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- 2021-05-10 发布
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2019年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题(本题共10小題,每小題3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.(3分)﹣2的绝对值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
2.(3分)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.(3分)2019年6月5日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验,该火箭重58000kg,将数58000用科学记数法表示为( )
A.58×103 B.5.8×103 C.0.58×105 D.5.8x104
4.(3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,1)向下平移2个单位长度,得到的点P′的坐标为( )
A.(3,﹣1) B.(3,3) C.(1,1) D.(5,1)
5.(3分)不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.(3分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形
7.(3分)计算(﹣2a)3的结果是( )
A.﹣8a3 B.﹣6a3 C.6a3 D.8a3
第28页(共28页)
8.(3分)不透明袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
9.(3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,若AB=4,BC=8.则D′F的长为( )
A.2 B.4 C.3 D.2
10.(3分)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与拋物线相交于P,Q两点,则线段PQ的长为 .
二、填空题(本题共6小题,每小題分,共18分)
11.(3分)如图AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= °.
12.(3分)某男子足球队队员的年龄分布如图所示,这些队员年齡的众数是 .
第28页(共28页)
13.(3分)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.若AB=2,则AD的长为 .
14.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛.问大小器各容几何.”其大意为:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,音hu,是古代的一种容量单位).1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛?若设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,根据题意,可列方程组为 .
15.(3分)如图,建筑物C上有一杆AB.从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度约为 m(结果取整数,参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33).
第28页(共28页)
16.(3分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条多路上的A,B两处同时出发,都以不变的速度相向而行,图1是甲离开A处后行走的路程y(单位:m)与行走时x(单位:min)的函数图象,图2是甲、乙两人之间的距离(单位:m)与甲行走时间x(单位;min)的函数图象,则a﹣b= .
三、解答题(本题共4小题,17、18、19题各9分,20题12分,共39分)
17.(9分)计算:(﹣2)2++6
18.(9分)计算:÷+
19.(9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:AF=DE.
20.(12分)某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级
频数(人)
频率
优秀
15
0.3
良好
及格
不及格
5
根据以上信息,解答下列问题
第28页(共28页)
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 人,成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(2)被测试男生的总人数为 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(3)若该校八年级共有180名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数.
四、解答题(本共3小,其中21、22题各分,23题10分,共28分)
21.(9分)某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元
(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年村该村的人均收入是多少元?
22.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在OA的廷长线上,BC⊥x轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若S△ACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长.
第28页(共28页)
23.(10分)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.
五、解答题(本题共3小题,其中24题11分,25、26題各12分,共35分)
24.(11分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于点A,B,点C在射线BO上,点D在射线BA上,且BD=OC,以CO,CD为邻边作▱COED.设点C的坐标为(0,m),▱COED在x轴下方部分的面积为S.求:
(1)线段AB的长;
(2)S关于m的函数解析式,并直接写出自变量m的取值范围.
25.(12分)阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,△ABC中,∠BAC=90°,点D、E在BC上,AD=AB,AB=kBD(其中<k<1)∠ABC=∠ACB+∠BAE,∠EAC的平分线与BC相交于点F,BG⊥AF,垂足为G,探究线段BG与AC
第28页(共28页)
的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BAE与∠DAC相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段BG与AC的数量关系.”
……
老师:“保留原题条件,延长图1中的BG,与AC相交于点H(如图2),可以求出的值.”
(1)求证:∠BAE=∠DAC;
(2)探究线段BG与AC的数量关系(用含k的代数式表示),并证明;
(3)直接写出的值(用含k的代数式表示).
26.(12分)把函数C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).
(1)填空:t的值为 (用含m的代数式表示)
(2)若a=﹣1,当≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;
(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
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2019年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10小題,每小題3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.(3分)﹣2的绝对值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
【解答】解:﹣2的绝对值是2.
故选:A.
2.(3分)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:左视图有3列,每列小正方形数目分别为2,1,1.
故选:B.
3.(3分)2019年6月5日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验,该火箭重58000kg,将数58000用科学记数法表示为( )
A.58×103 B.5.8×103 C.0.58×105 D.5.8x104
【解答】解:将数58000用科学记数法表示为5.8×104.
故选:D.
4.(3分)在平面直角坐标系中,将点P(3,1)向下平移2个单位长度,得到的点P′的坐标为( )
A.(3,﹣1) B.(3,3) C.(1,1) D.(5,1)
【解答】解:将点P(3,1)向下平移2个单位长度,得到的点P′的坐标为(3,1﹣2),即(3,﹣1),
第28页(共28页)
故选:A.
5.(3分)不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:5x+1≥3x﹣1,
移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1,
合并同类项得2x≥﹣2,
系数化为1得,x≥﹣1,
在数轴上表示为:
故选:B.
6.(3分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形
【解答】解:A、等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;
D、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
7.(3分)计算(﹣2a)3的结果是( )
A.﹣8a3 B.﹣6a3 C.6a3 D.8a3
【解答】解:(﹣2a)3=﹣8a3;
故选:A.
8.(3分)不透明袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:两次摸球的所有的可能性树状图如下:
第28页(共28页)
∴P两次都是红球=.
故选:D.
9.(3分)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,若AB=4,BC=8.则D′F的长为( )
A.2 B.4 C.3 D.2
【解答】解:连接AC交EF于点O,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠D=90°,
AC===4,
∵折叠矩形使C与A重合时,EF⊥AC,AO=CO=AC=2,
∴∠AOF=∠D=90°,∠OAF=∠DAC,
∴则Rt△FOA∽Rt△ADC,
∴=,即:=,
解得:AF=5,
∴D′F=DF=AD﹣AF=8﹣5=3,
故选:C.
第28页(共28页)
10.(3分)如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与拋物线相交于P,Q两点,则线段PQ的长为 2 .
【解答】解:当y=0时,﹣x2+x+2=0,
解得:x1=﹣2,x2=4,
∴点A的坐标为(﹣2,0);
当x=0时,y=﹣x2+x+2=2,
∴点C的坐标为(0,2);
当y=2时,﹣x2+x+2=2,
解得:x1=0,x2=2,
∴点D的坐标为(2,2).
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(﹣2,0),D(2,2)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴直线AD的解析式为y=x+1.
第28页(共28页)
当x=0时,y=x+1=1,
∴点E的坐标为(0,1).
当y=1时,﹣x2+x+2=1,
解得:x1=1﹣,x2=1+,
∴点P的坐标为(1﹣,1),点Q的坐标为(1+,1),
∴PQ=1+﹣(1﹣)=2.
故答案为:2.
二、填空题(本题共6小题,每小題分,共18分)
11.(3分)如图AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= 130 °.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C=50°,
∵BC∥DE,
∴∠C+∠D=180°,
∴∠D=180°﹣50°=130°,
故答案为:130.
12.(3分)某男子足球队队员的年龄分布如图所示,这些队员年齡的众数是 25 .
第28页(共28页)
【解答】解:观察条形统计图知:为25岁的最多,有8人,
故众数为25岁,
故答案为:25.
13.(3分)如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.若AB=2,则AD的长为 2 .
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°,
∵CD=AC,
∴∠CAD=∠D,
∵∠ACB=∠CAD+∠D=60°,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠BAD=90°,
∴AD===2.
故答案为2.
14.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛.问大小器各容几何.”其大意为:有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,音hu
第28页(共28页)
,是古代的一种容量单位).1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛,问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛?若设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,根据题意,可列方程组为 .
【解答】解:设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,
根据题意得:,
故答案为.
15.(3分)如图,建筑物C上有一杆AB.从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度约为 3 m(结果取整数,参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33).
【解答】解:在Rt△BCD中,tan∠BDC=,
则BC=CD•tan∠BDC=10,
在Rt△ACD中,tan∠ADC=,
则AC=CD•tan∠ADC≈10×1.33=13.3,
∴AB=AC﹣BC=3.3≈3(m),
故答案为:3.
16.(3分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条多路上的A,B两处同时出发,都以不变的速度相向而行,图1是甲离开A处后行走的路程y(单位:m)与行走时x(单位:min)的函数图象,图2是甲、乙两人之间的距离(单位:m)与甲行走时间x(单位;min)的函数图象,则a﹣b= .
第28页(共28页)
【解答】解:从图1,可见甲的速度为=60,
从图2可以看出,当x=时,二人相遇,即:(60+V已)×=120,解得:已的速度V已=80,
∵已的速度快,从图2看出已用了b分钟走完全程,甲用了a分钟走完全程,
a﹣b==,
故答案为.
三、解答题(本题共4小题,17、18、19题各9分,20题12分,共39分)
17.(9分)计算:(﹣2)2++6
【解答】解:原式=3+4﹣4+2+6×
=3+4﹣4+2+2
=7.
18.(9分)计算:÷+
【解答】解:原式=×﹣
=﹣
=.
19.(9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:AF=DE.
第28页(共28页)
【解答】证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,
,
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴AF=DE.
20.(12分)某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级
频数(人)
频率
优秀
15
0.3
良好
及格
不及格
5
根据以上信息,解答下列问题
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人,成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 90 %;
(2)被测试男生的总人数为 50 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 10 %;
(3)若该校八年级共有180名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数.
第28页(共28页)
【解答】解:(1)由统计图表可知,成绩等级为“优秀”的男生人数为15人,
被测试男生总数15÷0.3=50(人),
成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比:,
故答案为15,90;
(2)被测试男生总数15÷0.3=50(人),
成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比:,
故答案为50,10;
(3)由(1)(2)可知,优秀30%,及格20%,不及格10%,则良好40%,
该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数180×40%=72(人)
答:该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数72人.
四、解答题(本共3小,其中21、22题各分,23题10分,共28分)
21.(9分)某村2016年的人均收入为20000元,2018年的人均收入为24200元
(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2019年村该村的人均收入是多少元?
【解答】解:(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x,
根据题意得:20000(1+x)2=24200,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.1(不合题意,舍去).
答:2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
答:预测2019年村该村的人均收入是26620元.
第28页(共28页)
22.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在OA的廷长线上,BC⊥x轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若S△ACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长.
【解答】解:(1)∵点A(3,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=3×2=6,
∴反比例函数y=;
答:反比例函数的关系式为:y=;
(2)过点A作AE⊥OC,垂足为E,连接AC,
设直线OA的关系式为y=kx,将A(3,2)代入得,k=,
∴直线OA的关系式为y=x,
∵点C(a,0),把x=a代入y=x,得:y=a,把x=a代入y=,得:y=,
∴B(a,),即BC═a,
D(a,),即CD=
∵S△ACD=,
∴CD•EC=,即,解得:a=6,
第28页(共28页)
∴BD=BC﹣CD==3;
答:线段BD的长为3.
23.(10分)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2),当BC=6,AE=2时,求⊙O的半径.
【解答】(1)证明:作DF⊥BC于F,连接DB,
∵AP是⊙O的切线,
∴∠PAC=90°,即∠P+∠ACP=90°,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,即∠PCA+∠DAC=90°,
∴∠P=∠DAC=∠DBC,
∵∠APC=∠BCP,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC,
第28页(共28页)
∵DF⊥BC,
∴DF是BC的垂直平分线,
∴DF经过点O,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠BDC=2∠ODC,
∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD;
(2)解:∵DF经过点O,DF⊥BC,
∴FC=BC=3,
在△DEC和△CFD中,
,
∴△DEC≌△CFD(AAS)
∴DE=FC=3,
∵∠ADC=90°,DE⊥AC,
∴DE2=AE•EC,
则EC==,
∴AC=2+=,
∴⊙O的半径为.
第28页(共28页)
五、解答题(本题共3小题,其中24题11分,25、26題各12分,共35分)
24.(11分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别相交于点A,B,点C在射线BO上,点D在射线BA上,且BD=OC,以CO,CD为邻边作▱COED.设点C的坐标为(0,m),▱COED在x轴下方部分的面积为S.求:
(1)线段AB的长;
(2)S关于m的函数解析式,并直接写出自变量m的取值范围.
【解答】解:(1)当x=0时,y=3,
当y=0时,x=4,
∴直线y=﹣x+3与x轴点交A(4,0),与y轴交点B(0,3)
∴OA=4,OB=3,
∴AB=,
因此:线段AB的长为5.
(2)当CD∥OA时,如图,
∵BD=OC,OC=m,
第28页(共28页)
∴BD=m,
由△BCD∽△BOA得:
,即:,解得:m=;
①当0<m≤时,如图1所示:DE=m≤,此时点E在△AOB的内部,
S=0 (0<m≤);
②当<m≤3时,如图2所示:过点D作DF⊥OB,垂足为F,
此时在x轴下方的三角形与△CDF全等,
∵△BDF∽△BAO,
∴,
∴DF=,同理:BF=m,
∴CF=2m﹣3,
∴S△CDF==(2m﹣3)×=m2﹣4m,
即:S=m2﹣4m,(<m≤3)
③当m>3时,如图3所示:过点D作DF⊥y轴,DG⊥x轴,垂足为、FG,
同理得:DF=,BF=m,
∴OF=DG=m﹣3,AG=m﹣4,
∴S=S△OGE﹣S△ADG==
∴S=,(m>3)
答:S=
第28页(共28页)
第28页(共28页)
25.(12分)阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,△ABC中,∠BAC=90°,点D、E在BC上,AD=AB,AB=kBD(其中<k<1)∠ABC=∠ACB+∠BAE,∠EAC的平分线与BC相交于点F,BG⊥AF,垂足为G,探究线段BG与AC的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BAE与∠DAC相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段BG与AC的数量关系.”
……
老师:“保留原题条件,延长图1中的BG,与AC相交于点H(如图2),可以求出的值.”
(1)求证:∠BAE=∠DAC;
(2)探究线段BG与AC的数量关系(用含k的代数式表示),并证明;
(3)直接写出的值(用含k的代数式表示).
【解答】证明:(1)∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
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∵∠ADB=∠ACB+∠DAC,∠ABD=∠ABC=∠ACB+∠BAE
∴∠BAE=∠DAC
(2)设∠DAC=α=∠BAE,∠C=β
∴∠ABC=∠ADB=α+β
∵∠ABC+∠C=α+β+β=α+2β=90°,∠BAE+∠EAC=90°=α+∠EAC
∴∠EAC=2β
∵AF平分∠EAC
∴∠FAC=∠EAF=β
∴∠FAC=∠C,∠ABE=∠BAF=α+β
∴AF=FC,AF=BF
∴AF=BC=BF
∵∠ABE=∠BAF,∠BGA=∠BAC=90°
∴△ABG∽△BCA
∴
∵∠ABE=∠BAF,∠ABE=∠AFB
∴△ABF∽△BAD
∴,且AB=kBD,AF=BC=BF
∴k=,即
∴
(3)∵∠ABE=∠BAF,∠BAC=∠AGB=90°
∴∠ABH=∠C,且∠BAC=∠BAC
∴△ABH∽△ACB
∴
∴AB2=AC×AH
设BD=m,AB=km,
∵
∴BC=2k2m
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∴AC==km
∴AB2=AC×AH
(km)2=km×AH
∴AH=
∴HC=AC﹣AH=km﹣=
∴
26.(12分)把函数C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).
(1)填空:t的值为 2m﹣1 (用含m的代数式表示)
(2)若a=﹣1,当≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;
(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
【解答】解:(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
顶点(1,﹣4a)围绕点P(m,0)旋转180°的对称点为(2m﹣1,4a),
C2:y=﹣a(x﹣2m+1)2+4a,函数的对称轴为:x=2m﹣1,
t=2m﹣1,
故答案为:2m﹣1;
(2)a=﹣1时,
C1:y=(x﹣1)2﹣4,
①当t<1时,
x=时,有最小值y2=,
x=t时,有最大值y1=﹣(t﹣1)2+4,
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则y1﹣y2=﹣(t﹣1)2+4﹣=1,无解;
②1≤t时,
x=1时,有最大值y1=4,
x=时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2=≠1(舍去);
③当t时,
x=1时,有最大值y1=4,
x=t时,有最小值y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2=(t﹣1)2=1,
解得:t=0或2(舍去0),
故C2:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x;
(3)m=0,
C2:y=﹣a(x+1)2+4a,
点A、B、D、A′、D′的坐标分别为(1,0)、(﹣3,0)、(0,3a)、(0,1)、(﹣3a,0),
当a>0时,a越大,则OD越大,则点D′越靠左,
当C2过点A′时,y=﹣a(0+1)2+4a=1,解得:a=,
当C2过点D′时,同理可得:a=1,
故:0<a或a≥1;
当a<0时,
当C2过点D′时,﹣3a=1,解得:a=﹣,
故:a≤﹣;
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综上,故:0<a或a≥1或a≤﹣.
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