中考数学总复习直角三角函数 6页

直角三角函数 一、直角三角函数 ‎1、知识梳理 ‎ 1.直角三角形的边角关系（如图）‎ ‎ （1）边的关系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2；‎ ‎ （2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；‎ ‎ （3）边角关系： ‎ ‎①：‎ ‎②：锐角三角函数： ‎ ‎∠A的正弦=；‎ ‎∠A的余弦= ,‎ ‎∠A的正切=‎ 注：三角函数值是一个比值．‎ ‎ 2.特殊角的三角函数值．‎ ‎ 3.三角函数的关系 ‎ (1) 互为余角的三角函数关系．‎ ‎ sin（90○－A）=cosA， cos（90○－A）=sin A ‎ tan（90○－A）= cotA cot（90○－A）=tanA ‎ (2) 同角的三角函数关系．‎ ‎ ①平方关系：sin‎2 A+cos‎2A=l ‎ ②倒数关系：tanA×cotA=1‎ ‎ ③商数关系： ‎ ‎ 4.三角函数的大小比较 ‎ (1) 同名三角函数的大小比较 ‎①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．‎ ‎②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。‎ ‎ (2) 异名三角函数的大小比较 ‎①tanA＞SinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA ‎②cotA ＞cosA．由定义，知cosA=，cotA=；因为 a＜c，所以cotA＞cosA．‎ ‎③若0○ ＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；‎ 若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA ‎2、课前练习 ‎ 1.等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ）‎ ‎ A． D．l ‎2.点M(tan60°，－cos60°）关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）‎ ‎3.计算: ‎ ‎4.在 △ABC中，已知∠C＝90°，sinB=0.6，则cosA的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎5.已知∠A为锐角，且cosA≤0.5，那么（ ）‎ A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90°‎ C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°‎ ‎3、经典考题剖析 ‎1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，‎ ‎∠BDC=60°，AD=l，求BD、DC的长．‎ ‎2.先化简，再求其值，其中x=tan45－cos30°‎ ‎3. 计算：①sin248○＋ sin242○－tan44○×tan45○×tan 46○‎ ‎ ②cos 255○＋ cos235○ ‎ ‎4.比较大小（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）‎ 若α=45○，则sinα________cosα；‎ 若α＜45○，则sinα cosα；‎ 若α＞45°，则 sinα cosα.‎ ‎5.⑴如图①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；‎ ‎ ⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．‎ ‎4、课后训练 ‎ 1. 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ）‎ ‎ A． D．0‎ ‎2.在△ABC中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A）=，sin(90°－B）=，‎ 则△ABC一定是（ ）‎ ‎ A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．等腰三角形 ‎3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),‎ 则cos∠OAB等于__________‎ ‎4.cos2α+sin242○ =1，则锐角α=______.‎ ‎5.在下列不等式中，错误的是（ ）‎ ‎ A.sin45○＞sin30○；B.cos60○＜oos30○；C.tan45○＞tan30○；D.cot30○＜cot60○‎ ‎6.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎7.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于 E点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD的周长．‎ ‎8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8 ，CD⊥AB，‎ 求：①sin∠ACD 的值；②tan∠BCD的值 ‎9.如图 ，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A/B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为‎100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少？（结果精确至‎1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480）‎ ‎10.某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进‎8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．‎1米）‎ 二、解直角三角形应用 ‎1、知识梳理 ‎ 1. 直角三角形边角关系．‎ ‎ （1）三边关系：勾股定理：‎ ‎ （2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°．‎ ‎ （3）边角关系tanA=，sinA=,cosA=，‎ ‎ 2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；‎ ‎（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；‎ ‎（3）已知两边解直角三角形．‎ ‎ 3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 ‎2、课前练习 ‎ 1.如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为山则重叠部分的面积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.如上图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，顶宽为‎3米，路基高为‎4米，则路基的下底宽是（ ）‎ ‎ A．‎15米 B．‎12米 C．‎9米 D．‎‎7米 ‎3.我市东坡中学升国旗时，余露同学站在离旗杆底部‎12米行注目礼，当国旗升到旗杆顶端时，该同学视线的仰角为45°，若他的双眼离地面1．‎3米，则旗杆高度为_________米。‎ ‎4.太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时，测得大树在地面上的影长为‎10米，则大树的高为_________米．‎ ‎5.如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点‎15米 处的C点（AC⊥BA）测得∠A＝50°，则A、B间的距离应为（ ）‎ ‎ A．15sin50°米；B.15cos50°米；C.15tan50°米；D.米 ‎3、经典考题剖析 ‎ 1.如图，点A是一个半径为‎300米的圆形森林公园的中心，在森林公 园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为‎1000米 的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．‎ ‎2. 雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底‎139米的C处(C与塔底B在同一水平线上)，用高‎1.4米的测角仪CD测得塔项A的仰角α=43°(如图)，求这座“千年塔”的高度AB(结果精确到‎0.1米).‎ ‎（参考数据：tan43°≈0.9325,cot43°≈1.0724）‎ ‎3.在一次实践活动中，某课题学习小且用测倾器、皮尺测量旗杆 的高度，他们设计如下方案如图①所示；‎ ‎（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的角∠MCE＝α；‎ ‎（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离A N＝m；‎ ‎（3）量出测倾器的高度AC=h，根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．‎ 如果测量工具不变，请你仿照上述过程，设计一个测量某小山高度 ‎①在图②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）；‎ ‎②写出你的设计方案．‎ ‎4.已知如图，某同学站在自家的楼顶A处估测一底部不能直接到达的宝塔的高度（楼底与宝塔底部在同一水平线上），他在A处测得宝塔底部的俯角为30°，测得宝塔顶部的仰角为45°，测得点A到地面的距离为 ‎18米，请你根据所测的数据求出宝塔的高．（精确到0．‎01米）‎ ‎5.如图，一艘军舰以30海里／时的速度由南向北航行，在A处看灯塔 S在军舰的北偏东30○方向，半小时后航行到B处，看见灯塔S在军 舰的东北方向，求灯塔S和B的距离. ‎ ‎4、课后训练 ‎ 1.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏东时，光线与地面成α角，‎ 房屋朝南的窗子高AB=h米，要在窗子外面上方安装一个水平挡 光板AC，使午间光线不能直接射人室内如图，那么挡光板AC的 宽度为=__________．‎ ‎2.如图，河对岸有一滩AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，‎ 向塔前进s米到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为____米.‎ ‎3.初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度如图，他们 离旗杆底部E点‎30米的D处，用测角仪测得旗杆的仰角为30°，‎ 已知测角仪器高AD=1．‎4米，则旗杆BE的高为_______米（精确 到0．‎1米）．‎ ‎4.如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=‎3米，则相邻两株树的 坡面距离AB 等于（ ）‎ ‎ A．‎6米 B．米 C．‎2‎米 D．‎2‎米 ‎5.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8．‎ 则sin∠ABD的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.如图所示，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C 处，‎ BC′交AD于E，下列结论不一定成立的是（ ）‎ ‎ A.AD=BC′；B.∠EBD= ∠EDB；C.△ABE∽△CBD；D.sin∠ABE=‎ ‎7.某月松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进‎100m到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向，如图，以航标C为圆心，‎120m长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？‎ ‎8.身高相同的甲、乙、丙三位同学星期天到野外去比赛放风筝，看谁放得高（第一名得100分，第二名得80分，第三名得60分），甲、乙、丙放出的线长分别为‎300m，‎250m，‎200m；线与地平面的夹角分别为30 °，45°，60°，假设风筝线是拉直的）请你给三位同学打一下分数？‎ ‎9.某校的教室A位于工地O的正西方向、，且 OA=‎200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒‎6米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为‎130米，试问教室A是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？（已知：sin53°≈0．80，sin37°≈0．60，tan37°≈0．75）‎ ‎10.在一次暖气管道的铺设工作中，工程由A点出发沿正西方向进行，在A点的南偏西60°方向上有一所学校B，如图，占地是以 B为中心方圆 ‎100m的圆形，当工程进行了‎200m后到达C处，此时B在C南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算并分析一下，工程若继续进行下去是否会穿越学校．‎