2011湖南衡阳中考数学 11页

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2011湖南衡阳中考数学

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‎2011 年衡阳市初中学业水平考试试题 数 学 一、选择题(本大题10个小题,每小题3分,满分30分)在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的.)‎ ‎1. (2011湖南衡阳,1,3分)的相反数是 ( )‎ A. B.‎5 ‎‎ C.-5 D.-‎ ‎【答案】D ‎2. (2011湖南衡阳,2,3分)某市在一次扶贫助残活动中,共捐款3185800元,将3185800元用科学记数法表示(保留两个有效数字)为( )‎ A.3.1×元 B.3.1×元 C.3.2×元 D.3.18×元 ‎【答案】C ‎3. (2011湖南衡阳,3,3分)如图所示的几何体的主视图是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎4. (2011湖南衡阳,4,3分)下列几个图形是国际通用的交通标志,其中不是中心对称图形的是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎5. (2011湖南衡阳,5,3分)下列计算,正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎6. (2011湖南衡阳,6,3分)函数中自变量x的取值范围是( )‎ A.≥-3 B.≥-3且 C. D.且 ‎【答案】B ‎7. (2011湖南衡阳,7,3分)下列说法正确的是( )‎ A.在一次抽奖活动中,“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖 B.随机抛一枚硬币,落地后正面一定朝上 C.同时掷两枚均匀的骰子,朝上一面的点数和为6‎ D.在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张,抽到的牌是6的概率是 ‎【答案】D ‎8. (2011湖南衡阳,8,3分)如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO的顶点P坐标是(3,4),则顶点M、N的坐标分别是( )‎ A.M(5,0),N(8,4) B.M(4,0),N(8,4)‎ C.M(5,0),N(7,4) D.M(4,0),N(7,4)‎ ‎【答案】A ‎9. (2011湖南衡阳,9,3分)如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=‎5m,则坡面AB的长度是( )‎ A.‎10m B.‎10‎m C.‎15m D.‎5‎m ‎ ‎【答案】A ‎10.(2011湖南衡阳,10,3分)某村计划新修水渠‎3600米,为了让水渠尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成任务,若设原计划每天修水渠米,则下面所列方程正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 二、填空题 (本大题8个小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎11.(2011湖南衡阳,11,3分)计算 .‎ ‎【答案】‎ ‎12.(2011湖南衡阳,12,3分)某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎13.(2011湖南衡阳,13,3分)若,,则的值为 .‎ ‎【答案】 10‎ ‎14.(2011湖南衡阳,14,3分)甲乙两台机床生产同一种零件,并且每天产量相等,在6天众每天生产零件中的次品数依次是:甲:3、0、0、2、0、1、;乙:1、0、2、1、0、2.则甲、乙两台机床中性能较稳定的是 .‎ ‎【答案】乙 ‎ ‎15.(2011湖南衡阳,15,3分)如图,一次函数的图象与轴的交点坐标为(2,0),则下列说法:①随的增大而减小;②>0;③关于的方程的解为.其中说法正确的有 (把你认为说法正确的序号都填上).‎ ‎【答案】 ①②③‎ ‎16.(2011湖南衡阳,16,3分)如图,⊙的直径过弦的中点G,∠EOD=40°,则∠FCD的度数为 .‎ ‎【答案】 20‎ ‎17.(2011湖南衡阳,17,3分)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为 .‎ ‎【答案】 8‎ ‎18.(2011湖南衡阳,18,3分)如图所示,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,‎ CD,DA运动至点A停止,设点P运动的路程为,△ABP的面积为,如果关于的函数图象如图所示,那么△ABC的面积是 .‎ ‎【答案】 10‎ 三、解答题(本大题共有9个小题,满分66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎19.(2011湖南衡阳,19,6分)先化简,再求值.,其中.‎ ‎【解】原式==,‎ 当时,原式==+1=.‎ ‎20.(2011湖南衡阳,20,6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.‎ ‎【解】 由①得≤3,由②得,不等式组的解集为.解集在数轴上表示为 ‎21.(2011湖南衡阳,21,6分)如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF,垂足分别为点E、F.求证:BE=CF.‎ ‎【证明】∵在△ABC中,AD是中线,‎ ‎∴BD=CD,∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD=∠BED=90° ,在△BED与△CFD中,∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD,∴△BED≌△CFD,∴BE=CF.‎ ‎22.(2011湖南衡阳,22,6分)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?‎ ‎【解】 设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩,乙种蔬菜种植了亩,则 ‎,解得,答李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩,乙种蔬菜种植了4亩.‎ ‎23.(2011湖南衡阳,23,6分)我国是世界上严重缺水的国家之一,2011年春季以来,我省遭受了严重的旱情,某校为了组织“节约用水从我做起”活动,随机调查了本校120名同学家庭月人均用水量和节水措施情况,如图10、图11是根据调查结果做出的统计图的一部分.‎ 请根据信息解答下列问题:‎ ‎(1)图10中淘米水浇花所占的百分比为 ;‎ ‎(2)图10中安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为 ;‎ ‎(3)补全图11‎ ‎(4)如果全校学生家庭总人数为3000人,根据这120名同学家庭月人均用水量,估计全校学生家庭月用水总量是多少吨?‎ ‎ 图10‎ ‎ 图11‎ ‎【解】 (1)15﹪;(2)108°;‎ ‎(3) 120-10-41-33-16=20,如下图:‎ ‎(4)(30×1+41×2+20×3+33×4+16×5)÷120=3.2‎ ‎3.2×3000=9600(吨)‎ 答:全校学生家庭月用水总量是9600吨.‎ ‎24.(2011湖南衡阳,24,8分)如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交与点D.‎ ‎(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;‎ ‎(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长.‎ ‎【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切,理由如下:‎ 作直径CE,连结AE.‎ ‎∵CE是直径, ∴∠EAC=90°,∴∠E+∠ACE=90°,‎ ‎∵CA=CB,∴∠B=∠CAB,∵AB∥CD,‎ ‎∴∠ACD=∠CAB,∵∠B=∠E,∠ACD=∠E,‎ ‎∴∠ACE+∠ACD=90°,即∠DCO=90°,‎ ‎∴OC⊥D C,∴CD与⊙O相切.‎ ‎(2)∵CD∥AB,OC⊥D C,∴OC⊥A B,‎ 又∠ACB=120°,∴∠OCA=∠OCB=60°,‎ ‎∵OA=OC,∴△OAC是等边三角形,‎ ‎∴∠DOA=60°, ‎ ‎∴在Rt△DCO中, =,‎ ‎∴DC=OC=OA=2.‎ ‎25.(2011湖南衡阳,25,8分)如图,已知A,B两点的坐标分别为A(0,),B(2,0)直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D(-1,a).‎ ‎(1)求直线AB和反比例函数的解析式;‎ ‎(2)求∠ACO的度数;‎ ‎(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角(α为锐角),得到△OB′C′,当α为多少度时OC′⊥AB,并求此时线段AB′的长.‎ ‎【解】(1)设直线AB的解析式为,将A(0,),B(2,0)代入解析式中,得,解得.∴直线AB的解析式为;将D(-1,a)代入得,∴点D坐标为(-1,),将D(-1,)代入中得,∴反比例函数的解析式为.‎ ‎(2)解方程组得,,∴点C坐标为(3,),‎ 过点C作CM⊥轴于点M,则在Rt△OMC中,‎ ‎,,∴,∴,‎ 在Rt△AOB中,=,∴,‎ ‎∴∠ACO=.‎ ‎(3)如图,∵OC′⊥AB,∠ACO=30°,‎ ‎∴= ∠COC′=90°-30°=60°,∠BOB′==60°,‎ ‎∴∠AOB′=90°-∠BOB′=30°,∵ ∠OAB=90°-∠ABO=30°,‎ ‎∴∠AOB′=∠OAB,‎ ‎∴AB′= OB′=2.‎ 答:当α为60度时OC′⊥AB,并求此时线段AB′的长为2.‎ ‎26.(2011湖南衡阳,26,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=m(m>4),点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合),连结PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.‎ ‎(1)当m=10时,是否存在点P使得点Q与点C重合?若存在,求出此时AP的长;若不存在,说明理由;‎ ‎(2)连结AC,若PQ∥AC,求线段BQ的长(用含m的代数式表示)‎ ‎(3)若△PQD为等腰三角形,求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式,并写出m的取值范围.‎ ‎【解】(1) 假设当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合(如下图),‎ ‎∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,‎ 又∠ADP+∠APD=90°,∴∠BPC=∠ADP,‎ 又∠B=∠A=90°,∴△PBC∽△DAP,∴,‎ ‎∴,∴或8,∴存在点P使得点Q与点C重合,出此时AP的长2 或8.‎ ‎(2) 如下图,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠BPQ=∠ADP,∴∠BAC=∠ADP,又∠B=‎ ‎∠DAP=90°,∴△ABC∽△DAP,∴,即,∴.‎ ‎∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△PBQ∽△ABC,,即,∴.‎ ‎(3)由已知 PQ⊥PD,所以只有当DP=PQ时,△PQD为等腰三角形(如图),‎ ‎∴∠BPQ=∠ADP,又∠B=∠A=90°,∴△PBQ≌△DAP,‎ ‎∴PB=DA=4,AP=BQ=,‎ ‎∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为:S四边形PQCD= S矩形ABCD-S△DAP-S△QBP=‎ ‎==16(4<≤8).‎ ‎27.(2011湖南衡阳,27,10分)已知抛物线.‎ ‎(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;‎ ‎(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.‎ ‎①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.‎ ‎【解】 (1)====,∵不管m为何实数,总有≥0,∴=>0,∴无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.‎ ‎ (2)∵ 抛物线的对称轴为直线x=3,∴,‎ 抛物线的解析式为=,顶点C坐标为(3,-2),‎ 解方程组,解得或,所以A的坐标为(1,0)、B的坐标为(7,6),∵时y=x-1=3-1=2,∴D的坐标为(3,2),设抛物线的对称轴与轴的交点为E,则E的坐标为(3,0),所以AE=BE=3,DE=CE=2,‎ ① 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形,则AP、CD互相垂直平分且相等,于是P与点B重合,但AP=6,CD=4,AP≠CD,故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形.‎ ② ‎(Ⅰ)设直线CD向右平移个单位(>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则直线CD的解析式为x=3,直线CD与直线y=x-1交于点M(3,2),又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,-2),∴D通过向下平移4个单位得到C.‎ ‎∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.‎ ‎(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形,∴M向下平移4个单位得N,‎ ‎∴N坐标为(3,),‎ 又N在抛物线上,∴,‎ 解得(不合题意,舍去),,‎ ‎(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,‎ ‎∴N坐标为(3,),‎ 又N在抛物线上,∴,‎ 解得(不合题意,舍去),,‎ ‎(Ⅱ) 设直线CD向左平移个单位(>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则直线CD的解析式为x=3,直线CD与直线y=x-1交于点M(3,2),又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,-2),∴D通过向下平移4个单位得到C.‎ ‎∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.‎ ‎(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形,∴M向下平移4个单位得N,‎ ‎∴N坐标为(3,),‎ 又N在抛物线上,∴,‎ 解得(不合题意,舍去),(不合题意,舍去),‎ ‎(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,‎ ‎∴N坐标为(3,),‎ 又N在抛物线上,∴,‎ 解得,(不合题意,舍去),‎ 综上所述,直线CD向右平移2或()个单位或向左平移()个单位,可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.‎