中考数学压轴题70题精选含答案 127页

‎2012年中考数学压轴题70题精选（含答案）‎ ‎【001】如图，已知抛物线（a≠0）经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结． ‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ x y M C D P Q O A B ‎【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. ‎ ‎(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎ (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?‎ ‎②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?‎ 请直接写出相应的t值。‎ ‎【003】如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【004】一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．‎ ‎（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：‎ ‎①；‎ ‎②．‎ O C F M D E N K y x ‎（第25题图1）‎ O C D K F E N y x M ‎（第25题图2）‎ ‎（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．‎ ‎【005】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），‎ 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎ （1）求直线AC的解析式；‎ ‎ （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ ‎ ‎ ‎【006】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数表达式；‎ ‎（2）经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；‎ ‎（4）当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎（第26题图）‎ ‎【007】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．‎ ‎（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；‎ ‎（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎【008】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．‎ ‎（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．‎ O x y N C D E F B M A ‎【009】如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ ‎【010】如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ y x O A B C ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，‎ 且，求点的坐标．‎ ‎【011】如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式；‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【012】如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；‎ y x B A O D ‎（第26题）‎ ‎（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．‎ ‎【013】如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．‎ ‎（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；‎ ‎（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．‎ ‎①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。‎ ‎【014】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【015】如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；‎ （3） ‎△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。‎ ‎【016】如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．‎ ‎（1）求点的坐标（用表示）；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．‎ ‎【017】阅读材料：‎ ‎ 如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.‎ ‎ 解答下列问题：‎ ‎ 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.‎ ‎(1)求抛物线和直线AB的解析式；‎ ‎(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；‎ 图12-2‎ x C O y A B D ‎1‎ ‎1‎ ‎(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【018】已知二次函数。‎ ‎（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。‎ ‎（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。‎ ‎（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。‎ ‎【019】如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．‎ ‎（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；‎ O x y E P D A B M C ‎（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．‎ ‎①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；‎ ‎②当为等腰三角形时，求的值．‎ ‎【020】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； ‎ ‎(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；‎ ‎(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎（第24题）‎ ‎【021】已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26题图 y x D B C A E E O ‎【022】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B，又有定点P（2，0） .[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；‎ ‎（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；‎ ‎（3）已知经过A，B，P三点 的抛物线，平移后能得到的图像，求点P到直线AB的距离。‎ ‎【023】如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上．‎ ‎　　(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；‎ ‎　　(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．‎ ‎①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；‎ ‎②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎(第24题)‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B C D ‎-4‎ ‎4‎ ‎【024】已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值； （Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．‎ ‎【025】如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。‎ ‎⑴求该抛物线的解析式；‎ ‎⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。‎ ‎⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。‎ ‎【026】如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．‎ ‎(1) 求直线l的函数解析式；‎ ‎(2) 求点D的坐标；‎ ‎(3) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图9‎ ‎【027】如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.‎ ‎(1)求a的值及直线AC的函数关系式；‎ ‎(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.‎ ‎①求线段PM长度的最大值；‎ ‎②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。 ‎ ‎【028】已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[来A C x y B O ‎【029】如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］‎ ‎（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．‎ 图14（1）　　　　　　图14（2）　　　　　　　　图14（3）‎ ‎【030】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；‎ ‎（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ E x O ‎（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．‎ ‎【031】如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．‎ ‎⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；‎ ‎⑵若a、b、c满足了 ‎①求b：b′的值；‎ ‎②探究四边形OABC的形状，并说明理由．‎ 图 18‎ ‎【032】已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．‎ y x O ‎【033】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线 经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式． （2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．‎ ‎（3）当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．‎ ‎【034】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．‎ ‎（1）求点的坐标； （2）求抛物线的解析式；‎ B A C x y ‎（0，2）‎ ‎（－1，0）‎ ‎（第25题）‎ ‎（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【035】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标．‎ ‎（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．‎ C P B y A ‎（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【036】已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．‎ ‎（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；‎ ‎（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；‎ B A O C y x ‎（第26题图）‎ ‎（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ B O A ‎·‎ x y 第28题图 ‎【037】如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标．‎ ‎（2）若点P是x轴上任意一点，求证：．‎ ‎（3）当最大时，求点P的坐标． ‎ ‎【038】如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．‎ 阅读理解：‎ 图13-1‎ A O1‎ O O2‎ B B 图13-2‎ A ‎ C n°‎ D O1‎ O2‎ B 图13-3‎ O2‎ O3‎ O A ‎ O1‎ C O4‎ ‎（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到 ‎⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．‎ ‎（2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在 ‎∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由 ‎⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋 转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．‎ 实践应用：‎ ‎（1）在阅读理解的（1）中，若AB = ‎2c，则⊙O自 转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B处自转 周．‎ ‎（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从 ‎⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动 到⊙O4的位置，⊙O自转 周．‎ O A B C 图13-4‎ D 拓展联想：‎ ‎（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．‎ ‎（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于 D 图13-5‎ O 点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写 出⊙O自转的周数．‎ ‎【039】如图已知直线L：，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。‎ ‎（1）求点A、点B的坐标。‎ ‎（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）。‎ ‎（3）设92）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式。‎ ‎（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由。‎ ‎【040】如图12，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ O D B C A E 图12‎ ‎（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎【041】如图11，AB是⊙O的直径，弦BC=‎2cm，∠ABC=60º． （1）求⊙O的直径；‎ ‎（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；‎ ‎（3）若动点E以‎2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以‎1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．‎ 图10（3）‎ A B C O E F A B C O D 图10（1）‎ A B O E F C 图10（2）‎ ‎【042】如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象与一次函数y＝－x＋的图象交于A、B两点，点C的坐标为(1，)，连接AC，AC∥y轴．‎ ‎(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；‎ ‎(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上A、B之间的部分滑动(不与A、B重合)，两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AB 交于M、N两点，试判断P点在滑动过程中△PMN是否与△CBA总相似？简要说明判断理由．‎ ‎【043】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝‎12cm，AD＝‎8cm，BC＝‎22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以‎1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以‎2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．‎ ‎(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？‎ ‎(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？‎ A B O C D P Q ‎044】如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．‎ ‎（1）求与轴的另一个交点D的坐标；‎ ‎（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值． ‎ ‎【045】已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ A C x y B O ‎（第24题图）‎ ‎【046】)如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．‎ ‎(1)求证：PA·PB=PC·PD；‎ ‎(2)设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD：‎ ‎(3)若AB=8，CD=6，求OP的长．‎ 第23题图 ‎ ‎ ‎【047】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于两点，过作直线与轴负方向相交成60°的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点． （1）求直线的解析式；‎ O y x C D B A O1‎ O2‎ ‎60°‎ ‎（第22题）‎ l ‎（2）将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间．‎ ‎【048】如图11，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；‎ ‎（2）以AD为直径的圆经过点C． ①求抛物线的解析式；‎ O x y A B C D 图11‎ ‎②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． ‎ ‎【049】如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 ‎ （1）求的值．‎ ‎ （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？‎ x y A D B O C ‎28题图 ‎ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【050】如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；‎ ‎（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；‎ ‎（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【051】如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=，AD=12．‎ ‎⑴求证：△ANM≌△ENM；‎ ‎⑵求证：FB是⊙O的切线；‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．‎ ‎【052】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.‎ ‎（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；‎ ‎（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到 ‎△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【053】已知直线与轴轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）‎ ‎（1）求的值和点A的坐标；‎ ‎（2）在矩形OACB中，点P是线段BC上的一动点，直线PD⊥AB于点D，与轴交于点E，设BP=，梯形PEAC的面积为。‎ ‎①求与的函数关系式，并写出的取值范围；‎ ‎②⊙Q是△OAB的内切圆，求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。‎ ‎【054】在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图7所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．‎ ‎（1）求的值和点的坐标；‎ ‎（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径．‎ ‎【055】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.‎ ‎（1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.‎ B A O y x ‎【056】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.‎ ‎（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ O x y N C D E F B M A 【057】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长 交圆于，求的长．‎ （1） 过点作圆的切线交的延长线于点，‎ （2） 判断点是否在抛物线上，说明理由．‎ ‎【058】如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．‎ ‎(1) 求抛物线的解析式；‎ ‎(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．‎ ‎【059】如图所示，已知在直角梯形中，轴于点．动点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点作垂直于直线，垂足为．设点移动的时间为秒（），与直角梯形重叠部分的面积为．‎ ‎（1）求经过三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）求与的函数关系式；‎ ‎（3）将绕着点顺时针旋转，是否存在，使得的顶点或在抛物线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ P 第26题图 Q ‎【060】如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若S△APO＝，求矩形ABCD的面积．‎ A B C D y P x O ‎(第23题图)‎ ‎【061】如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；‎ ‎（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥轴于点G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标．‎ D O B A x y C y=kx+1‎ 图（9）-1‎ E F M N G O B A x y 图（9）-2‎ Q ‎【062】已知二次函数y＝x2－x＋c．‎ ‎(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；‎ ‎(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2＋时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．‎ ‎【063】已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为、，点D的坐标为，点P是直线AC上的一动点，直线DP与轴交于点M．问：‎ ‎（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使与相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．‎ 注：第（3）问请用备用图解答．‎备用图 y x O C D B A ‎1‎ ‎2‎ ‎【064】在平面直角坐标系中，已知，，且以为直径的圆交轴的正半轴于点，过点作圆的切线交轴于点．‎ ‎（1）求过三点的抛物线的解析式 ‎（2）求点的坐标 ‎（3）设平行于轴的直线交抛物线于两点，‎ 问：是否存在以线段为直径的圆，恰好 与轴相切？若存在，求出该圆的半径，‎ 若不存在，请说明理由？‎ ‎【065】已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)， B(s，t)，C(，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．‎ ‎(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；‎ ‎(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎【066】）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点的直线是，连结．‎ ‎（1）两点坐标分别为（_____，_____）、（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；‎ ‎（2）判断的形状，并说明理由；‎ ‎（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．‎ C A O B x y C A O B x y 图1‎ 图2(备用)‎ ‎（第26题）‎ ‎[抛物线的顶点坐标是]‎ ‎【067】如图12，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.‎ ‎（1）求该抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图13所示）. ‎ ‎① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ 图13‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图12‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【068】矩形在平面直角坐标系中位置如图13所示，两点的坐标分别为，，直线与边相交于点．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）若抛物线经过点，试确定此抛物线的表达式；‎ ‎（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点为对称轴上一动点，以为顶点的三角形与相似，求符合条件的点的坐标．‎ y O C D B ‎6‎ A x 图13‎ ‎【069】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.‎ 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）. ‎ 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：‎ ‎(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？‎ ‎(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.‎ 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.‎ ‎(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC 的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.‎ A B O m 第25题图1‎ O 第25题图2‎ A B O E 第25题图3‎ D C F G D C ‎【70】抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。‎ ‎（1）判断△ABM的形状，并说明理由。‎ ‎（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。‎ ‎（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。‎ ‎2012年中考数学压轴题70题精选答案 ‎【001】解：（1）抛物线经过点，‎ ‎ 1分 二次函数的解析式为： 3分 ‎（2）为抛物线的顶点过作于，则，‎ ‎ 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时，四边形是平行四边形 ‎ 5分 当时，四边形是直角梯形 过作于，则 ‎（如果没求出可由求）‎ ‎ 6分 当时，四边形是等腰梯形 综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 ‎（3）由（2）及已知，是等边三角形 则 过作于，则 8分 ‎= 9分 当时，的面积最小值为 10分 此时 ‎ 11分 ‎，‎ ‎【002】解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 8=‎16a+4b ‎ 得 ‎ ‎ 0=‎64a+8b ‎ 解 得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=－x2+4x …………………3分 ‎（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t．PB=8-t．‎ ‎∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.‎ ‎∴点G的纵坐标为：－（4+t）2+4(4+t）=－t2+8. …………………5分 ‎∴EG=－t2+8-(8-t) =－t2+t.‎ ‎∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 ‎②共有三个时刻. …………………8分 t1=， t2=，t3= ． …………………11分 ‎ ‎ ‎【003】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=，‎ ‎ 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a==，解得p=,但p<0,所以p=。‎ ‎ 所以解析式为：‎ ‎（2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=，显然AC2+BC2=AB2，得△ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以。‎ ‎（3）存在，AC⊥BC，①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（，9）‎ ‎ ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(，0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D() 综上，所以存在两点：（,9）或()。‎ ‎【004】O C F M D E N K y x 图1‎ 解：（1）①轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形均为矩形． 1分 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎． 2分 ‎②由（1）知．‎ ‎．‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎． 5分 ‎．‎ ‎． 6分 O C D K F E N y x M 图2‎ 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎． 7分 同理．‎ ‎． 8分 ‎（2）与仍然相等． 9分 ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎． 10分 ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． 11分 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎．‎ 同理．‎ ‎． 12分 ‎【005】‎ ‎【006】解：（1）根据题意，得 2分 解得抛物线对应的函数表达式为． 3分 ‎（2）存在．‎ 在中，令，得．‎ 令，得，．‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎（第26题图）‎ ‎，，．‎ 又，顶点． 5分 容易求得直线的表达式是．‎ 在中，令，得．‎ ‎，． 6分 在中，令，得．‎ ‎．‎ ‎，四边形为平行四边形，此时． 8分 ‎（3）是等腰直角三角形．‎ 理由：在中，令，得，令，得．‎ 直线与坐标轴的交点是，．‎ ‎，． 9分 又点，．． 10分 由图知，． 11分 ‎，且．是等腰直角三角形． 12分 ‎（4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 ‎【007】解：（1）设正比例函数的解析式为，‎ 因为的图象过点，所以，解得．‎ 这个正比例函数的解析式为． （1分）‎ 设反比例函数的解析式为．因为的图象过点，所以 ‎，解得．这个反比例函数的解析式为． （2分）‎ ‎（2）因为点在的图象上，所以，则点． （3分）‎ 设一次函数解析式为．因为的图象是由平移得到的，‎ 所以，即．又因为的图象过点，所以 ‎，解得，一次函数的解析式为． （4分）‎ ‎（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．‎ 设二次函数的解析式为．‎ 因为的图象过点、、和，‎ 所以 （5分） 解得 这个二次函数的解析式为． （6分）‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ E ‎（4）交轴于点，点的坐标是，‎ 如图所示，‎ ‎．‎ 假设存在点，使．‎ 四边形的顶点只能在轴上方，，‎ ‎ ．‎ ‎，．在二次函数的图象上，‎ ‎．解得或．‎ 当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，‎ 点的坐标为． （8分）‎ ‎【008】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，‎ ‎．点在抛物线上，将的坐标代入，得： 解之，得：‎ 抛物线的解析式为：． 4分 ‎（2）‎ O x y N C D E F B M A P 抛物线的对称轴为，‎ ‎． 6分 连结，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． 8分 ‎（3）点在抛物线上． 9分 设过点的直线为：，‎ 将点的坐标代入，得：，‎ 直线为：． 10分 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，‎ 将代入，得：．‎ 点的坐标为，当时，，‎ 所以，点在抛物线上． 12分 ‎【009】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ D P M E 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）存在． （4分）‎ 如图，设点的横坐标为，‎ 则点的纵坐标为，‎ 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），． （6分）‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，． （7分）‎ 类似地可求出当时，． （8分）‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或． （9分）‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．由题意可求得直线的解析式为． （10分）‎ 点的坐标为．． （11分）‎ ‎．‎ 当时，面积最大．． （13分）‎ ‎【010】解：（1）抛物线经过，两点，‎ ‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ y x O A B C D E ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ ‎（3）方法一：作于，于．‎ y x O A B C D E P F 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ y x O A B C D P Q G H 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ ‎．‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 · 点的坐标为．‎ ‎【011】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)‎ ‎∴0=‎9a+k ………………②由①②解得a=，k=∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO∴ ∴∴点P的坐标为(4，)‎ ‎⑶由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，‎ ‎∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，‎ 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)‎ ‎②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，‎ 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上 ‎ 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC ‎ 点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．‎ ‎【012】解：（1）已知抛物线经过，‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为． 2分 ‎（2），，‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时，由得，‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．‎ 平移后的抛物线解析式为：． 5分 ‎（3）点在上，可设点坐标为 将配方得，其对称轴为． 6分 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ ‎①当时，如图①，‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为． 8分 ‎②当时，如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为．‎ 综上，点的坐标为或． 10分 ‎【013】解：（1）； … ………………………………3分 ‎（2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），， ．‎ ‎∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………………………… 6分 ‎ 又∵∠APB=∠EPF．‎ ‎∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．‎ ‎∴EF∥AB． …………………………… 7分 ‎②S2没有最小值，理由如下：‎ 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．‎ 由上知M（0，），N（，0），Q（，）． ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF，∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN ‎＝＝‎ ‎=． ………………………… 10分 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ‎∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．‎ ‎2．求S2的值时，还可进行如下变形：‎ S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．‎ ‎【014】解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－‎4a．……2分 ‎∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，‎ ‎∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．………………………5分 ‎(亦可求C点，设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以 使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．……………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ‎∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．‎ 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；‎ 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)‎ 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 ‎【015】解：（1）(5′) ∵抛物线与轴交于点（0，3），‎ ‎∴设抛物线解析式为 (1′)‎ 根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为 (5′)‎ ‎(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） （2′)‎ 设对称轴与x轴的交点为F ‎∴四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎==9 （5′）‎ ‎（3）(2′)相似 如图，BD=；∴BE=‎ DE= ∴, ‎ 即： ,所以是直角三角形 ‎∴,且,‎ ‎∴∽ (2′)‎ ‎【016】（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴，，所以点A的坐标是（）. ‎ ‎（2）∵ ∴，则点的坐标是（）.‎ 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： ‎ ‎ 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 ‎（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是 ‎，则，.‎ ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 ‎ ∵ ∴∽ ∴ 即，得 ‎ 又∵‎ ‎∴‎ 即为定值8. ‎ ‎ ‎ ‎【017】解：(1)设抛物线的解析式为：, 把A（3,0）代入解析式求得 所以，设直线AB的解析式为：‎ 由求得B点的坐标为 把，代入中 解得：所以 6分 ‎(2)因为C点坐标为(１,4) ，所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2 8分 ‎(平方单位)‎ ‎(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，‎ 则，由S△PAB=S△CAB 得：，化简得：解得，‎ 将代入中，解得P点坐标为 ‎【018】解（1）因为△=‎ 所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。…………（2分）‎ ‎（2）设x1、x2是的两个根，则，，因两交点的距离是，所以。…………（4分）‎ 即：‎ 变形为：……………………………………（5分）‎ 所以：，整理得：‎ 解方程得：，又因为：a<0，所以：a=－1‎ 所以：此二次函数的解析式为…………………………（6分）‎ ‎（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=，所以：S△PAB=‎ 所以：即：，则 当时，，即 解此方程得：=－2或3，当时，，即 解此方程得：=0或1‎ 综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。…（12分）‎ ‎【019】解：（1），． （2分）‎ ‎（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点并随继续向左运动时，‎ 有，即．‎ 当点在点左侧时，过点作射线，垂足为，则由，‎ 得，则．解得．‎ 由，即，解得．‎ 当与射线有公共点时，的取值范围为． （5分）‎ ‎②当时，过作轴，垂足为，有 ‎．，即．‎ O x y E P C D B Q A M F 解得． （7分）‎ 当时，有，‎ ‎．解得． （9分）‎ 当时，有 ‎．‎ ‎，即．‎ 解得（不合题意，舍去）． （11分）‎ 当是等腰三角形时，，或，或，或． （12分）‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N P1‎ P2‎ 备用图 · ‎【020】‎ ‎（1）.……………4分 ‎（2）由题意得点与点′关于轴对称，，‎ 将′的坐标代入得，‎ ‎（不合题意，舍去），.……………2分 ‎，点到轴的距离为3.‎ ‎， ，直线的解析式为，‎ 它与轴的交点为点到轴的距离为.‎ ‎.……………2分 ‎（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，‎ 把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，‎ 得：‎ ‎（不舍题意，舍去），，.……………2分 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，‎ ‎．‎ ‎ 与关于原点对称，，‎ 将点坐标代入抛物线解析式得：，‎ ‎（不合题意，舍去），，．……………2分 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎【021】解：（1）由已知，得，，‎ ‎，‎ ‎．． （1分）‎ 设过点的抛物线的解析式为．将点的坐标代入，得．[来源:学&将和点的坐标分别代入，得 （2分）‎ 解这个方程组，得[来源:学#科#网]故抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）成立． （4分）‎ 点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为． （5分）‎ y x D B C A E E O Ｍ F K G G 设的解析式为，‎ 将点的坐标分别代入，得 ‎ 解得 的解析式为．，． （7分）‎ 过点作于点，则．，‎ ‎．又，．‎ ‎．[来．．‎ ‎（3）点在上，，，则设．‎ ‎，，．‎ ‎①若，则，‎ 解得．，此时点与点重合．．‎ ‎②若，则，解得 ，，此时轴．‎ 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为．．‎ ‎③若，则，[来 解得，，此时，是等腰直角三角形．‎ 过点作轴于点，则，设，‎ y x D B C A E E O Q P H G G ‎(P)‎ ‎(Q)‎ Q ‎(P)‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得（舍去）．．（12分）‎ 综上所述，存在三个满足条件的点，即或或．‎ ‎【022】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则tan∠POB，得m=9n，又点B在函数 的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点B为，‎ 而AB∥x轴，所以点A（，），所以；‎ ‎（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a , a），B（，a），则AB=－ a = ,‎ 所以，解得 .‎ 当a = －3时，点A（―3，―3），B（―，―3），因为顶点在y = x上，所以顶点为（－，－），所以可设二次函数为，点A代入，解得k= －,所以所求函数解析式为 .‎ 同理，当a = 时，所求函数解析式为；‎ ‎（3）设A（a , a），B（，a），由条件可知抛物线的对称轴为 .‎ ‎(第24题(1))‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6 Q B C D ‎-4‎ ‎4‎ P 设所求二次函数解析式为： .‎ 点A（a , a）代入，解得，，‎ 所以点P到直线AB的距离为3或。‎ ‎(第24题(2)①)‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ ‎【023】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得． ……1分 将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，‎ 则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 　……1分 直线AP的解析式是． 　……1分 令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)． 　……1分 ‎(2)①　解法1：CQ=︱-2-︱=， 　……1分 故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，‎ 此时抛物线的函数解析式为． ……1分 解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．‎ ‎(第24题(2)②)‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A′‎ ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B′‎ C D ‎-4‎ ‎4‎ A′′‎ B′′‎ 直线A′′B′的解析式为． 要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得．‎ 故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为． ……1分 ‎②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ……1分 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．‎ 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，‎ 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 　……1分 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．……1分 ‎【024】解（Ⅰ），‎ ‎. 1分 将分别代入，得 ‎，‎ 解得.函数的解析式为． 3分 ‎（Ⅱ）由已知，得，设的高为，‎ ‎，即.‎ 根据题意，，由，得.‎ 当时，解得；‎ 当时，解得.‎ 的值为. 6分 ‎（Ⅲ）由已知，得.‎ ‎，，‎ ‎，化简得.‎ ‎，得，　　　　　　.‎ 有.‎ 又，，，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，. 10分 ‎【025】（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得 ‎∴抛物线的解折式为…（2分）‎ ‎（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为 ‎ 即 E点的坐标（，）又∵点E在直线上[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎∴ 解得（舍去），‎ ‎∴E的坐标为（4，3）……（4分）‎ ‎（Ⅰ）当A为直角顶点时 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得 即，∴a＝ ∴P1（，0）……（5分）‎ ‎（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）……（6分）‎ ‎（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE ‎ 由得 解得，‎ ‎∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）……（8分）‎ 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）[来源:学科网]（Ⅲ）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB 要使最大，即是使最大 ‎ 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．易知直线AB的解折式为∴由 得 ‎ ∴M（，－）……（11分）‎ ‎【026】(1) 配方,得y=(x–2)2 –1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2，–1) ．‎ 取x=0代入y=x2 –2x＋1，得y=1，∴点A的坐标是(0，1)．由抛物线的对称性知，‎ 点A(0，1)与点B关于直线x=2对称，∴点B的坐标是(4，1)． 2分 设直线l的解析式为y=kx＋b(k≠0)，将B、P的坐标代入，有 解得∴直线l的解析式为y=x–3．3分 ‎(2) 连结AD交O′C于点E，∵ 点D由点A沿O′C翻折后得到，∴ O′C垂直平分AD．[来源:Z。xx。k.Com]‎ 由(1)知，点C的坐标为(0，–3)，∴ 在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，∴ O′C=2．‎ 据面积关系，有 ×O′C×AE=×O′A×CA，∴ AE=，AD=2AE=．‎ 作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，∴，‎ ‎∴ AF=·AC=，DF=·O′A=，5分 又 ∵OA=1，∴点D的纵坐标为1–= –，‎ ‎∴ 点D的坐标为(，–)．‎ ‎(3) 显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，‎ ‎∴ 点P是线段BC的中点，∴ S△DPC= S△DPB ．‎ 故要使S△DQC= S△DPB，只需S△DQC=S△DPC ．‎ ‎ 过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC ，‎ 故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．‎ 容易求得过点C(0，–3)、D(，–)的直线的解析式为y=x–3，‎ 据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=x–．[来源:学_科_网]‎ 令x2–2x＋1=x–，解得 x1=2，x2=，代入y=x–，得y1= –1，y2=，‎ 因此，抛物线上存在两点Q1(2，–1)(即点P)和Q2(，)，使得S△DQC= S△DPB． ‎ ‎【027】解：（1）由题意得 6=a(－2＋3)(－2－1)，∴a=－2，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=－2(x＋3)(x－1)与x轴交于B（－3，0）、A（1，0）‎ 设直线AC为y=kx＋b，则有0=k＋b，6=－2k＋b，解得 k=－2，b=2，‎ ‎∴直线AC为y=－2x＋2‎ ‎（2）①设P的横坐标为a(－2≤a≤1)，则P（a，－‎2a＋2），M（a，－‎2a2－‎4a＋6）‎ ‎∴PM=－‎2a2－‎4a＋6－(－‎2a＋2)=－‎2a2－‎2a＋4=－‎2a2＋a＋14＋92‎ ‎=‎-2a+122+92，∴当a=-12时，PM的最大值为926分 ‎②M1（0，6）M2-14，678 ‎ ‎【028】解：（1）由题意得 解得 ‎∴此抛物线的解析式为 3分 ‎（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.‎ ‎（第24题图）‎ O A C x y B E P D 点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ 设直线的表达式为则解得 ‎∴此直线的表达式为 把代入得∴点的坐标为 ‎（3）存在最大值，理由：∵即 ‎∴∴即 ‎∴‎ 方法一：连结，‎ ‎=[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎=，∵∴当时， 9分 方法二：‎ ‎=‎ ‎=，∵∴当时， 9分 ‎【029】解：（1），（-1，0），B（3，0）． 3分 ‎（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．‎ ‎ 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，‎ ‎∴ 四边形 ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 6分 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．‎ ‎（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．‎ 则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， ‎ ‎ 图14（2）‎ ‎△DOB的面积=-（），‎ ‎∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 ‎==．‎ ‎∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为． ‎ ‎（4）有两种情况：‎ 图14（3） 图14（4）‎ 如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q‎1C．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ‎ ‎∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为． 12分 由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）． 13分 如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．‎ ‎∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ‎ ‎∴ 点F的坐标为（-3，0）．∴ 直线CF的解析式为． 14分 由 解得 ‎ ‎∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），‎ 使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．‎ ‎【030】解：（1）设，把代入，得， 2分 ‎∴抛物线的解析式为：．顶点的坐标为． 5分 ‎（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，‎ 得解得．∴直线解析式为． 7分 ‎，∴ 9分 ‎ ． 10分 ‎∴当时，取得最大值，最大值为． 11分 ‎（3）当取得最大值，，，∴．∴四边形是矩形．‎ ‎(E)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ x O F M H 作点关于直线的对称点，连接．‎ 法一：过作轴于，交轴于点．‎ 设，则．‎ 在中，由勾股定理，．‎ 解得．∵，∴．‎ 由，可得，．∴．‎ ‎∴坐标． 13分 法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为．‎ 易证．∴．‎ ‎(E)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ D y C B A P ‎2‎ x O F M H N M 设，则．∴，．‎ 由三角形中位线定理，．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴坐标． 13分 把坐标代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上． 14分 ‎【031】解：（1） C（3，0）；‎ ‎（2）①抛物线，令=0，则=， ∴A点坐标（0，c）．‎ ‎∵，∴ ，∴点P的坐标为（）． ‎ ‎∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）． ……………………………………5分 根据题意，得a=a′，c= c′，∴抛物线F′的解析式为．‎ 又∵抛物线F′经过点D（），∴．……………6分 ‎∴．又∵，∴．∴b:b′=．‎ ‎②由①得，抛物线F′为．‎ 令y=0，则． ∴．‎ ‎∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．‎ 设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．‎ ‎∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．‎ 把代入，得．‎ ‎∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），‎ ‎∴四边形OABC是平行四边形．‎ 又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形． ‎ y x O B A D C ‎(x=m)‎ ‎(F2)F1‎ E1 (E2)‎ ‎【032】解：（1）根据题意，得 解得．．（2分）‎ ‎（2）当时，得或，‎ ‎∵，当时，得，‎ ‎∴，∵点在第四象限，∴． （4分）‎ 当时，得，∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴． （6分）‎ ‎（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则 ‎，点的横坐标为，‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，∴，∴，‎ ‎∴，∴（舍去），∴，‎ ‎∴． （9分）‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，∴，∴，‎ ‎∴，∴（舍去），，∴，∴．‎ ‎【033】（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，‎ 得解得 ‎∴抛物线对应的函数关系式为：． （2分）‎ ‎（2）当时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)． ‎ ‎ 当时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)． （5分）‎ ‎（3）当≤2时，．S． ‎ ‎ 当≤5时，．S． （8分）‎ B A D C O M N x y P1‎ P2‎ ‎ 当时，S的最大值为2． （10分）‎ ‎【034】（1）过点作轴，垂足为，‎ ‎；‎ 又，‎ ‎，‎ 点的坐标为； 4分 ‎（2）抛物线经过点，则得到， 5分 解得，所以抛物线的解析式为； 7分 ‎（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：‎ 若以点为直角顶点；‎ 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 8分 过点作轴，；‎ ‎，可求得点； 11分 若以点为直角顶点；‎ 则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 12分 过点作轴，同理可证； 13分 ‎，可求得点； 14分 经检验，点与点都在抛物线上． 16分 ‎【035】解：（1）令，得 解得，令，得 E C B y P A ‎∴ A B C 3分 ‎（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=‎ ‎∵AP∥CB，∴PAB=，过点P作PE轴于E，‎ 则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ‎∵点P在抛物线上 ∴ ‎ 解得，（不合题意，舍去） ∴PE= 4分 ‎∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE= 5分 ‎(3)． 假设存在∵PAB=BAC = ∴PAAC ‎∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =‎ 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=，在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 6分 ‎ G M C B y P A 设M点的横坐标为，则M ‎ ‎①点M在轴左侧时，则 ‎(ⅰ) 当AMG PCA时，有=∵AG=，‎ MG=即 解得（舍去） ‎ ‎（舍去）………7分 G M C B y P A ‎(ⅱ) 当MAG PCA时有=‎ 即 ，解得：（舍去） ‎ ‎ ∴M 8分 ‎② 点M在轴右侧时，则 ‎ ‎(ⅰ) 当AMG PCA时有=‎ M B E A C N D F G 图（1）‎ H ‎∵AG=，MG= ‎ ‎∴ 解得（舍去） ∴M ‎ ‎(ⅱ) 当MAGPCA时有= 即 ‎ 解得：（舍去） ∴M ‎ ‎ ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，‎ M点的坐标为，， ‎ ‎【036】解：（1）根据题意，得 B A O C y x 第26题图 Q4‎ Q3‎ Q1‎ Q2‎ P3‎ P1‎ P2‎ D C P4‎ ‎，解得 抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）‎ ‎（2），设直线的解析式为 直线经过点点 ‎ ‎（3）存在．，，，‎ B O A ‎·‎ x y 第28题图 P H ‎【037】解：（1）抛物线与y轴的交于点B，令x=0得y=2．‎ ‎∴B（0，2） ‎ ‎∵ ∴A（—2，3）‎ ‎（2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时，‎ ‎．‎ 当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，‎ 在点P、A、B构成的三角形中，．‎ 综合上述： ‎ ‎（3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点 8分 作AH⊥OP于H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP ‎ ∴ 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P（4，0） ‎ ‎【038】解：实践应用（1）2；．；．（2）．‎ 拓展联想（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周． ‎ 又∵三角形的外角和是360°，‎ ‎∴在三个顶点处，⊙O自转了（周）． ‎ ‎∴⊙O共自转了（+1）周． ‎ ‎（2）+1．‎ ‎039】解（1）A（，0），B（0，3） 2分（每对一个给1分）‎ ‎（2）满分3分．其中过F作出垂线1分，作出BF中垂线1分，找出圆心并画出⊙P给1分． （注：画垂线PF不用尺规作图的不扣分）‎ ‎（3）过点P作PD⊥轴于D，则PD=，BD=， 6分 y x O A B D P F PB=PF=，∵△BDP为直角三形，∴ ‎ ‎∴，即 即∴与的函数关系为 ‎（4）存在 解法1：∵⊙P与轴相切于点F，且与直线相切于点B ‎∴，∵，∴‎ ‎∵AF= ， ∴，∴ 11分 把代入，得 ‎∴点P的坐标为（1，）或（9，15）12分 ‎【040】（1）① 对称轴 （2分）‎ ‎② 当时，有，解之，得 ，‎ ‎∴ 点A的坐标为（，0）． （4分）‎ ‎（2）满足条件的点P有3个，分别为（，3），（2，3），（，）． （7分）‎ ‎（3）存在．当时， ∴ 点C的坐标为（0，3）‎ ‎∵ DE∥轴，AO3，EO2，AE1，CO3‎ ‎∴ ∽ ∴ 即 ∴ DE1 （9分）‎ ‎∴ 4‎ 在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点M． （10分）‎ 设直线CM的解析式为，它经过点．则 （11分）‎ 解之，得 ∴ 直线CM的解析式为 （12分）‎ ‎【041】解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）‎ ‎ ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）‎ ‎ ∵∠ABC＝60º（已知）‎ ‎ ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）‎ ‎ ∴AB＝2BC＝‎4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）‎ ‎ 即⊙O的直径为‎4cm．‎ ‎（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝‎2cm．‎ ‎∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）‎ ‎∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝ 30º（已求）‎ ‎∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º∴OD＝2OC＝‎4cm ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）‎ ‎ ∴当BD长为‎2cm，CD与⊙O相切．‎ ‎（3）根据题意得：‎ BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；‎ 如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ‎∴BE：BA＝BF：BC即：（4－2t）：4＝t：2解得：t＝1‎ 如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ‎∴BE：BC＝BF：BA即：（4－2t）：2＝t：4解得：t＝1.6‎ ‎∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．‎ ‎【042】（1）由得，代入反比例函数中，得 ‎∴反比例函数解析式为： 2分 解方程组由化简得：‎ ‎，所以 5分 ‎ （2）无论点在之间怎样滑动，与总能相似．因为两点纵坐标相等，所以轴．‎ 又因为轴，所以为直角三角形．‎ 同时也是直角三角形，‎ ‎ 8分 ‎（在理由中只要能说出轴，即可得分．）‎ ‎【043】（1）解：∵直角梯形 O A P D B Q C 当时，四边形 为平行四边形．‎ 由题意可知：‎ O A P D B Q C H E 当时，四边形为平行四边形． 3分 ‎（2）解：设与相切于点 过点作垂足为 直角梯形 由题意可知：‎ 为的直径，‎ 为的切线 ‎ 5分 在中，，‎ 即：，，‎ ‎，因为在边运动的时间为秒 而，（舍去），当秒时，与相切． 8分 ‎【044】解 （1）易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根，‎ 所以，所 （1分）‎ 如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则 （2分）‎ 由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，‎ 所以点D的坐标为（0，1） （3分）‎ ‎（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，‎ 所以点的坐标为，即 （4分）‎ 又，‎ 所以解得 （6分）‎ ‎【045】解：（1）由题意得，解得 ‎∴此抛物线的解析式为 3分 ‎（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ ‎（第24题图）‎ O A C x y B E P D 设直线的表达式为 则 解得 ‎∴此直线的表达式为……5分 把代入得∴点的坐标为 6分 ‎（3）存在最大值 7分 理由：∵即 ‎∴∴即 ‎∴‎ 方法一：‎ 连结 ‎=‎ ‎= 8分 ‎∵，∴当时， 9分 方法二：‎ ‎ =‎ ‎= 8分 ‎∵，∴当时， 9分 ‎【046】(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．‎ ‎∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3分 ‎(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．‎ 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，‎ ‎∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．‎ O y x C D B A D1‎ O1‎ O2‎ O3‎ P ‎60°‎ ‎（第22题答图）‎ l ‎(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：‎ ‎∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11‎ 又易证四边形MONP是矩形，‎ ‎∴OP＝ ‎ ‎【047】（1）解：由题意得，‎ 点坐标为．在中，，‎ 点的坐标为． ‎ 设直线的解析式为，由过两点，得 解得直线的解析式为：．‎ ‎（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，‎ 与轴相切于点，连接．则 轴，，‎ 在中，． 6分 ‎，，‎ ‎（秒）平移的时间为5秒． 8分 ‎【048】解：（1）对称轴是直线：，‎ 点A的坐标是（3，0）． 2分 ‎（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）‎ ‎（2）如图11，连接AC、AD，过D作于点M，‎ 解法一：利用 ‎∵点A、D、C的坐标分别是A （3，0），D（1，）、C（0，），‎ ‎∴AO＝3，MD=1．由得∴ 3分 又∵∴由 得 ‎ ‎∴函数解析式为： 6分 解法二：利用以AD为直径的圆经过点C ‎∵点A、D的坐标分别是A （3，0） 、D（1，）、C（0，），‎ ‎∴，，∵‎ ‎∴…① 又∵…② 4分 由①、②得 ∴函数解析式为： 6分 ‎（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时，则∥，并且＝．‎ ‎ ∵=4，∴=4 ，由于对称为，∴点F的横坐标为5． 7分 y x O A B C D 图11‎ E F 将代入得，∴F（5，12）． ‎ 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧 抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是 平行四边形，此时点F坐标为（，12）． ‎ 当四边形BEAF是平行四边形时，‎ 点F即为点D，此时点F的坐标为（1，）． ‎ 综上所述，点F的坐标为（5，12），‎ ‎（，12）或（1，）．‎ ‎【049】解：（1）解得 ‎ ， 1分 在中，由勾股定理有， ‎ ‎（2）∵点在轴上，，，‎ ‎ 1分 由已知可知D（6，4），设当时有 解得，同理时， 1分 在中，‎ 在中，，，‎ ‎（3）满足条件的点有四个， 4分 说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评 ‎【050】解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3． 3分 ‎（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．‎ ‎∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．‎ 由题意，得△BHP∽△BOC，‎ ‎∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，‎ ‎∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，‎ ‎∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．‎ ‎∴OH＝OB－HB＝4－4t．‎ 由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．‎ ‎∴OQ＝4t． 4分 ‎①当H在Q、B之间时，‎ QH＝OH－OQ ‎＝（4－4t）－4t＝4－8t． 5分 ‎②当H在O、Q之间时，‎ QH＝OQ－OH ‎＝4t－（4－4t）＝8t－4． 6分 综合①，②得QH＝｜4－8t｜； 6分 ‎（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． 7分 ‎①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝． 7分 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2＋2t－1＝0．‎ ‎∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）． 8分 ‎②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝． 9分 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2－2t＋1＝0．‎ ‎∴t1＝t2＝1（舍去）． 10分 综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝． 10分 附加题：解：（1）8； 5分 ‎（2）2． 10分 ‎【051】⑴证明：∵BC是⊙O的直径 ‎∴∠BAC=90o 又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，‎ ‎∴AM=ME，∠AMN=EMN 又∵MN=MN，‎ ‎∴△ANM≌△ENM ‎⑵∵AB2=AF·AC ‎∴‎ 又∵∠BAC=∠FAB=90o ‎∴△ABF∽△ACB ‎∴∠ABF=∠C 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ‎∴FB是⊙O的切线 ‎⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，‎ 又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，‎ ‎∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，‎ ‎∴AM=ME=EN=AN ‎∴四边形AMEN是菱形 ‎∵cos∠ABD=，∠ADB=90o ‎∴‎ 设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理 而AD=12，∴x=3‎ ‎∴BD=9，AB=15‎ ‎∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15‎ ‎∴DE=BE-BD=6‎ ‎∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE ‎∴△BND∽△BME，则 设ME=x，则ND=12-x，，解得x=‎ ‎∴S=ME·DE=×6=45‎ ‎【052】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，‎ ‎ 又D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 . ‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式为： …… 4分 ‎（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分 由y = 0，得. 解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ‎ ‎ ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，‎ 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）. ‎ 把x=3代入，得， ∴点E在抛物线上. ‎ ‎（3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.‎ ‎ S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，‎ ‎ 下面分两种情形： ①当S1∶S2 =1∶3时，，‎ 此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－‎3a，∴CQ=3－(9－‎3a) =‎3a －6，由S1=2，得，解得； ‎ ‎②当S1∶S2=3∶1时，，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，由△EPF∽△EQG，得QG = ‎3a－9，∴CQ = 3 +（‎3 a－9）= ‎3 a－6，‎ 由S1= 6，得，解得，综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）……… 14分 ‎ 法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.‎ 当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.‎ 设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，‎ ‎∴. 由y = 2得x = ‎3a－6，∴Q（‎3a－6，2） ……… 10分 ‎∴CQ = ‎3a－6，BP = a－1，.‎ 下面分两种情形：①当S1∶S2 = 1∶3时，= 2；‎ ‎∴‎4a－7 = 2，解得；……………………………………………… 12分 ‎②当S1∶S2 = 3∶1时，； ∴‎4a－7 = 6，解得；‎ 综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）………… 14分 ‎[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分. ]‎ ‎【077】解：（1）把B（0，6）代入，得＝6………………………1分 ‎ 把＝0代入，得＝8‎ ‎∴点A的坐标为（8，0）…………… 3分 ‎（2）在矩形OACB中，AC＝OB＝6，‎ BC＝OA＝8，∠C＝90°‎ ‎∴AB＝‎ ‎∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝90°‎ ‎，∴∴∴‎ 又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD ‎∴，即，∴‎ ‎∵，∴ （）……………………………7分 （注：写成不扣分）‎ ‎② ⊙Q是△OAB的内切圆 ，可设⊙Q的半径为r ‎∵,解得r=2.………………………………………8分 设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H 可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线PD与⊙Q交于点 I、J ，过Q作QM⊥IJ于点M，连结IQ、QG， ∵QI＝2， ‎ ‎ ∴ ∴ 在矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6‎ ‎∴BD＝BG+GD＝4+1.6＝5.6，由，得 ‎∴点P的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11分 当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6）………………………12分 综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13分。‎ ‎【053】略 ‎【054】. 解：（1）B（1，）‎ ‎（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，‎ 因此 ‎（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.‎ C B A O y x 设直线AB为y=kx+b.所以，‎ 因此直线AB为，‎ 当x=－1时，，‎ 因此点C的坐标为（－1，）.‎ D B A O y x P ‎（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.‎ ‎ ‎ 当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.‎ ‎【055】解：（1）⊙P与x轴相切.‎ ‎ ∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），‎ ‎∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.‎ 在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，‎ ‎∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，‎ ‎∴⊙P与x轴相切.‎ ‎（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在 线段OB上时,作PE⊥CD于E.‎ ‎∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，‎ ‎ ∴PE=.‎ ‎∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，‎ ‎∴△AOB∽△PEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴∴，‎ ‎∴，∴.‎ 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，‎ ‎∴k=－－8，∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.‎ ‎【056】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，‎ ‎． 2分 点在抛物线上，将的坐标代入 ‎，得： 解之，得：‎ 抛物线的解析式为：． 4分 O x y N C D E F B M A P ‎（2）‎ 抛物线的对称轴为，‎ ‎． 6分 连结，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． 8分 ‎（3）点在抛物线上． 9分 设过点的直线为：，‎ 将点的坐标代入，得：，‎ 直线为：． 10分 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，‎ 将代入，得：．‎ 点的坐标为， 11分 当时，，‎ 所以，点在抛物线上． 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．‎ ‎【057】解: (1)由题知: ……………………………………1 分 ‎ ‎ 解得: ……………………………………………………………2分 ‎ ‎∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分 ‎(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )‎ 或P (－1, 6) 或P (－1, )………………………………………………………7分 ‎(3)解法①：‎ 过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,-‎-2a＋3 )( －3< a < 0 ) ‎ ‎∴EF=-‎-2a＋3，BF=a＋3，OF=－a ………………………………………………8 分 ‎∴S四边形BOCE = BF·EF + (OC +EF)·OF ‎ ‎=( a＋3 )·(－－‎2a＋3) + (－－‎2a＋6)·（－a）……………………………9 分 ‎=………………………………………………………………………10 分 ‎=－+ ‎ ‎∴ 当a =－时，S四边形BOCE 最大, 且最大值为 ．……………………………11 分 ‎ 此时，点E 坐标为 (－，)……………………………………………………12分 解法②：‎ 过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分 则S四边形BOCE = (3 + y )·(－x) + ( 3 + x )·y ………………………………………9分 ‎ = ( y－x)= ( ) …………………………………10 分 ‎ = － + ‎ ‎∴ 当x =－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 ． …………………………11分 此时，点E 坐标为 (－，) ……………………………………………………12分 ‎【058】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点，‎ 设抛物线解析式为．‎ 把，代入上式得： 1分 解得 3分 ‎∴所求抛物线解析式为 4分 法二：∵，，‎ ‎∴抛物线的对称轴是直线．‎ 设抛物线解析式为（） 1分 把，代入得 ‎ 解得 3分 ‎∴所求抛物线解析式为． 4分 ‎（2）分三种情况：‎ ‎①当，重叠部分的面积是，过点作轴于点，‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ P 第26题图1‎ Q F ‎∵，在中，，，‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ 第26题图2‎ Q F G P H ‎∴． 6分 ‎②当，设交于点，作轴于点，‎ ‎，则四边形是等腰梯形，‎ 重叠部分的面积是．‎ ‎∴，‎ ‎∴． 8分 ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ 第26题图3‎ Q F M P N ‎③当，设与交于点，交于点，重叠部分的面积是．‎ 因为和都是等腰直角三角形，‎ 所以重叠部分的面积是．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎ ． 10分 ‎（3）存在 12分 ‎ 14分 ‎【059】略 ‎【060】（1）解：把A（，0），C（3，）代入抛物线 得 ‎ 1分 ‎ 整理得 ……………… 2分 解得………………3分 ‎ ∴抛物线的解析式为 4分 ‎ （2）令 解得 ‎ ‎ ∴ B点坐标为（4，0） ‎ ‎ 又∵D点坐标为（0，）　　∴AB∥CD ∴四边形ABCD是梯形．‎ ‎ ∴S梯形ABCD ＝ 5分 设直线与x轴的交点为H， ‎ D O B A x y C B C y=kx+1‎ 图(9) -1‎ H T 与CD的交点为T，‎ 则H（，0）， T（，） 6分 ‎∵直线将四边形ABCD面积二等分 ‎∴S梯形AHTD ＝S梯形ABCD＝４‎ ‎∴ 7分　‎ ‎∴ 8分 E F M N G O B A x y 图(9) -2‎ ‎（3）∵MG⊥轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2‎ ‎ ∴设M（m，）， 9分 ‎ ‎∵点M在抛物线上 ∴ ‎ 解得（舍去） 10分 ‎∴M点坐标为（3，） 11分 根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，‎ ‎∴N点坐标为（1，） 12分 ‎【061】(1)解：法1：由题意得 ……1分 ‎ 解得 ……2分 ‎ 法2：∵ 抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝， ‎ ‎ 且 －(－1) ＝2－，∴ A、B两点关于对称轴对称. ‎ ‎ ∴ n＝2n－1 ……1分 ‎ ∴ n＝1，c＝－1. ……2分 ‎ ∴ 有 y＝x2－x－1 ……3分 ‎ ＝(x－)2－. ‎ ‎ ∴ 二次函数y＝x2－x－1的最小值是－. ……4分 ‎ ‎ (2)解：∵ 点P(m，m)(m＞0)，‎ ‎ ∴ PO＝m.‎ ‎ ∴ 2≤m ≤＋2.‎ ‎ ∴ 2≤m≤1＋. ……5分 ‎ 法1： ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，‎ ‎ ∴ m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋‎2m.‎ ‎ ∵ 开口向下，且对称轴m＝1，‎ ‎ ∴ 当2≤m≤1＋ 时， ‎ ‎ 有 －1≤c≤0. ……6分 ‎ 法2：∵ 2≤m≤1＋，‎ ‎ ∴ 1≤m－1≤.‎ ‎ ∴ 1≤(m－1)2≤2. ‎ ‎ ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，‎ ‎ ∴ m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2.‎ ‎ ∴ 1≤1－c≤2.‎ ‎ ∴ －1≤c≤0. ……6分 ‎ ∵ 点D、E关于原点成中心对称，‎ ‎ 法1： ∴ x2＝－x1，y2＝－y1.‎ ‎ ∴ ‎ ∴ 2y1＝－2x1， y1＝－x1. ‎ ‎ 设直线DE：y＝kx.‎ ‎ 有 －x1＝kx1.‎ ‎ 由题意，存在x1≠x2. ‎ ‎ ∴ 存在x1，使x1≠0. ……7分 ‎ ∴ k＝－1.‎ ‎ ∴ 直线DE： y＝－x. ……8分 ‎ 法2：设直线DE：y＝kx.‎ ‎ 则根据题意有 kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1) x＋c＝0.‎ ‎ ∵ －1≤c≤0，‎ ‎ ∴ (k＋1)2－‎4c≥0.‎ ‎ ∴ 方程x2－(k＋1) x＋c＝0有实数根. ……7分 ‎ ∵ x1＋x2＝0， ‎ ‎ ∴ k＋1＝0.‎ ‎ ∴ k＝－1.‎ ‎ ∴ 直线DE： y＝－x. ……8分 ‎ 若 则有 x2＋c＋＝0.即 x2＝－c－.‎ ‎ ① 当 －c－＝0时，即c＝－时，方程x2＝－c－有相同的实数根，‎ ‎ 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋有唯一交点. ……9分 ‎ ② 当 －c－＞0时，即c＜－时，即－1≤c＜－时，‎ ‎ 方程x2＝－c－有两个不同实数根，‎ ‎ 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋有两个不同的交点. ……10分 ‎ ③ 当 －c－＜0时，即c＞－时，即－＜c≤0时，‎ ‎ 方程x2＝－c－没有实数根，‎ ‎ 即直线y＝－x与抛物线y＝x2－x＋c＋没有交点. ……11分 ‎【062】解：（1）连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．理由如下：‎ ‎　　∵矩形是中心对称图形，且点为矩形的对称中心．‎ ‎　　又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线过矩形的对称中心点，所以直线平分矩形的面积．…………2分 ‎　　由已知可得此时点的坐标为．‎ ‎　　设直线的函数解析式为．‎ 则有　解得，．‎ 所以，直线的函数解析式为：． 5分 ‎（2）存在点使得与相似．‎ 如图，不妨设直线与轴的正半轴交于点．‎ 因为，若△DOM与△ABC相似，则有或．‎ 当时，即，解得．所以点满足条件．‎ 当时，即，解得．所以点满足条件．‎ 由对称性知，点也满足条件．‎ 综上所述，满足使与相似的点有3个，分别为、、． 9分 ‎（3）如图 ，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，过点D分别作的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．‎ 在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．‎ ‎∴Ｓ四边形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×．‎ ‎∴当DE取最小值时，Ｓ四边形DEPF的值最小．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴．由点的任意性知：DE是 点与切点所连线段长的最小值．……12分 在△ADP与△AOC中，∠DPA＝∠AOC，‎ ‎∠DAP＝∠CAO， ∴△ADP∽△AOC．‎ ‎∴，即．∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝，即Ｓ＝． 14分 ‎（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）‎ ‎【063】解：（1）令二次函数，则 ‎ 1分 ‎ 2分 过三点的抛物线的解析式为 4分 ‎（2）以为直径的圆圆心坐标为 ‎ 5分 为圆切线 6分 ‎ ‎ ‎ 8分 ‎ ‎ 坐标为 9分 ‎（3）存在 10分 抛物线对称轴为 设满足条件的圆的半径为，则的坐标为或 而点在抛物线上 ‎ ‎ 故在以为直径的圆，恰好与轴相切，该圆的半径为， 12分 注：解答题只要方法合理均可酌情给分 ‎【064】解：A B C （1）如图，在坐标系中标出O，A，C三点，连接OA，OC．‎ ‎∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，‎ 故BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（，1）．（1分，）‎ 即s=，t=1．直角梯形如图所画．（2分）‎ ‎（大致说清理由即可）‎ ‎（2）由题意，y=x2+mx－m与 y=1（线段AB）相交， ‎ 得， （3分）∴1＝x2+mx－m，‎ 由 (x－1)(x+1+m)=0，得． ‎ ‎∵=1<，不合题意，舍去． （4分）‎ ‎∴抛物线y=x2+mx-m与AB边只能相交于（，1）， ‎ ‎ ∴≤－m－1≤，∴ ． ①（5分） ‎ 又∵顶点P()是直角梯形OABC的内部和其边上的一个动点，‎ ‎∴，即 ． ② （6分） ‎ ‎∵，‎ ‎（或者抛物线y=x2+mx－m顶点的纵坐标最大值是1）‎ ‎∴点P一定在线段AB的下方． （7分） ‎ 又∵点P在x轴的上方，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ． （*8分）‎ ③（9分） ‎ 又∵点P在直线y=x的下方，∴，（10分）即 ‎ （*8分处评分后，此处不重复评分）‎ ‎ ④ ‎ ‎ 由①②③④ ，得．（12分） ‎ ‎ 说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．‎ ‎【065】（1）（4，0），． 2分 ‎． 4分 ‎（2）是直角三角形． 5分 证明：令，则．‎ ‎．‎ ‎． 6分 解法一：． 7分 ‎．‎ 是直角三角形． 8分 解法二：‎ ‎，‎ ‎． 7分 ‎．‎ ‎，‎ ‎．即．‎ 是直角三角形． 8分 G A O B x y 图1‎ D E F H C ‎（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎． 9分 解法一：设，则，，‎ ‎．‎ ‎=． 10分 当时，最大．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，． 11分 解法二：设，则．‎ ‎． 10分 当时，最大．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ C A O B x y 图2‎ D G G ‎，． 11分 当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ 解法一：设，，‎ ‎．‎ ‎=． 12分 当时，最大．‎ ‎，．‎ ‎ 13分 解法二：设，，，，．．‎ ‎= 12分 当时，最大，‎ ‎．．‎ ‎ 13分 综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；‎ 当矩形一个顶点在上时，坐标为 14分 ‎【066】（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)，‎ 故可设其关系式为 ………………(1分)‎ 又抛物线经过O(0,0)，于是得， ………………(2分)‎ 解得 a=-1 ………………(3分)‎ ‎∴ 所求函数关系式为，即. ……………(4分)‎ ‎（2）① 点P不在直线ME上. ………………(5分)‎ 根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，‎ 又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ……(6分)‎ 由已知条件易得，当t时，OA=AP， ……………(7分)‎ ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. ‎ ‎∴ 当t时，点P不在直线ME上. ………………(8分)‎ ‎② S存在最大值. 理由如下： ………………(9分)‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …(10分)‎ ‎（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. ………………(11分)‎ ‎（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3=‎ 其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜＜3，此时. …………(12分)‎ 综上所述，当t时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，‎ 这个最大值为. ………………(13分)‎ 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.‎ ‎【067】解：（1）点的坐标为． （2分）‎ ‎（2）抛物线的表达式为． （4分）‎ y O C D B ‎6‎ A x A M P1‎ P2‎ ‎（3）抛物线的对称轴与轴的交点符合条件．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴． （6分）‎ ‎∵抛物线的对称轴，‎ ‎∴点的坐标为． （7分）‎ 过点作的垂线交抛物线的对称轴于点．‎ ‎∵对称轴平行于轴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴． （8分）‎ ‎∴点也符合条件，．‎ ‎∴，‎ ‎∴． （9分）‎ ‎∴．‎ ‎∵点在第一象限，‎ ‎∴点的坐标为，‎ ‎∴符合条件的点有两个，分别是，． （11分）‎ ‎【068】解：(1) 弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. ‎ ‎（写对一个给1分，写对两个给2分）‎ ‎(2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径. …………………………3分 结论：（垂径定理的结论之一）. …………………………………………………………………………4分 证明：略（对照课本的证明过程给分）. ……………………………………………………………7分 情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.‎ O n D A C B m 第25题图21‎ P 结论：.‎ 证明：略.‎ 情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.‎ 结论：.‎ 证明：略.‎ AD BC 情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且AB∥CD.‎ 结论： = .‎ 证明：略.‎ ‎（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；‎ 其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）‎ ‎(3) 若点C和点E重合，‎ 则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. …………………………………………8分 ABC 设，则，.…………………………………………9分 又D是 的中点，所以，‎ 即.………………………………………………………………………………10分 解得.………………………………………………………………………………………11分 ‎（若求得或等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明）‎ A B O E 第25题图3‎ D C F G O 第25题图22‎ n D A C B m P O 第25题图23‎ n D A C B m ‎【70】解：（1）令 得 ‎ 由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知 ‎△ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形 ‎ （2）设，∵△ABM是等腰直角三角形 ‎∴斜边上的中线等于斜边的一半，又顶点M(－2，－1)‎ ‎∴，即AB＝2，∴A(－3，0)，B(－1，0)‎ 将B(－1，0) 代入中得 ‎∴抛物线的解析式为，即 ‎（3）设平行于轴的直线为 解方程组得， （‎ ‎∴线段CD的长为，∵以CD为直径的圆与轴相切，据题意得，‎ ‎∴，解得 ，∴圆心坐标为和