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- 2021-05-10 发布
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关节六
统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”
一、以“三项注意”指导统计问题的解决
从统计类中考试题(特别是解答类的题)来看,其考查目标主要集中在如下的方面:
方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用;
方面二、数据的代表值(众数、中位数、平均数),和离散程度(极差、方差等)的确定;
方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。
要解决好以上三个方面的问题,就应当落实好如下的“三项注意”;
Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性;
Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性;
Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。
1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用
不论统计图还是统计表,都是对全体数据的一种分类表示,因此,各类之间和应等于全体,且各类之间互不交融—这就是它的完备性;而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式,二者必是一致的,许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。
例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查,她根据采集到的数据,绘制了下面的图(1)和图(2)
兴趣爱好内容
人数
2
6
8
4
10
球类
书画
音乐
其它
12
14
书画
球类35%
其它
音乐
(1)
(2)
请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)在图(1)中,将“书画”部分的图形补充完整;
(2)在图(2)中,求出“球类”部分所对应的圆心角的度数,并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数;
(3)观察图(1)和图(2),你能得出哪些结论,(只要写一条结论)
【观察与思考】根据“完备性”,应先求得“全体”,而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的
“一致性”之中,而得到“全体”之后,本题的几个问题即可迎刃而解。
兴趣爱好内容
人数
2
6
8
4
10
球类
书画
音乐
其它
12
14
解:(1)(人)
本班同学共40人。
爱好书画的同学为
(人)
将图(1)补充完整后如图(1`)。
(2)图(2)中,“球类”部分所对的圆心角为
;
爱好“书画”的同学占,爱好“音乐”的同学占;
爱好“其它”的同学占。
(3)可有结论(一条即可);
“爱好球类运动的同学比爱好音乐的同学多2人”;
“爱好球类、书画、音乐的同学,合起来占全班人数的90%。
例2 某市第15中学的九年级学生在社会实践中,调查了500位市民某天早上出行上班所用的交通工具,结果用图的扇形统计图表示。
(1)请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式;
(2)请你根据此项调查,对城市交通给政府提出一条建议。
公交车56%
自行车20%
电动车12%
步行6%
私家车6%
步行
电动车
自行车
公交车
私家车
500位市民出行基本交通工具
【观察与思考】根据扇形统计图的完备性和它与折线统计图的一致性可知;
0
50
100
150
200
250
300
人数
交通工具
步行
自行车
电动车
公交车
私家车
步行人数:(人);
骑自行车人数:(人);
骑电动车人数(人)
坐公交车人数(人);
乘私家车人数(人)
解:(1)如图(1)
(2)应使公交车更方便,更快捷(答案不唯一)
【说明】由以上两例可以看出,恰当而灵活地运用“完备性”和“一致性”,可以使统计图、表的许多问题的解答更为规范,更为快捷。
2、注意数据的代表值和离散程度的准确求出和运用
平均数、中位数、众数、方差、极差、标准差的确定和计算并不困难,关键是确切的理解和准确的运用。
丙:35%
甲:25%
乙:40%
例3 某单位欲从内部选拔管理人员一名,对甲,乙,丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
(1)
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图(1)所示,每得一票记作一分。
(1)请你算出三人民主评议得分;
(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁被录用(精确到)?
(3)根据实际需要,单位将笔试,面试,民主评议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?
【观察与思考】对于(1),根据投票总分和扇形统计图的意义可得每人的实得分:对于(2)即是计算每人三项测试的“平均数”;对于 (3),是计算每人三项测试的“加权”平均数。
解:(1)甲,乙,丙的民主评议得分分别为:(分),(人),(人)
(2)甲的平均成绩为:(分)
乙的平均成绩为:(分)
丙的平均成绩为:(分)
候选人乙将被录用。
(3)若将笔试,面试,民主评议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么
甲的个人成绩为:(分)
乙的个人成绩为:(分)
丙的个人成绩为:(分)
由于丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被录用。
【说明】由本题可明确地看出,统计问题中,“计算”占在重要的地位,而计算的落实必须依赖对相关概念意义的正确把握和运用。
3、注意把准取向,以合理地做出决策和推断
统计的最终目的还是为了作出决策和推断,决策和推断的依据首先是各相关的统计量,再则是决策所围绕的取向,把握好这两点,决策和推断才能做得更好。
例4 某中学举行演讲比赛,根据初赛成绩在七,八年级分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示:0
75
80
85
90
95
100
选手编号
1
2
3
43
53
63
73
83
93
10
团体成绩
众数
平均数
方差
七年级
85.7
39.6
八年级
85.7
27.81
七年级
八年级
根据折线图和右图提供的的信息,解答下列问题:
(1)请你把右边的表格填写完整;
(2)考虑平均数与方差,你认为 年级的团体成绩更好些;
(3)假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛,你认为哪个年级的实力更强一些,请说明理由
【观察与思考】对于(1),可由折线图直接确定出两个年级的众数;对于 (2)平均数相等时,方差小者反映”集中度好”,成绩相对更好些;对于(3),只需考察前三名,可从前三名的平均分(也可用它们的总分)来看.
解:(1)七年级众数是80,八年级众数是85;
(2)填 八 ;
(3)解法一:七年级前三名总分:分;八年级前三名总分:分。
七年级实力更强些。
解法二:由图可以看出七年级的第一、第二、第三名的分数分别比八年级的一、二、三名分数高,所以七年级更强些。
【说明】判断与决策必须依据主题(即“取向”,如本题(2),主题是“哪个年级的团体成绩更好些”,而(3)则是“哪个年级的前三名实力更强些”。紧紧抓住最能体现相应主题的统计量,就能得到最恰当的判断与决策。
4、以“三项注意”解决更多形式的统计问题
例5 甲,乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛,将比赛成绩进行统计后,绘制成如图(1)和图(2)的统计图。
(1)在图(2)中,画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况;
(2)已知甲队五场比赛成绩的平均分分,请你计算乙队五场比赛成绩的平均分;
(3)就这五场比赛,分别计算两队成绩的极差;
(4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,根据上述统计情况,试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析,你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩?
【观察与思考】(1)是“一致性”要求;(2)、(3)是准确性的要求;(4)是体现“取向”
甲、乙两球队比赛成绩条形统计图 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图
一
二
三二
五二
四二
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
场次/场
得分/分
甲
场次/场
得分/分
一
二
三
四
五
80
110
86
90
95
83
91
87
98
80
甲队
乙队
一
二
三二
五二
四二
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
场次/场
得分/分
甲
乙
解:(1)如图(2`);
(2)(分);
(3)甲队成绩极差是18分,乙队成绩的极差是30分;
(4)从平均分看,两队的平均分相同,实力大体相当;
从折线走势看,甲队比赛成绩呈上升趋势,而乙队比赛成绩呈下降趋势;
甲队胜三场,乙队胜两场,甲队成绩较好;从极差看,
甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小,甲队较稳定。
综上,选派甲队参赛更能取得好成绩。
(2`)
例6 某科技产品开发公司现有员工50名,所有员工的月工资情况如下表:
员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数/名
1
3
2
3
24
1
每人月工资/元
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
请你根据上述内容,解答下列问题:
(1)该公司“高级技工”有 名;
(2)所有员工月工资的平均数为2500元,中位数为 元,众数为 。
(3)小张到这家公司应聘普通工作人员,请你回答右图中小张的问题,并指出用(2)中的那个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些?
(4)去掉四个管理人员的工资后,请你计算出其他员工的月平均工资(结果保留整数),并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平?
【观察与思考】对于(1),由“完备性”可得;(2)极容易求得;
(3)是数据代表值的准确性另一种表达式;(4)是数据代表值的准确
欢迎你来我公司应聘!我公司员工的月工资为2500元,薪水是较高的。
部分经理说:
小张:
这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗?
和判断取向结合的应用。(3)和(4)都是体现“取向性”的。
解:(1)16;
(2)1700;1600;
(3)这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资
实际水平,用1700元和1600元来介绍更合理些。
(4)(元)
能反映该公司员工月工资实际水平。
可以看出,“三项注意”的深入把握及灵活运用,是解决好众多统计问题的保证。
二、概率求法的“一个核心”
中考试卷中求概率的题目,绝大部分都归于用公式是所有可能出现的结果数,是随机事件A可能出现的结果数)来求得概率。因而,如何准确地得到和便成为求出概率的关键,其中以求得更为重要。
用准、用活列举法,是正确求得“所有可能出现的结果数”的根本保证,也是准而快地求出概率的保证。
熟练地掌握和运用好列举法的几种基本模型,恰恰又是用准、用活列举法的保证。
因此,掌握好以下模型便成为概率求法的重心。
1、模型Ⅰ:事件所有的等可能都由一个集合的元素构成,而事件A的每种可能恰是该集合的一个元素——可称为“单集单取型”。
黄
黄
红
绿
绿
绿
绿
例1 在一次促销活动中,某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如图,转盘被平均分成 16份),并规定:顾客每购买100元的商品,就能取得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准红色,黄色,绿色区域,那么顾客就可以分别获得50元,30元,20元的购物券,凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘,那么可以直接获得购物券10元。
(1)求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数;
(2)如果你在该商场消费125元,你会选择转转盘
还是直接获得购物券?(说明理由)
2
5
8
3
9
6
4
1
7
例2 在“妙手推推推”游戏中,主持人出示了一个9位数 ,让参与者猜商品价格,被猜的价格是一个4位数,也就是这个9位数中从
左到右连在一起的某4个数字。如果参与者不知道商品的价格,从这些连在一起的所有4位数中,任意猜一个,求他猜中该商品价格的概率。
【观察与思考】例1中的转盘的16等份,就是所有可能的集合;例2中的所有可能的“4位数”集合共有6个元素(以从左至右的前六个数的每一个为千位,可构成要求的4位数)。把这一核心搞清楚了,解法就容易得到了。
解:例1(1)(元)
(2)元>10元,选择转转盘。
例2 。
2、模型Ⅱ:事件所的等可能都由集合A,B中各取一个元素而合成,而A中元素有个,B中元素有个,则原事件的可能共有个——可称为“乘积型”。
例3
有两个信封,每个信封内各装有四张卡片,其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数,另一个信封内的四张卡片分别写有5,6,7,8四个数,甲,乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,然后把卡片上的两个数相乘,如果得到的积大于20,则甲获胜,否则乙获胜。
(1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率。
(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?
例4 某校有A,B两个餐厅,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。
(1)求甲,乙,丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率;
(2)求甲,乙,丙三名学生中至少一人在B餐厅用餐的概率。
【观察与思考】 例3中两个信封相当于集合A,B,分别有元素4个,4个。因此作成乘积共有种可能;例4中,甲,乙,丙每人都可去A餐厅或B餐厅,相当于3个集合,每个集合有2个元素,因此,三人用餐情况的可能应有种,先搞清如上情况,就抓住了问题的核心,相应的解法就容易得到了。
解:例3利用列表法得出所有可能的结果,如下表:
1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
或树状图:
积大于20的有5种:21,24,24,28,32。
(2),游戏对双方不公平。
例4 所有可能出现的结果如下:
甲
乙
丙
结果
A
A
A
(A,A,A)
A
A
B
(A,A,B)
A
B
A
(A,B,A)
A
B
B
(A,B,B)
B
A
A
(B,A,A)
B
A
B
(B,A,B)
B
B
A
(B,B,A)
B
B
B
(B,B,B)
用树状图:
A
A
A
B
B
A
B
甲 乙 丙
B
A
A
B
B
A
B
(1)甲,乙,丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率是。
(2)甲,乙,丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是。
3、模型Ⅲ、事件所有的等可能由同一个集合的两个元素构成——可称为“单集双取型”
例5 从一个装有2个红球,2个白球的盒子里(红球,白球除颜色不同之外,其他均相同),现摸出一个球再放回盒子里,再摸出一个球,求两次都是摸到白球的概率。
例6 甲,乙两超市同时开业,为了吸引顾客,都举行有奖酬宾活动:凡购物满100元,均可得到一次摸奖的机会,在一个纸盒里装有2个红球和2个白球,除颜色之外,其它全部相同,摸奖者一次从中摸出两个球,根据球的颜色决定送礼金券的多少(如下表)。
甲超市:
球
两红
一红一白
两白
礼金券(元)
5
10
5
乙超市:
球
两红
一红一白
两白
礼金券(元)
10
5
10
如果只考虑中奖因素,你将会选择去哪个超市购物?请说明理由。
【观察与思考】 例5中,在第一次取球后放回去再第二次取球,这就相当于“乘积型”,只不过此时A和B是一个集合,故本题全体可能性为。
在例6中,相当于第一次取完球之后不再放进去,第二次取球的集合中就少了一个元素,因此,全体可能性为
抓住了这个核心及特征,解法易得。
解;例5 方法一,用列表法(用表示两个红球,用表示两个白球)。
(
共有16种可能,其中再次摸到的都是白球,共有4种可能(如图中方框)
。
当然也就有:。
方法二,画树状图:
第一次
第二次
结果
可知有。
例6 借助列表法:
;。
也可以用树状图:
仍有,。
;。
因此,购物去甲市场,因其得10元奖金的概率大。
当然,本题也可以直接考虑从4个球中每次取2个的所有可能为:
( ), ( ),( ),( ),( ),( )
每一对中不分次序,结果和上边的答案是一样的,但用解中的列表或树状图,更能清楚地说明问题,且不易出错。
4、善于将“变形”归入到基本模型
例7 张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券,各自设计了一种方案:
张彬:如图,设计了一个可以自由转动的转盘,随意转动转盘,当指针指向阴影区域时,张彬得到入场券;否则,王华得到入场券;
王华:将三个完全相同的小球分别标上数字1,2,3后,放入一个不透明的袋子中,
从中随机取出一个小球,然后放回袋子,混合均匀后,再随机取出一个小球,若两
次取出的小球上的数字之和为偶数,王华得到入场券;否则,张彬得到入场券。
请你运用所学的概率知识,分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平。
【观察与思考】张彬设计的方案中,可把转盘的每1°对应的扇形当作 一个元素,王华设计的方案就是“单集有放回的双取”,即同一个集合的自身乘积型。
解:张彬的设计方案:
因为,
,因为,
所以,张彬设计的方案不公平。
王华设计的方案:可能出现的所有结果列表如下:
第
一
次
第
一
次
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
,
,
因为,所以,王华的设计也不公平。
例8 有6张完全相同的游戏牌,分别写着这6个数,将它们任意放在桌面上(有数字的一面向下),从中任意翻两张牌,翻得数分别记做,若把分别作为A点的横坐标,纵坐标,求点A()双曲线上的概率。
【观察与思考】属于单集无放回的双取,共有(个)可能。
解:
1
-2
3
4
5
-6
1
-2
3
4
5
-6
-2
-2
-6
-8
-10
12
3
3
-6
12
15
-18
4
4
-8
12
20
-24
5
5
-10
15
20
-30
-6
-6
12
-18
-24
-30
共有乘积30个,其中积等于-6就情况就有4个。
在双曲线上的概率为。
【说明】绝大多数中考试卷中的概率计算题目,都可以借助我们总结的三个“模型”来求解。
练习题
1、某学校为了解该校七年级学生的身高情况,抽样调查了部分同学,将所得数据处理后,制成扇形统计图和频数分布直方图(部分)如下:
(每组只含最低值不含最高值,身高单位:,测量时精确到1)
0
10
20
30
40
140
145
150
155
160
6
12
18
32
165
170
175
10
4
(1)请根据所提供的信息补全频数分布直方图;
(2)样本的中位数在统计图的哪个范围内?
(3)如果上述样本的平均数为157,方差为;该校八年级学生身高的平均数为159,方差为,
那么 (填“3七年级”或“八年级”)学生的身高比较整齐。
2、水稻种植是某地的传统农业,为了比较甲,乙两种水稻的长势,农技人员从两块试验田中,分别随机抽取5棵植株,将测得的苗高数据绘制成下图:
植株
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
甲
乙
请你根据统计图提供的数据,计算平均数和方差,并比较两种水稻的长势。
3、某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡,每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率(孵化率=
)分别如图(1),图(2)所示。
孵化率统计图
孵化所用的鸡蛋数统计图
0
10
20
30
40
50
60
70
批次
鸡蛋数/个
第一次
第二次
第三次
40
50
60
40%
50%0
60%
70%
80%
90%
批次
鸡蛋数/个
第一次
第二次
第三次
80%
78%
82.5%%
(1) (2)
(1)求该养鸡场这3次孵化出的小鸡总数和平均孵化率;
(2)如果要孵化出2000只小鸡,根据上面的计算结果,估计该养鸡场要用多少个鸡蛋?
4、如图甲,乙两人在一起射击比赛中击中靶的情况(击中靶中心圆面为10环,靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数),每人射击了6次。
(1)请用列表法将他俩的射击成绩统计出来;
(2)请你用学过的统计知识,对他俩的这次射击情况进行比较。
6
8
7
9
6
8
7
9
甲射击的靶 乙射击的靶
5、把一副普通扑克牌中的4张:黑桃2,红心3,梅花4,黑桃5,洗均后正面朝下放在桌面上。
(1)从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少?
(2)从中随机抽取一张,再从剩下的牌中随机抽取另一张。请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果。并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率。
6、在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1,2,3,4的红色卡片和三张分别写有数字1,2,3的蓝色卡片,卡片除颜色和数字外完全相同。
(1)从中任意抽取一张卡片,求该卡片上写有数字1的概率。
(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒 子内,然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片,以红色卡片上的数字作为十位数,蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数,求这个两位数大于22的概率。
7、如图,有两个可以自由转动的均匀转盘,转盘A被分成面积相等的三个扇形,转盘B被分成面积相等的四个扇形,每个扇形内都涂有颜色。同时转动两个转盘,停止转动后,若一个转盘的指针指向红色,另一个转盘的指针指向蓝色,则配成紫色;若其中一个指针指向分界线时,需要重新转动两个转盘。
红
黄
绿
红
蓝
红
蓝
转盘A 转盘B
(1)用列表或画树状图的方法,求同时转动一次转盘A,B配成紫色的概率。
(2)小强和小丽要用这两个转盘做游戏,他们想出如下两种游戏规则:
①转动两个转盘,停止后配成紫色,小强获胜;否则小丽获胜。
②转动两个转盘,停止后指针都指向红色,小强获胜;指针都指向蓝色,小丽获胜。
判断以上两种规则的公平性,并说明理由。
电脑单位
(单位:元)
A型:6000
B型:4000
C型:2500
D型:5000
E型:2000
8、某电脑公司现有A,B,C三种型号的甲品牌电脑和D,E两种型号的乙品牌电脑。希望中学要从甲,乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑。
(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示)。
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么A型号
电脑被选中的概率是多少?
(3)现知希望中学购买甲,乙两种品牌电脑共36台(价格如表所示),
恰好用了10万元人民币,其中甲品牌电脑为A型号电脑,求购买的A
型号电脑有几台。