压轴题中考数学压轴题精选精析例 24页

‎2012中考数学压轴题精选精析（41-50例）‎ ‎（右侧加有批注）‎ ‎2011安徽八、（本题满分14分）‎ A B C D l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ h1‎ h2‎ h3‎ ‎23．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．‎ ‎(1)求证：h1＝h2；‎ ‎【证】‎ ‎(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；‎ ‎【证】‎ ‎(3)若h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．‎ ‎【解】‎ ‎23.（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，证△ABE≌△CDG即可.‎ ‎（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，‎ 所以.‎ ‎(3)由题意，得 所以 又 解得0＜h1＜‎ ‎∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；‎ ‎ 当h1=时，S取得最小值；‎ 当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.‎ ‎2011芜湖24．(本小题满分14分)‎ 平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。‎ ‎(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；‎ ‎(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；‎ ‎(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。‎ ‎24．(本小题满分l4分)‎ 解：(1)∵由ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，‎ 点的坐标为(3，0)。‎ 所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)， (3，0)设抛物线的解析式为，可得 ‎ 解得 ‎ ∴过点C，A，的抛物线的解析式为。‎ ‎(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。‎ ‎∴,又.‎ ‎,∴ 又,‎ ‎∴,又△ABO的周长为。‎ ‎∴的周长为。‎ ‎（3）连接OM，设M点的坐标为，‎ ‎∵点M在抛物线上，∴。‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ 因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值 所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。‎ ‎（2011上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；‎ ‎（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．‎ 图1 图2 备用图 ‎25. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)‎ ‎ (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26.‎ ‎ (2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵ ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，‎ ‎ ∴ ，即，∴ EP=x，‎ ‎ 又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴ MP=x=PN，学科王 ‎ BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (02,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，‎ 即P（6，4）．···································5分 ‎（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分） ‎ ‎⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．‎ 设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：‎ ‎；把代入得：，则G，‎ 此时：NG=-（）， ‎ ‎=． ······································７分 ‎∴‎ ‎∴当时，△CAN面积的最大值为，‎ 由，得：，∴N（， -3）． ········ 8分 法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则 ‎（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）‎ ‎（2011年凉山州）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。‎ ‎（1）求抛物线的解析式； ‎ ‎（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；‎ ‎（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。‎ y x O B M N C A ‎28题图 ‎28．（1）∵，∴，。‎ ‎∴，。····················1分 又∵抛物线过点、、，‎ 故设抛物线的解析式为，‎ 将点的坐标代入，求得。‎ ‎　　∴抛物线的解析式为。········3分 ‎（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。‎ ‎∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），‎ ‎∴，。···························4分 ‎∵，∴。‎ ‎∴，∴，∴。·················5分 y x O B E A 图（2）‎ D ‎∴‎ ‎ ······6分 ‎。‎ ‎∴当时，有最大值4。‎ 此时，点的坐标为（2，0）。··············7分 ‎（3）∵点（4，）在抛物线上，‎ y x O B A 图（3）‎ D ‎∴当时，，‎ ‎∴点的坐标是（4，）。‎ 如图（2），当为平行四边形的边时，，‎ ‎∵（4，），∴（0，），。‎ ‎∴，。 ··········9分 ‎ ① 如图（3），当为平行四边形的对角线时，‎ 设，则平行四边形的对称中心为 ‎（，0）。·················10分 ‎∴的坐标为（，4）。‎ 把（，4）代入，得。‎ 解得 。‎ ‎，。····‎ ‎（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：‎ ‎（1）若测得（如图1），求的值；‎ ‎（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；‎ ‎（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．‎ 图1‎ 图2‎ ‎24.解：‎ ‎（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，‎ ‎ ，，‎ ‎，(，) ……… 2分 将(，)代入抛物线得，. ……… 3分 ‎（2）解法一：过点作轴于点，‎ 点的横坐标为， (1，)， ……… 4分 ‎. 又 ，易知，又，‎ ‎△∽△， ……… 5分 设点（，）（），则，，‎ ‎，即点的横坐标为. ……… 6分 解法二：过点作轴于点，‎ 点的横坐标为， (1，)， ……… 4分 ‎ ‎ ‎ ，易知，‎ ‎， ……… 5分 设点（-，）（），则，，‎ ‎，即点的横坐标为. ……… 6分 解法三：过点作轴于点，‎ 点的横坐标为， (1，)， ……… 4分 设（-，）（），则 ‎，，， ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 解得：，即点的横坐标为. ……… 6分 ‎（3）解法一：设（，）（），（，）（），‎ 设直线的解析式为：， 则，……… 7分 得，，‎ ‎ ……… 8分 又易知△∽△，，，……… 9分 ‎.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）………10分 ‎（说明：写出定点的坐标就给2分）‎ 解法二：设（，）（），（，）（），‎ 直线与轴的交点为，根据，可得 ‎，‎ 化简，得. ……… 8分 又易知△∽△，，，……… 9分为固定值.故直线恒过其与轴的交点（,）……… 10分 说明：的值也可以通过以下方法求得.‎ 由前可知，，，，‎ 由，得：，‎ 化简，得.‎ 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准 ‎（2011年桂林市）26．（本题满分12分）已知二次函数的图象如图.‎ ‎（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；‎ ‎（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；‎ ‎（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎26．（本题满分12分）‎ 解: （1）由得 …………1分 ‎∴Ｄ（３，０）…………2分 ‎（2）方法一:‎ 如图1, 设平移后的抛物线的解析式为 ‎ …………3分 则C OC=‎ 令 即 ‎ 得 …………4分 ‎∴A，B ‎∴………5分 ‎……………………6分 ‎∵‎ 即: ‎ 得 (舍去) ……………7分 ‎∴抛物线的解析式为 ……………8分 方法二: ‎ ‎∵ ∴顶点坐标 设抛物线向上平移h个单位,则得到,顶点坐标…………3分 ‎∴平移后的抛物线: ……………………4分 当时, , 得 ‎ ‎∴ A B……………………5分 ‎∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ‎∴OA·OB……………………6分 ‎ 得 ,…………7分 ‎∴平移后的抛物线: …………8分 ‎（3）方法一:‎ 如图2, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………9分 过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H,‎ 则 ‎ ‎∴ ‎ 在Rt△COD中,CD==AD ‎ ‎∴点C在⊙D上 …………………10分 ‎∵‎ ‎ ……11分 ‎∴‎ ‎∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM ‎∴直线CM与⊙D相切 …………12分 方法二:‎ 如图3, 由抛物线的解析式可得 A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M …………9分 作直线CM,过D作DE⊥CM于E, 过M作MH垂直y轴于H,则, , 由勾股定理得 ‎∵DM∥OC ‎ ‎∴∠MCH=∠EMD ‎∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分 ‎∴ 得 …………11分 由(2)知 ∴⊙D的半径为5 ‎ ‎∴直线CM与⊙D相切 …………12分 ‎（达州市2011年）23、(10分)如图，已知抛物线与轴交于A (1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC． ‎ ‎(1)求此抛物线的解析式；‎ ‎(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；‎ ‎(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎23、（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：‎ ‎∵抛物线与轴交于A（1，0）、B（两点，‎ ‎∴‎ 又∵抛物线与轴交于点C（0，3）‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即……………3分 用其他解法参照给分 ‎（2）∵点A（1，0），点C（0，3）‎ ‎∴OA=1，OC=3，‎ ‎∵DC⊥AC，OC⊥轴 ‎∴△QOC∽△COA ‎∴，即 ‎∴OQ=9，……………………4分 又∵点Q在轴的负半轴上，∴Q（‎ 设直线DC的解析式为：，则 ‎ 解之得：‎ ‎∴直线DC的解析式为：……………………5分 ‎∵点D是抛物线与直线DC的交点，‎ ‎∴ 解之得： （不合题意，应舍去）‎ ‎∴点D（……………………6分 用其他解法参照给分 ‎（3）如图，点M为直线上一点，连结AM，PC，PA 设点M（，直线与轴交于点E，∴AE=2‎ ‎∵抛物线的顶点为P，对称轴为 ‎∴P（‎ ‎∴PE=4‎ 则PM=‎ ‎∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC ‎ =‎ ‎=‎ ‎=……………………7分 又∵S四边形AEPC= S△AEP+S△ACP S△AEP=‎ ‎∴+S△ACP=……………………8分 ‎∵S△MAP=2S△ACP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，……………………9分 故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP 点M（或……………………10分 用其他解法参照给分