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- 2021-05-10 发布
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中考数学专项讲解 整体思想
知识梳理
整体思想就是在解决数学问题时,将要解决的问题看作一个整体,通过对问题的整体形式、整体结构、
已知条件和所求综合考虑后.得出结论.整体思想的应用,要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体
构造.整体思想作为重要的数学思想之一,我们在解题过程中经常使用.整体思想使用得恰当,能提高解
题效率和能力,减少不必要的计算和走弯路,直奔主题.因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方
面有着广泛应用.是初中数学学习中的重要思想方法.
典型例题
一、在数与式的运算中的应用
【例 1】 已知代数式 3x2-4x+6 的值为 9,则 的值为 ( )
A.18 B.12 C.9 D.7
【分析】 如果根据题意直接求出 x 再代入到 中求值将非常麻烦,特别是 x 为一个无理数.考
虑到由题意 3x2-4x=3 成立,而 3x2-4x 是 的 3 倍,所以可以将 看作一个整体,则
.
【解】D
此题是灵活运用数学方法,解题技巧求值的问题,首先要观察一直条件和需要求解的代数式,然
后将已知条件变换成适合所求代数式的形式,运用主题带入法即可得解【练习】先化简,再求值
,其中 满足 2-2 -1=0.
【分析】 对分式进行化筒结果为 ,如果把 求出具体值再代入计算会很麻烦,但如果把 2-2
看成一个整体,则由已知可得 2-2 =1,所以原式= .
【解】原式=
当 2-2 =1 时,原式= .
【例 2】计算:
【分析】 如果直接计算,运算量非常大,观察括号内的算式的特征.考虑用“整体替换”.
2 4 63x x− +
2 4 63x x− +
2 4
3x x− 2 4
3x x−
2 4 6 1 6 73x x− + = + =
2 2
2 1 4
2 4 4 2
a a a
a a a a a
+ − − − ÷ − − + − a a a
2
1
2a a− a a a
a a 2
1 12a a
=−
( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 4 4 2 1
2 2 4 22 2
a a a a a
a a a a a aa a a
+ − − − −− ÷ = = − − − −− −
a a 2
1 12a a
=−
1 1 1 1 1 1 1 112 3 4 2008 2 3 4 2007
+ + + + + + + + + − … …
1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2008 2 3 4 2007
+ + + + + + + … + … +
【解】设: , ,
则原式= (1+b)-(1+ )b= -b= .
二、在方程中的应用
【例 3】(08 绍兴)若买 2 支圆珠笔、1 本日记本需 4 元;买 1 支圆珠笔、2 本日记本需 5 元,则买 4 支
圆珠笔、4 本日记本需__________元.
【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为 x 元,y 元,根据题意得方程组: ,如果解出 x
和 y 再求 4 支圆珠笔、4 本日记本需多少元完全可以,但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得
3x+3y=9,这样可得 x+y=3,即圆珠笔和日记本的单价和为 3,把它作为一个整体直接乘以 4 就能得到答案
为 12 元.
【解】D
【例 4】(08 苏州)解方程: .
【分析】 直接去分母解方程固然可以,但观察方程可以先用换元的方法简化方程.
【解】 设 ,则原方程可化为 2t2+t-6=0,解方程得:t1=-2, ,
,x2=2,经检验 ,x2=2 是原方程的解.
三、在几何计算中的应用
【例 5】如图⊙A,⊙B,⊙C 两两不相交,且半径都是 0.5 cm,则图中的阴影部分的面积是
( )
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【分析】 由于不能求出各个扇形的面积,因此要将三个阴影部分作整体考虑,注意到三角形内角和为 180
°,所以三个扇形的圆心角和为 180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积就是半径为
0.5 cm 的半圆的面积,即 .选择 B.
【答案】B
1 1 1 1
2 3 4 2008 a+ + + =… + 1 1 1 1
2 3 4 2007 b+ + + =… +
a a a 1
2008
2 4
2 5
x y
x y
+ =
+ =
( )2
2
2 1 1 6 0x x
x x
+ ++ − =
1x tx
+ = 2
3
2t =
1
1
3x∴ = − 1
1
3x = −
12
π
8
π
4
π
6
π
2 210.5 2 8 cm
ππ × × =
综合训练
1.当代数式 +b 的值为 3 时,代数式 2 +2b+1 的值是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)-1=0,若设 y=x2+x,则原方程可变形为 ( )
A.y2+2y+1=0 B.y2-2y+1=0 C.y2+2y-1=0 D.y2-2y-1=0
3.当 x=1 时,代数式 x3+bx+7 的值为 4,则当 x=-l 时,代数式 x3+bx+7 的值为
A.7 B.10 C.11 D.12 ( )
4.若方程组 的解 x,y 满足 0-4
5.(08 芜湖)已知 ,则代数式 的值为_________.
6.已知 x2-2x-1=0,且 x<0,则 =__________.
7.如果( 2+b2) 2-2( 2+b2)-3=0,那么 2+b2=_________.
8.如图,在高 2 米,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需________米.
9.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 7
cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为__________cm2.
10.如图,ABCD 是各边长都大于 2 的四边形,分别以它的顶点为圆心、1 为半径画弧(弧的端点分别
在四边形的相邻两边上),则这 4 条弧长的和是__________.
a a
a a
3 6 1
3 3
x y k
x y
+ = +
+ =
1 1 3x y
− = 2 14 2
2
x xy y
x xy y
− −
− −
1x x
−
a a a
11.如图,半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O,其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直,以 O 为顶点的两
条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F,则图中阴影部分的面积是________.
12.若买铅笔 4 支,日记本 3 本,圆珠笔 2 支共需 10 元,若买铅笔 9 支,日记本 7 本,圆珠笔 5 支
共需 25 元,则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元.
13.(08 烟台)已知 x(x-1)-(x2-y)=-3,求 x2+y2-2xy 的值.
14.(07 泰州)先化简,再求值:
,其中 是方程 x2+3x+1=0 的根.
15.阅读材料,解答问题.
为了解方程(x2-1) 2-5(x2-1)+4=0.我们可以将 x2-1 视为一个整体,然后设 x2-1=
y,则原方程可化为 y2-5y+4=0①.解得 y1=1,y2=4.当 y=1 时,x2-1=1, x2=2, ;当 y=4
时,x2-1=4, x2=5, . , , , .
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用_______法达到了降次的目的,体现了________的数
学思想;
(2)用上述方法解方程:x4-x2-6=0.
2
2 2
4 1 2
4 4 2 2
a
a a a a a
− − ÷ − + − −
a
∴ ∴ 2x = ±
∴ ∴ 5x = ± ∴ 1 2x = 2 2x = − 3 5x = 4 5x = −
参考答案
1.C 2.C 3.B 4.A 5.4 6.2 7.3 8.2+ 9.49 10.
11. 12.5
13.原题化简得 x-y=3, x2+y2-2xy=(x-y) 2=32=9.
14.解:原式=
是方程 x2+3x+1=0 的根, 2+3 +1=0, 2+3 =-1, 原式=- .
15.(1)换元 整体
(2)设 x2=y 则原方程可化为 y2-y-6=0,解得 y1=3,y2=-2<0(舍去)
当 y=3 时,x2=3, .原方程的解为 .
2 2 3+ 2π
2
π
∴
( )( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 21 2 1
2 2 2 2 22
a a a a a aa
a a aa
+ − − −+ + × = + × − − − −
( ) ( )23 1 32 2
a a a a
+= = +
a ∴ a a ∴ a a ∴ 1
2
∴ ∴ 3x = ± 3x = ±