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- 2021-05-10 发布
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2018中考数学试题分类汇编:考点22 勾股定理
一.选择题(共7小题)
1.(2018•滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】直接根据勾股定理求解即可.
【解答】解:∵在直角三角形中,勾为3,股为4,
∴弦为=5.
故选:A.
2.(2018•枣庄)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为( )
A. B. C. D.
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.
【解答】解:过点F作FG⊥AB于点G,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°,∠FAD+∠AED=90°,
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠FAD,
∴∠CFA=∠AED=∠CEF,
∴CE=CF,
∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°,
∴FC=FG,
∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°,
∴△BFG∽△BAC,
∴=,
∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°,
∴BC=4,
∴=,
∵FC=FG,
∴=,
解得:FC=,
即CE的长为.
故选:A.
3.(2018•泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
【分析】由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,
∵每一个直角三角形的面积为: ab=×8=4,
∴4×ab+(a﹣b)2=25,
∴(a﹣b)2=25﹣16=9,
∴a﹣b=3,
故选:D.
4.(2018•温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A.20 B.24 C. D.
【分析】欲求矩形的面积,则求出小正方形的边长即可,由此可设小正方形的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程求出x的值,进而可求出该矩形的面积.
【解答】解:设小正方形的边长为x,
∵a=3,b=4,
∴AB=3+4=7,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(3+x)2+(x+4)2=72,
整理得,x2+7x﹣12=0,
解得x=或x=(舍去),
∴该矩形的面积=(+3)(+4)=24,
故选:B.
5.(2018•娄底)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα﹣cosα=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长,再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值,进而可求出sinα﹣cosα的值.
【解答】解:∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,
∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即AC2+(7+AC)2=132,
整理得,AC2+7AC﹣60=0,
解得AC=5,AC=﹣12(舍去),
∴BC==12,
∴sinα==,cosα==,
∴sinα﹣cosα=﹣=﹣,
故选:D.
6.(2018•长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.
【解答】解:∵52+122=132,
∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,
∴这块沙田面积为:×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).
故选:A.
7.(2018•东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )
A. B. C. D.
【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.
【解答】解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5π,
所以AC=,
故选:C.
二.填空题(共8小题)
8.(2018•吉林)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为 (﹣1,0) .
【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可.
【解答】解:∵点A,B的坐标分别为(4,0),(0,3),
∴OA=4,OB=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB==5,
∴AC=AB=5,
∴OC=5﹣4=1,
∴点C的坐标为(﹣1,0),
故答案为:(﹣1,0),
9.(2018•玉林)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是 2<AD<8 .
【分析】如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断;
【解答】解:如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.
在Rt△ABE中,∵∠E=30°,AB=4,
∴AE=2AB=8,
在Rt△ABF中,AF=AB=2,
∴AD的取值范围为2<AD<8,
故答案为2<AD<8.
10.(2018•襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 2或2 .
【分析】分两种情况:
①当△ABC是锐角三角形,如图1,
②当△ABC是钝角三角形,如图2,
分别根据勾股定理计算AC和BC即可.
【解答】解:分两种情况:
①当△ABC是锐角三角形,如图1,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∵CD=,AD=1,
∴AC=2,
∵AB=2AC,
∴AB=4,
∴BD=4﹣1=3,
∴BC===2;
②当△ABC是钝角三角形,如图2,
同理得:AC=2,AB=4,
∴BC===2;
综上所述,BC的长为2或2.
故答案为:2或2.
11.(2018•盐城)如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ= 或 .
【分析】分两种情形分别求解:①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,②当AQ=PQ,∠PQB=90°时;
【解答】解:①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,设AQ=PQ=x,
∵PQ∥AC,
∴△BPQ∽△BCA,
∴=,
∴=,
∴x=,
∴AQ=.
②当AQ=PQ,∠PQB=90°时,设AQ=PQ=y.
∵△BQP∽△BCA,
∴=,
∴=,
∴y=.
综上所述,满足条件的AQ的值为或.
12.(2018•黔南州)如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为 60 .
【分析】首先证明△AEF≌△BEC,推出AF=BC=10,设DF=x.由△ADC∽△BDF,推出=,构建方程求出x即可解决问题;
【解答】解:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°,
∵∠BAC=45°,
∴AE=EB,
∵∠EAF+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°,
∴∠EAF=∠CBE,
∴△AEF≌△BEC,
∴AF=BC=10,设DF=x.
∵△ADC∽△BDF,
∴=,
∴=,
整理得x2+10x﹣24=0,
解得x=2或﹣12(舍弃),
∴AD=AF+DF=12,
∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60.
故答案为60.
13.(2018•滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=,∠EAF=45°,则AF的长为 .
【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=x,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.
【解答】解:取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4,
∴NF=x,AN=4﹣x,
∵AB=2,
∴AM=BM=1,
∵AE=,AB=2,
∴BE=1,
∴ME==,
∵∠EAF=45°,
∴∠MAE+∠NAF=45°,
∵∠MAE+∠AEM=45°,
∴∠MEA=∠NAF,
∴△AME∽△FNA,
∴,
∴,
解得:x=,
∴AF==.
故答案为:.
14.(2018•湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为 x2+32=(10﹣x)2 .
【分析】设AC=x,可知AB=10﹣x,再根据勾股定理即可得出结论.
【解答】解:设AC=x,
∵AC+AB=10,
∴AB=10﹣x.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10﹣x)2.
故答案为:x2+32=(10﹣x)2.
15.(2018•黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计).
【分析】
将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【解答】解:如图:
将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,
连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===20(cm).
故答案为20.
三.解答题(共2小题)
16.(2018•杭州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连结CD.
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数.
(2)设BC=a,AC=b.
①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗?说明理由.
②若AD=EC,求的值.
【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠B,根据等腰三角形的性质求出∠BCD,计算即可;
(2)①根据勾股定理求出AD,利用求根公式解方程,比较即可;
②根据勾股定理列出算式,计算即可.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°,
∴∠B=62°,
∵BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=59°,
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°;
(2)①由勾股定理得,AB==,
∴AD=﹣a,
解方程x2+2ax﹣b2=0得,x==﹣a,
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根;
②∵AD=AE,
∴AE=EC=,
由勾股定理得,a2+b2=(b+a)2,
整理得, =.
17.(2018•台湾)嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径R1,R2,R3,其行经位置如图与表所示:
路径
编号
图例
行径位置
第一条路径
R1
_
A→C→D→B
第二条路径
R2
…
A→E→D→F→B
第三条路径
R3
▂
A→G→B
已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断R1、R2、R3这三条路径中,最长与最短的路径分别为何?请写出你的答案,并完整说明理由.
【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长,比较大小即可得.
【解答】解:第一条路径的长度为++=2+,
第二条路径的长度为++1+=+++1,
第三条路径的长度为+=2+,
∵2+<2+<+++1,
∴最长路径为A→E→D→F→B;最短路径为A→G→B.