中考数学常用公式及性质 9页

中考数学常用公式及性质 1． 乘法与因式分解 ‎①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；‎ ‎④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。‎ 2． 幂的运算性质 ‎①am×an＝am+n；②am÷an＝am-n；③(am)n＝amn；④(ab)n＝anbn；⑤()n＝；‎ ‎⑥a-n＝，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。‎ 3． 二次根式 ‎①()2＝a(a≥0)；②＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，b≥0)。 ‎ ‎4.一元二次方程 对于方程：ax2＋bx＋c＝0：‎ ‎①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。‎ 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；‎ 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；‎ 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。‎ ‎②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)。‎ ‎③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。‎ ‎④韦达定理：x1+ x2= x1 x2=‎ ‎5.一次函数 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。‎ ‎①当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；‎ ‎②当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)；‎ ‎③特别地：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点。‎ ‎6.反比例函数 反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线。‎ ‎①当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；‎ ‎②当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。‎ ‎7.二次函数 ‎（1）.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。‎ ‎（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。‎ ‎ ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；‎ 相等，抛物线的开口大小、形状相同。‎ ‎ ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线。‎ ‎（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：‎ 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 ‎（轴）‎ ‎（0,0）‎ ‎（轴）‎ ‎(0, )‎ ‎(,0)‎ ‎(,)‎ ‎()‎ ‎（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ‎ ①公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。‎ ‎ ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。‎ ‎ ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。‎ ‎ 若已知抛物线上两点（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：‎ ‎（5）.抛物线中，的作用 ‎ ①决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。‎ ‎ ②和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线。‎ ‎，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。‎ ‎ ③的大小决定抛物线与轴交点的位置。‎ ‎ 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：‎ ‎ ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.‎ ‎ 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。‎ ‎（6）.用待定系数法求二次函数的解析式 ‎ ①一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.‎ ‎ ②顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。‎ ‎ ③交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。‎ ‎（7）.直线与抛物线的交点 ‎ ①轴与抛物线得交点为(0, )。‎ ‎ ②抛物线与轴的交点。‎ ‎ 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：‎ ‎ a有两个交点()抛物线与轴相交；‎ ‎ b有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切；‎ ‎ c没有交点()抛物线与轴相离。‎ ‎ ③平行于轴的直线与抛物线的交点 ‎ 同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。‎ ‎ ④一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：‎ a方程组有两组不同的解时与有两个交点；‎ b方程组只有一组解时与只有一个交点；‎ c方程组无解时与没有交点。‎ ‎ ⑤抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 ‎ ‎8.统计初步 ‎（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．‎ ‎（2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么：‎ ‎①平均数为：；‎ ‎②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；‎ ‎③方差：数据、……, 的方差为，‎ 则=‎ ‎④标准差：方差的算术平方根。‎ 数据、……, 的标准差，‎ 则=‎ 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。‎ ‎9.频率与概率 ‎（1）频率 频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。‎ ‎（2）概率 ‎①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；‎ P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；‎ ‎②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。‎ ‎③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；‎ ‎10.锐角三角形 ‎①设∠A是△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1。‎ ‎0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。‎ ‎②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA。‎ ‎③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝，sin60º＝cos30º＝， ‎ tan30º＝，tan45º＝1，tan60º＝。‎ h l α ‎④斜坡的坡度：i＝＝．设坡角为α，则i＝tanα＝。‎ ‎11.平面直角坐标系中的有关知识 ‎（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。‎ ‎（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）。‎ ‎12.多边形内角和公式 多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于360º ‎13.平行线段成比例定理 ‎（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C和D、E、F，‎ 则有。‎ ‎（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：‎ ‎14.直角三角形中的射影定理 直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，‎ 则有：（1）（2）（3）‎ ‎15.圆的有关性质 ‎（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径。‎ ‎（2）两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。‎ ‎（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ ‎（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半。‎ ‎（6）同弧或等弧所对的圆周角相等。‎ ‎（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。‎ ‎（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦。、‎ ‎（9）圆内接四边形的对角互补。‎ ‎16.三角形的内心、外心、重心 ‎（1）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点。‎ ‎（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．‎ 常见结论：①Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径；‎ ‎②△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则 ‎（3）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.重心分中线成2:1.‎ ‎17.弦切角定理及其推论 ‎（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。‎ O P B C A ‎（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。‎ 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）‎ 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则 ‎18.面积公式 ‎①S正△＝×(边长)2． ‎ ‎ ②S平行四边形＝底×高．‎ ‎③S菱形＝底×高＝×(对角线的积)，‎ ‎④‎ ‎⑤S圆＝πR2． ‎ ‎⑥l圆周长＝2πR．‎ ‎⑦弧长L＝．‎ ‎ ⑧ ‎ ‎⑨S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，‎ S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2‎ ‎⑩S圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb， ‎ S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2‎ 几何定理 ‎1 过两点有且只有一条直线  2 两点之间线段最短  3 同角或等角的补角相等  4 同角或等角的余角相等  5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直  6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短  7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行  8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行  9 同位角相等，两直线平行  10 内错角相等，两直线平行  11 同旁内角互补，两直线平行  12两直线平行，同位角相等  13 两直线平行，内错角相等  14 两直线平行，同旁内角互补  15 定理 三角形两边的和大于第三边  16 推论 三角形两边的差小于第三边  17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°  18 推论1 直角三角形的两个锐角互余  19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和  20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角  21 全等三角形的对应边、对应角相等  ‎ ‎22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等  23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等  24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等  25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等  26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等  27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等  28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上  29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合  30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）  31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边  32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合  33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°  34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）  35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形  36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形  37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半  38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半  39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等  40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上  41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合  42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形  43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线  44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上  45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称  46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2  47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形  48定理 四边形的内角和等于360°  49四边形的外角和等于360°  50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°  51推论 任意多边的外角和等于360°  52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等  53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等  54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等  55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分  56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形  57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形  58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形  59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形  60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角  61矩形性质定理2 矩形的对角线相等  62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形  63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形  64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等  65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角  66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2  67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形  ‎ ‎68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形  69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等  70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角  71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的  72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分  73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一  点平分，那么这两个图形关于这一点对称  74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等  75等腰梯形的两条对角线相等  76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形  77对角线相等的梯形是等腰梯形  78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段  相等，那么在其他直线上截得的线段也相等  79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰  80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边  81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半  82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 ； S=L×h  83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc  如果ad=bc,那么a:b=c:d  84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d  85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b  86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例  87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例  88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边  89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例  90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似  91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）  92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似  93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）  94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）  95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三  角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似  96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比  97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比  98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方  99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值  100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值  101圆是定点的距离等于定长的点的集合  102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合  103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合  104同圆或等圆的半径相等  105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆  106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线  107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线  108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线  109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。  ‎ ‎110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧  111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧  ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧  ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧  112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等  113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形  114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等  115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等  116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半  117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等  118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径  119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形  120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角  121①直线L和⊙O相交 d＜r  ②直线L和⊙O相切 d=r  ③直线L和⊙O相离 d＞r  122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线  123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径  124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点  125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心  126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角  127圆的外切四边形的两组对边的和相等  128定理 把圆分成n(n≥3):  ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形  ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形  129定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆  130正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n  131定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形  132弧长计算公式：L=n兀R／180  133扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2  ‎