四川省广安市中考数学试卷解析 23页

2016 年四川省广安市中考数学试卷 　 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项涂在答题卡上，每小题 3 分， 共 30 分） 1．﹣3 的绝对值是（　　） A． B．﹣3 C．3 D．±3 2．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a3）2=﹣4a6 B． =±3 C．m2•m3=m6 D．x3+2x3=3x3 3．经统计我市去年共引进世界 500 强外资企业 19 家，累计引进外资 410000000 美元，数字 410000000 用科学记数法表示为（　　） A．41×107 B．4.1×108 C．4.1×109 D．0.41×109 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． 等边三角形 B． 平行四边行 C． 正五边形 D． 圆 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（　　） A．7 B．10 C．35 D．70 7．初三体育素质测试，某小组 5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 8．下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（　　） A．2π B． π C． π D． π 10．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个不相等的实数根，下列结论： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题 3 分，共 18 分） 11．将点 A（1，﹣3）沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得 到的点 A′的坐标为　　　　　　． 12．如图，直线 l1∥l2，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3=　　　　　　． 13．若反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则第一次函数 y=kx﹣k（k≠0）的 图象经过　　　　　　象限． 14．某市为治理污水，需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道，铺设 120m 后，为加快施 工进度，后来每天比原计划增加 20m，结果共用 11 天完成这一任务，求原计划每天铺设管 道的长度．如果设原计划每天铺设 xm 管道，那么根据题意，可列方程　　　　　　． 15．如图，三个正方形的边长分别为 2，6，8；则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形 给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按 a 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出（x﹣ ）2016 展开式中含 x2014 项的系数是　　　　　　． 　 三、解答题（本大题共 4 小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 3 分） 17．计算：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |． 18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x 满足 2x+4=0． 19．如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长 线于点 F，求证：DF=BE． 20．如图，一次函数 y1=kx+b（k≠0）和反比例函数 y2= （m≠0）的图象交于点 A（﹣1，6） ，B（a，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围． 　 四、实践应用（本大题共 4 个小题，第 21 小题 6 分，第 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分 ） 21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动， 收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图，请 根据图中的信息解答下列问题． （1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动 C”所对应的圆心角度数； （3）若喜欢“交流谈心”的 5 名同学中有三名男生和两名女生；老师想从 5 名同学中任选两 名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率． 22．某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一 种水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3 每吨水果可获利润（千元） 5 7 4 （1）用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车 各多少辆？ （2）水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 吨到 B 地销售（每种水果不 少于一车），假设装运甲水果的汽车为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（ 结果用 m 表示） （3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 23．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高 1.5 米，为了 安全现要作一个不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC（杆 子的地段分别为 D、C），且∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92） （1）求点 D 与点 C 的高度 DH； （2）求所有不锈钢材料的总长度（即 AD+AB+BC 的长，结果精确到 0.1 米） 24．在数学活动课上，老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中（小正方形的边长为 1） 画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与 AB 或 AD 都不平行．画四种图形， 并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）． 　 五、推理与论证 25．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 CF=4，DF= ，求⊙O 的半径 r 及 sinB． 　 六、拓展探究 26．如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在， 说明理由． （3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标． 　 2016 年四川省广安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项涂在答题卡上，每小题 3 分， 共 30 分） 1．﹣3 的绝对值是（　　） A． B．﹣3 C．3 D．±3 【考点】绝对值． 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解． 【解答】解：﹣3 的绝对值是 3． 故选：C． 　 2．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a3）2=﹣4a6 B． =±3 C．m2•m3=m6 D．x3+2x3=3x3 【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；算术平方根的 定义，同底数幂相乘，底数不变指数相加；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解 ． 【解答】解：A、（﹣2a3）2=（﹣2）2•（a3）2=4a6，故本选项错误； B、 =3，故本选项错误； C、m2•m3=m2+3=m5，故本选项错误； D、x3+2x3=3x3，故本选项正确． 故选 D． 　 3．经统计我市去年共引进世界 500 强外资企业 19 家，累计引进外资 410000000 美元，数字 410000000 用科学记数法表示为（　　） A．41×107 B．4.1×108 C．4.1×109 D．0.41×109 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时 ，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 410000000 用科学记数法表示为：4.1×108． 故选：C． 　 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． 等边三角形 B． 平行四边行 C． 正五边形 D． 圆 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形； 平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形； 正五边形是轴对称图形不是中心对称图形； 圆是轴对称图形又是中心对称图形， 故选：D． 　 5．函数 y= 中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围． 【分析】根据负数没有平方根求出 x 的范围，表示在数轴上即可． 【解答】解：由函数 y= ，得到 3x+6≥0， 解得：x≥﹣2， 表示在数轴上，如图所示： 故选 A 　 6．若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（　　） A．7 B．10 C．35 D．70 【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线． 【分析】由正 n 边形的每个内角为 144°结合多边形内角和公式，即可得出关于 n 的一元一 次方程，解方程即可求出 n 的值，将其代入 中即可得出结论． 【解答】解：∵一个正 n 边形的每个内角为 144°， ∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10． 这个正 n 边形的所有对角线的条数是： = =35． 故选 C． 　 7．初三体育素质测试，某小组 5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【考点】方差． 【分析】根据平均数的计算公式先求出编号3 的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答 案． 【解答】解：∵这组数据的平均数是 37， ∴编号 3 的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）=36； 被遮盖的方差是： [（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]=4 ； 故选 B． 　 8．下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判 定与性质；菱形的判定． 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法 、平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外． ②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形 是矩形． ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． ④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等． ⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等 腰梯形． 正确的只有③， 故选 A． 　 9．如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（　　） A．2π B． π C． π D． π 【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解 直角三角形求得线段 OD、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△DOE+S△BEC． 【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E， ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， ∴CE=ED=2 ， 又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•cot60°=2 × =2，OD=2OE=4， ∴S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE•CE= ﹣2 +2 = ． 故选 B． 　 10．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个不相等的实数根，下列结论： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】直接利用抛物线与x 轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数 之间关系分析得出答案． 【解答】解：如图所示：图象与 x 轴有两个交点，则 b2﹣4ac＞0，故①错误； ∵图象开口向上，∴a＞0， ∵对称轴在 y 轴右侧， ∴a，b 异号， ∴b＜0， ∵图象与 y 轴交于 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； 当 x=﹣1 时，a﹣b+c＞0，故此选项错误； ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：﹣2， ∴关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣m=0 有两个不相等的实数根，则 m＞﹣2， 故④正确． 故选：B． 　 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题 3 分，共 18 分） 11．将点 A（1，﹣3）沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得 到的点 A′的坐标为　（﹣2，2）　． 【考点】坐标与图形变化-平移． 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可． 【解答】解：∵点 A（1，﹣3）沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位 长度后得到点 A′， ∴点 A′的横坐标为 1﹣3=﹣2，纵坐标为﹣3+5=2， ∴A′的坐标为（﹣2，2）． 故答案为（﹣2，2）． 　 12．如图，直线 l1∥l2，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3=　70°　． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质得到∠4=∠1=130°，由三角形的外角的性质得到∠5=∠4﹣∠2=70° 根据对顶角相等即可得到结论． 【解答】解：∵直线 l1∥l2， ∴∠4=∠1=130°， ∴∠5=∠4﹣∠2=70° ∴∠5=∠3=70°． 故答案为：70°． 　 13．若反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则第一次函数 y=kx﹣k（k≠0）的 图象经过　一、二、四　象限． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象． 【分析】由题意知，k=1×（﹣3）=﹣3＜0，所以一次函数解析式为 y=﹣3x+3，根据 k，b 的 值判断一次函 y=kx﹣k 的图象经过的象限． 【解答】解：∵反比例函数 y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3）， ∴k=1×（﹣3）=﹣3＜0， ∴一次函数解析式为 y=﹣3x+3，根据 k、b 的值得出图象经过一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． 　 14．某市为治理污水，需要铺设一段全长 600m 的污水排放管道，铺设 120m 后，为加快施 工进度，后来每天比原计划增加 20m，结果共用 11 天完成这一任务，求原计划每天铺设管 道的长度．如果设原计划每天铺设 xm 管道，那么根据题意，可列方程　 　． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 化简，得 ， 故答案为： ． 　 15．如图，三个正方形的边长分别为 2，6，8；则图中阴影部分的面积为　21　． 【考点】三角形的面积． 【分析】根据正方形的性质来判定△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的对应线段成比例求 得 BE 的值；同理，求得△ACF∽△ADG，AC：AD=CF：DG，即 CF=5；然后再来求梯形的 面积即可． 【解答】解：如图， 根据题意，知 △ABE∽△ADG， ∴AB：AD=BE：DG， 又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8， ∴BE=1， ∴HE=6﹣1=5； 同理得，△ACF∽△ADG， ∴AC：AD=CF：DG， ∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8， ∴CF=4， ∴IF=6﹣4=2； ∴S 梯形 IHEF= （IF+HE）•HI = ×（2+5）×6 =21； 所以，则图中阴影部分的面积为 21． 　 16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形 给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按 a 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出（x﹣ ）2016 展开式中含 x2014 项的系数是　﹣4032　． 【考点】整式的混合运算． 【分析】首先确定 x2014 是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【解答】解：（x﹣ ）2016 展开式中含 x2014 项的系数， 根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032． 故答案为﹣4032． 　 三、解答题（本大题共 4 小题，第 17 小题 5 分，第 18、19、20 小题各 6 分，共 3 分） 17．计算：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值 4 个考点． 在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 | =3﹣3 + ﹣3+2 =0． 　 18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 x 满足 2x+4=0． 【考点】分式的化简求值． 【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，求出已知方程的解得到 x 的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式= • = ， 由 2x+4=0，得到 x=﹣2， 则原式=5． 　 19．如图，四边形 ABCD 是菱形，CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF⊥AD 交 AD 的延长 线于点 F，求证：DF=BE． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】连接 AC，根据菱形的性质可得 AC 平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质 可得 CE=FC，然后利用 HL 证明 Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出 DF=BE． 【解答】证明：连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在 Rt△CDF 与 Rt△CBE 中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE． 　 20．如图，一次函数 y1=kx+b（k≠0）和反比例函数 y2= （m≠0）的图象交于点 A（﹣1，6） ，B（a，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出 y1＞y2 时，x 的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）把点 A 坐标代入反比例函数求出 k 的值，也就求出了反比例函数解析式，再 把点 B 的坐标代入反比例函数解析式求出 a 的值，得到点 B 的坐标，然后利用待定系数法 即可求出一次函数解析式； （2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量 x 的取值即可． 【解答】解：（1）把点 A（﹣1，6）代入反比例函数 y2= （m≠0）得： m=﹣1×6=﹣6， ∴ ． 将 B（a，﹣2）代入 得： ﹣2= ， a=3， ∴B（3，﹣2）， 将 A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入一次函数 y1=kx+b 得： ∴ ∴y1=﹣2x+4． （2）由函数图象可得：x＜﹣1 或 0＜x＜3． 　 四、实践应用（本大题共 4 个小题，第 21 小题 6 分，第 22、23、24 小题各 8 分，共 30 分 ） 21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动， 收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图 1、图 2 两个不完整的统计图，请 根据图中的信息解答下列问题． （1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动 C”所对应的圆心角度数； （3）若喜欢“交流谈心”的 5 名同学中有三名男生和两名女生；老师想从 5 名同学中任选两 名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解； （2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由 C 的人数即可得到所对应的圆心角度数； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是 女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解： （1）由题意可得总人数为 10÷20%=50 名； （2）听音乐的人数为 50﹣10﹣15﹣5﹣8=12 名，“体育活动 C”所对应的圆心角度数= =108°， 补全统计图得： （3）画树状图得： ∵共有 20 种等可能的结果，选出都是女生的有 2 种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率= = ． 　 22．某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一 种水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润． 甲 乙 丙 每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3 每吨水果可获利润（千元） 5 7 4 （1）用 8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车 各多少辆？ （2）水果基地计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共 72 吨到 B 地销售（每种水果不 少于一车），假设装运甲水果的汽车为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（ 结果用 m 表示） （3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】（1）根据“8 辆汽车装运乙、丙两种水果共 22 吨到 A 地销售”列出方程组，即可解 答； （2）设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆，b 辆，列出方程组 ，即可解答； （3）设总利润为 w 千元，表示出 w=10m+216．列出不等式组 ，确定 m 的取 值范围 13≤m≤15.5，结合一次函数的性质，即可解答． 【解答】解：（1）设装运乙、丙水果的车分别为 x 辆，y 辆，得： ， 解得： ． 答：装运乙种水果的车有 2 辆、丙种水果的汽车有 6 辆． （2）设装运乙、丙水果的车分别为 a 辆，b 辆，得： ， 解得 ． 答：装运乙种水果的汽车是（m﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m）辆． （3）设总利润为 w 千元， w=4×5m+2×7（m﹣12）=4×3（32﹣2m）=10m+216． ∵ ， ∴13≤m≤15.5， ∵m 为正整数， ∴m=13，14，15， 在 w=10m+216 中，w 随 x 的增大而增大， ∴当 m=15 时，W 最大=366（千元）， 答：当运甲水果的车 15 辆，运乙水果的车 3 辆，运丙水果的车 2 辆，利润最大，最大利润 为 366 元． 　 23．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高 1.5 米，为了 安全现要作一个不锈钢扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC（杆 子的地段分别为 D、C），且∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92） （1）求点 D 与点 C 的高度 DH； （2）求所有不锈钢材料的总长度（即 AD+AB+BC 的长，结果精确到 0.1 米） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）根据图形求出即可； （2）过 B 作 BM⊥AD 于 M，先求出 AM，再解直角三角形求出即可． 【解答】解：（1）DH=1.5 米× =1.2 米； （2）过 B 作 BM⊥AD 于 M， 在矩形 BCHM 中，MH=BC=1 米， AM=AD+DH﹣MH=1 米+1.2 米﹣1 米=1.2 米=1.2 米， 在 Rt△AMB 中，AB= ≈3.0 米， 所以有不锈钢材料的总长度为 1 米+3.0 米+1 米=5.0 米． 　 24．在数学活动课上，老师要求学生在 5×5 的正方形 ABCD 网格中（小正方形的边长为 1） 画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与 AB 或 AD 都不平行．画四种图形， 并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）． 【考点】作图—相似变换． 【分析】在图 1 中画等腰直角三角形；在图 2、3、4 中画有一条直角边为 ，另一条直角 边分别为 3 ，4 ，2 的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长． 【解答】解：如图 1，三角形的周长=2 + ； 如图 2，三角形的周长=4 +2 ； 如图 3，三角形的周长=5 + ； 如图 4，三角形的周长=3 + ． 　 五、推理与论证 25．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 CF=4，DF= ，求⊙O 的半径 r 及 sinB． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接 OA、OD，如图，根据垂径定理得 OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由 AB=BF ，OA=OD 得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°， 则 OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到 AB 是⊙O 切线； （2）先表示出 OF=4﹣r，OD=r，在 Rt△DOF 中利用勾股定理得 r2+（4﹣r）2=（ ）2， 解方程得到 r 的值，那么 OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 然后在 Rt△AOB 中利用勾股定理得 AB2+OA2=OB2，即 AB2+32=（AB+1）2，解方程得到 AB=4 的值，再根据三角函数定义求出 sinB． 【解答】（1）证明：连接 OA、OD，如图， ∵点 D 为 CE 的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BC， ∴∠EOD=90°， ∵AB=BF，OA=OD， ∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D， 而∠BFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°， ∴OA⊥AB， ∴AB 是⊙O 切线； （2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ， 在 Rt△DOF 中，OD2+OF2=DF2，即 r2+（4﹣r）2=（ ）2， 解得 r1=3，r2=1（舍去）； ∴半径 r=3， ∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 在 Rt△AOB 中，AB2+OA2=OB2， ∴AB2+32=（AB+1）2， ∴AB=4，OB=5， ∴sinB= = ． 　 六、拓展探究 26．如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在， 说明理由． （3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先确定出点 A 坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式； （2）先确定出 PD=|m2+4m|，当 PD=OA=3，故存在以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形， 得到|m2+4m|=3，分两种情况进行讨论计算即可； （3）由△PAM 为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线 AP 的解析式，最后求出 直线 AP 和抛物线的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线 y= x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上， ∴A（0，﹣3）， ∵B（﹣4，﹣5）， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 y=x2+ x﹣3， （2）存在， 设 P（m，m2+ m﹣3），（m＜0）， ∴D（m， m﹣3）， ∴PD=|m2+4m| ∵PD∥AO， ∴当 PD=OA=3，故存在以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形， ∴|m2+4m|=3， ①当 m2+4m=3 时， ∴m1=﹣2﹣ ，m2=﹣2+ （舍）， ∴m2+ m﹣3=﹣1﹣ ， ∴P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ）， ②当 m2+4m=﹣3 时， ∴m1=﹣1，m2=﹣3， Ⅰ、m1=﹣1， ∴m2+ m﹣3=﹣ ， ∴P（﹣1，﹣ ）， Ⅱ、m2=﹣3， ∴m2+ m﹣3=﹣ ， ∴P（﹣3，﹣ ）， ∴点 P 的坐标为（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣ ），（﹣3，﹣ ）． （3）如图， ∵△PAM 为等腰直角三角形， ∴∠BAP=45°， ∵直线 AP 可以看做是直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 45°所得， 设直线 AP 解析式为 y=kx﹣3， ∵直线 AB 解析式为 y= x﹣3， ∴k= =3， ∴直线 AP 解析式为 y=3x﹣3， 联立 ， ∴x1=0（舍）x2=﹣ 当 x=﹣ 时，y=﹣ ， ∴P（﹣ ，﹣ ）． 　 2016 年 6 月 23 日