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- 2021-05-10 发布
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2014高考数学快速命中考点2
一、选择题
1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图1-5-1所示,则该函数的图象是( )
图1-5-1
【解析】 从导数的图象可看出,导函数值先增大后减小,当x=0时,f′(x)有最大值.结合导数的几何意义知,B正确.
【答案】 B
2.已知f(x)=x3-x2+6x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(2)>0;
④f(0)f(2)<0.其中正确结论的序号为( )
A.①③ B.①④
C.②④ D.②③
【解析】 函数的导数为f′(x)=3x2-9x+6=3(x2-3x+2)=3(x-1)(x-2).则函数在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值,因为f(a)=f(b)=f(c)=0,所以函数有3个零点,则f(1)>0,f(2)<0,即解得即2<abc<,所以f(0)=-abc<0,所以f(0)f(1)<0,f(0)f(2)>0.所以选D.
【答案】 D
3.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )
A.1+25ln 5 B.8+25ln
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
【解析】 首先由v(t)=7-3t+=0,可得t=4
,因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s,
此期间行驶的距离为v(t)dt=dt==4+25ln 5.
【答案】 C
4.函数f(x)=的最大值为( )
A.e B.
C.2e D.
【解析】 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
又f′(x)==.
令f′(x)=0得x=,且当00,
当x>时,f′(x)<0,
所以f(x)在x=处取得极大值,也就是函数在定义域上的最大值f()=.
【答案】 D
5.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
【解析】 ∵f′(x)=ex+1>0,∴f(x)是增函数.∵g(x)的定义域是(0,+∞),∴g′(x)=+2x>0,∴g(x)是(0,+∞)上的增函数.∵f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,∴0<a<1.∵g(1)=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,∴1<b<2,∴f(b)>0,g(a)<0.
【答案】 A
二、填空题
6.若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=________.
【解析】 y′=k+,由导数y′|x=1=0,得k+1=0,则k=-1.
【答案】 -1
7.已知函数f(x)=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为________.
【解析】 f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立,
m≥-()2+,
令g(x)=-()2+,则当=1时,函数g(x)取最大值1,故m≥1.
【答案】 [1,+∞)
8.已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若∃x1,x2∈
R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】 f′(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x>-1时,f′(x)>0函数递增;当x<-1时,f′(x)<0函数递减,所以当x=-1时f(x)取得极小值即最小值f(-1)=-.函数g(x)的最大值为a,若∃x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值,即a≥-.
【答案】
三、解答题
9.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
【解】 (1)f′(x)=2ax,∴f′(1)=2a.
又f(1)=a+1=c,
∴f(x)在点(1,c)处的切线方程为y-c=2a(x-1),即y-2ax+a-1=0.
又∵g′(x)=3x2+b,则g′(1)=3+b.又g(1)=1+b=c,
∴g(x)在点(1,c)处的切线方程为
y-(1+b)=(3+b)(x-1),即y-(3+b)x+2=0.
依题意知3+b=2a,且a-1=2,即a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x).当a=3,b=-9时,
h(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1.
h(x)与h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
+
0
-
0
+
h(x)
28
-4
3
由此可知:
当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;
当-3