2012年南宁中考数学试卷 14页

‎2012年广西南宁市中考数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．4的倒数是（　Ｄ　）‎ A．　　　　　　B．‎4　‎　　　　　C．　　　　　　D．‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数，即可求解．‎ ‎【解答】解：4的倒数是．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题关键．‎ ‎2．如图是由六个小正方体组合而成的一个立体图形，它的主视图是（　Ｂ　）‎ A．B．C．D．‎ ‎【考点】考点：简单组合体的三视图．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有2个正方形． 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．考查了学生们的空间想象能力．‎ ‎3．芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学记数法表示为（　Ａ　）‎ A．2.01×10‎-6千克　　B．0.201×10‎-5千克　　C．20.1×10‎-7千克　D．2.01×10‎‎-7千克 ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.000 00201=2.01×10-6；‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤‎ ‎|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　Ａ　）‎ A． 　　B． 　　C． 　　D． ‎ ‎【考点】考点：中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．‎ ‎【解答】解：A、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，解题关键是找出图形的对称中心与对称轴，属于基础题，比较容易解答．‎ ‎5．下列调查：‎ ‎①调查一批灯泡的使用寿命；②调查全班同学的身高；③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；④企业招聘，对应聘人员进行面试．其中符合用抽样调查的是（　Ｂ　）‎ A．①② 　　　　　　B．①③ 　　　　　　C．②④ 　　　　　　D．②③ ‎ ‎【考点】全面调查与抽样调查．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】本题需要根据具体情况正确选择普查或抽样调查等方法，并理解有些调查是不适合使用普查方法的．‎ ‎【解答】解：①调查一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查； ②调查全班同学的身高，适合全面调查； ③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，适合抽样调查； ④企业招聘，对应聘人员进行面试，适合全面调查； 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了全面调查和抽样调查，在解题时选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是本题的关键．‎ ‎6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=‎3cm，BC=‎5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　Ｃ　）‎ A．‎2cm＜OA＜‎5cm 　　　　　　B．‎2cm＜OA＜‎8cm ‎ C．‎1cm＜OA＜‎4cm 　　　　　　D．‎3cm＜OA＜‎8cm ‎ ‎【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】由在平行四边形ABCD中，AB=‎3cm，BC=‎‎5cm ‎，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC=AC，‎2cm＜AC＜‎8cm，继而求得OA的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=‎3cm，BC=‎5cm，‎ ‎∴OA=OC=AC，‎2cm＜AC＜‎8cm，‎ ‎∴‎1cm＜OA＜‎4cm．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．‎ ‎7．若点A（2，4）在函数y=kx-2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　Ａ　）‎ A．（1，1）　　　　　B．（-1，1）　　　　　C．（-2，-2）　　　　　D．（2，-2） ‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】将点A（2，4）代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验即可．‎ ‎【解答】解：∵点A（2，4）在函数y=kx-2的图象上，‎ ‎∴2k-2=4，解得k=3，‎ ‎∴此函数的解析式为：y=3x-2，‎ A、∵3×1-2=1，∴此点在函数图象上，故本选项正确；‎ B、∵3×（-1）-2=-5≠1，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；‎ C、∵3×（-2）-2=-7≠-2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误；‎ D、∵3×2-2=4≠-2，∴此点在不函数图象上，故本选项错误．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．‎ ‎8．下列计算正确的是（　Ｃ　）‎ A．（m-n）2=m2-n2 　B．（2ab3）2=‎2a2b‎6 ‎　C．2xy+3xy=5xy 　D．‎ ‎【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】根据完全平方公式即可判断A；根据积的乘方和幂的乘方，求出式子的结果，即可判断B；根据合并同类项法则求出后即可判断C；根据二次根式的性质求出后即可判断D．‎ ‎【解答】解：A、（m-n）2=m2-2mn+n2，故本选项错误；‎ B、（2ab3）2=‎4a2b6，故本选项错误；‎ C、2xy+3xy=5xy，故本选项正确；‎ D、，故本选项错误；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式的应用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．主要考查学生的辨析能力和计算能力．‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（　Ａ　）‎ A．k=n 　B．h=m 　C．k＜n 　D．h＜0，k＜0 ‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】借助图象找出顶点的位置，判断顶点横坐标、纵坐标大小关系．‎ ‎【解答】解：根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标分别为（h，k），（m，n）， 因为点（h，k）在点（m，n）的下方，所以k=n不正确． 故选A．‎ ‎【点评】本题是抛物线的顶点式定义在图形中的应用．能直接根据函数的解析式说出其顶点坐标是解决此题的关键．‎ ‎10．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　Ｃ　）‎ A．7队 　　　　　　B．6队 　　　　　　C．5队 　　　　　　D．4队 ‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．‎ ‎【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，‎ 依题意得1+2+3+…+x-1=10，‎ 即，‎ ‎∴x2-x-20=0，‎ ‎∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．‎ ‎11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为（　Ｄ　）‎ A．8　　　　B．‎6 ‎　　　　C．5 　　　　D．4 ‎ ‎【考点】切线的性质；等腰直角三角形．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】首先连接OA，OD，由AB，AC都与⊙‎ O相切，根据切线长定理与切线的性质，即可得∠BAO=∠CAO，OD⊥AB，又由在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，易得∠B=45°，OA⊥BC，继而利用三角函数，即可求得⊙O的半径．‎ ‎【解答】解：连接OA，OD，‎ ‎∵AB，AC都与⊙O相切，‎ ‎∴∠BAO=∠CAO，OD⊥AB，‎ ‎∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，‎ ‎∴AO⊥BC，‎ ‎∴∠B=∠BAO=45°，‎ ‎∴OB=AB•cos∠B=8×，‎ ‎∴在Rt△OBD中，OD=OB•sin∠B=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎12．已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k（x-1）-k2 4 ，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（　Ｂ　）‎ A．a=1，b=2　　　　B．a=1，b=‎-2　‎　　　C．a=-1，b=2　　　　D．a=-1，b=-2‎ ‎【考点】二次函数的性质；根的判别式．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】根据题意由y=ax2+bx+c①，y=k（x-1）-②，组成的方程组只有一组解，消去y，整理得，ax2+（b-k）x+1+=0，则△=（b-k）2‎-4a（1+k+）=0，整理得到（1-a）k2-2（‎2a+b）k+b2‎-4a=0，由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，‎2a+b=0，b2‎-4a=0，求出a，b即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得，‎ y=ax2+bx+1①，‎ y=k（x-1）-②，‎ 解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax2+（b-k）x+1+k+=0，‎ ‎∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，‎ ‎∴x有两相等的值，‎ 即△=（b-k）2‎-4a（1+k+）=0，‎ ‎∴（1-a）k2-2（‎2a+b）k+b2‎-4a=0，‎ 由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，‎2a+b=0，b2‎-4a=0，‎ ‎∴a=1，b=-2，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式．二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程组的解的情况确定函数图象交点的问题，而方程组的解的情况转化为一元二次方程根的情况．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 AB∥CD．‎ ‎【考点】平行线的判定．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】根据同位角相等，两直线平行判断．‎ ‎【解答】解：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，‎ 所以∠1=∠2，‎ 所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．‎ 故答案为：AB∥CD．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键．‎ ‎14．在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.5，那么身高更整齐的是　　甲　　队（填“甲”或“乙”）．‎ ‎【考点】方差．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙的方差可作出判断．‎ ‎【解答】解：由于S甲2＜S乙2，则甲队中身高更整齐．‎ ‎∴两队中身高更整齐的是甲队．‎ 故答案为：甲．‎ ‎【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 ‎15．分解因式：ax2-4ax+‎4a= 　　a（x-2）2　　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解．‎ ‎【解答】解：ax2-4ax+‎4a，‎ ‎=a（x2-4x+4），‎ ‎=a（x-2）2．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．‎ ‎16．如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠‎ ADC= 　25°　．‎ ‎【考点】圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】由OA⊥BC，利用垂径定理，即可求得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵OA⊥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠ADC=∠AOB= ×50°=25°．‎ 故答案为：25．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧定理的应用．‎ ‎17．如图，已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是．‎ ‎【考点】一次函数与二元一次方程（组）．‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解．‎ ‎【解答】解：∵由图象可知：函数y=x-2和y=-2x+1的图象的交点P的坐标是（1，-1），‎ 又∵由y=x-2，移项后得出x-y=2，‎ 由y=-2x+1，移项后得出2x+y=1，‎ ‎∴方程组的解是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目．‎ ‎18．有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是20；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是3n+5或3n+4．‎ ‎【考点】规律型：图形的变化类．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可知：‎ ‎①纸张张数为1，图片周长为8=3×1+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4=3×3+5；纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5；…；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5；‎ ‎②纸张张数为1，图片周长为8+2=3×2+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2=3×4+4；纸张张数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2=3×6+4；…；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+4．‎ ‎【解答】解：从图形可推断：‎ 纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5=20；‎ 当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+…+2+4=3n+5；‎ 当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+…+4+2=3n+4．‎ 综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4．‎ 故答案为：20，3n+5或3n+4．‎ ‎【点评】本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎19．计算：．‎ ‎【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分别运算绝对值、二次根式的化简，然后代入sin45°的值，继而合并运算即可．‎ ‎【解答】解：原式．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值，属于基础题，特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．‎ ‎20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎∵解不等式①得：x＞-1，‎ 解不等式②得：x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集为：-1＜x≤2，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为：．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，题型较好，难度适中．‎ ‎21．‎2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．‎ ‎（1）分数段在85～90范围的人数最多；‎ ‎（2）全校共有多少人参加比赛？‎ ‎（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．‎ ‎【考点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】（1）由条形图可直接得出人数最多的分数段；‎ ‎（2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数；‎ ‎（3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人，‎ 故答案为：85～90；‎ ‎（2）全校参加比赛的人数=5+10+6+3=24人；‎ ‎（3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示，‎ 共有9总搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种，‎ 上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为：．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 ‎22．如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．]‎ ‎（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；‎ ‎（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；‎ ‎（2）首先证得：△ABC≌△BAD，则OA=OB，利用等腰三角形中：等边对等角即可证得OE⊥AB．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD； （2）OE⊥AB．理由如下：‎ ‎∵在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA，‎ ‎∴△ABC≌△BAD，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∵点E是AB的中点，‎ ‎∴OE⊥AB．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三线合一定理，正确证明△ABC≌△BAD是关键．‎ ‎23．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=‎1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高．‎ ‎【解答】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 ‎3 米，山坡的坡角为30°．‎ ‎∴DC=BC•cos30°=米，‎ ‎∵CF=‎1米，‎ ‎∴DC=9+1=‎10米，‎ ‎∴GE=‎10米，‎ ‎∵∠AEG=45°，‎ ‎∴AG=EG=‎10米，‎ 在直角三角形BGF中，‎ BG=GF•tan20°=10×0.36=‎3.6米，‎ ‎∴AB=AG-BG=10-3.6=‎6.4米，‎ 答：树高约为‎6.4米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎24．南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．‎ ‎（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？‎ ‎【考点】反比例函数的应用．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；‎ ‎（2）根据题意列出后求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：xy=36，‎ 故（≤x≤）‎ ‎（2）根据题意得：‎ 解得：x=0.3‎ 经检验：是原方程的根 ‎1.5x=0.45‎ 答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题．‎ ‎25．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．‎ ‎（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；‎ ‎（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，继而结合AG=GE，可得出结论．‎ ‎（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，继而可得出结论．‎ ‎（3）根据（1）可得出AE=AB，继而在RT△ADE中，可判断出∠AED为30°，在RT△EFO中求出FO，继而可得出FG的长度．‎ ‎【解答】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴∠EFG=∠AGF，‎ ‎∴∠EFG=∠EGF，‎ ‎∴EF=EG=AG，‎ ‎∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），‎ 又∵AG=GE，‎ ‎∴四边形AGEF是菱形． ‎ ‎（2）连接ON，‎ ‎∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，‎ ‎∴ON⊥BC，‎ ‎∵点O是AE的中点，‎ ‎∴ON是梯形ABCE的中位线，‎ ‎∴点N是线段BC的中点．‎ ‎（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，‎ ‎∴OE=OA=ON=2，‎ 故可得AE=AB=4，‎ 在RT△ADE中，AD=2，AE=4，‎ ‎∴∠AED=30°，‎ 在RT△OEF中，OE=2，∠AED=30°，‎ ‎∴，‎ 故可得FG=．‎ ‎【点评】此题考查了翻折变换的知识，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质，难点在第三问，关键在于得出ON、OE均是△AED的外接圆，然后判断出AE=AB，难度较大．‎ ‎26．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．‎ ‎（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．‎ ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【专题】‎ ‎【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD≌△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）先运用配方法将写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；‎ ‎（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．‎ 在△BCD与△CAE中，‎ ‎∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，‎ ‎∴△BCD≌△CAE，‎ ‎∴BD：CE=CD：AE，‎ ‎∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，‎ ‎∴y：（3-x）=（x+1）：4，‎ ‎∴（-1＜x＜3）；‎ ‎（2）y没有最大值．理由如下：‎ ‎∵‎ 又∵-1＜x＜3，‎ ‎∴y没有最大值；‎ ‎（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．‎ ‎∵A（3，4），∴A′（2，4），‎ ‎∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．‎ 设直线A′B′的解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得．‎ ‎∴直线A′B′的解析式为，‎ 当y=0时，，解得．‎ 故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（，0）．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度．（1）中通过作辅助线证明△BCD≌△CAE是解题的关键，（3）中根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．‎