⑸ 图a（从上向下看） 图b（从正面看） 【例 66】用九个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是 750 立方厘 米，则大长方体的表面积是 平方厘米。 【例 67】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图 2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图 ①～③中的 。（填序号） 【例 68】由 27 个棱长为 1 的小正方体组成一个棱长为 3 的大正方体，若自上而下去掉中间的 3 个小正方体， 如图所示，则剩下的几何体的表面积是 。 【例 69】一个长方体，如果长减少 2 厘米，宽和高不变，则体积减小 48 平方厘米；如果宽增加 3 厘米，长 和高不变，则体积增加 99 平方厘米；如果高增加 4 厘米，长和宽不变，则体积增加 352 平方厘米， 那么，原长方体的表面积是（　　）平方厘米。 N M H GF E D CB A 甲 乙 ① ② ③ 【例 70】将 16 个相同的小正方体拼成一个体积为 16 立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则 3 个面 涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。 【例 71】数一数下图中有多少个正方体木块？ 【例 72】有一个 3×4×5 的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成 60 个 1×1×1 的小正方体， 请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？