最新全等三角形证明题大全辅助线作法证明中考精选共101题全部有试题解析与答案含空白试卷 71页

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：‎ 1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．‎ 2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．‎ 3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．‎ 4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．‎ 5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”‎ 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．‎ 一、 倍长中线（线段）造全等 例1.已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，‎ 求证：AB+AC>2AD。‎ 分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，‎ 但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 ‎ 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。‎ ‎ ‎ ‎ 3图 ‎ 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.‎ 因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC 因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC ‎∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE 因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC ‎∠ADC=∠ABC+∠BAD 所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE 即AD平分∠BAE 应用：‎ 二、截长补短 例1.已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。‎ 求证：BE+CF>EF。‎ 分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。‎ 证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。 延长FD到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG ‎1、如图，中，AB=‎2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 证明：‎ 取AB中点E，连接DE ‎∵AD=BD ‎∴DE⊥AB，即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】‎ ‎∵AB=2AC ‎∴AE=AC 又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】‎ ‎ AD=AD ‎∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）‎ ‎∴∠C=∠AED=90º ‎∴CD⊥AC ‎2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD 在AB上取点N ,使得AN=AC ‎∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180‎ 而∠ANE+∠ENB=180‎ 所以∠ENB=∠BDE ‎∠NBE=∠EBN BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD ‎3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：‎ 做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。‎ ‎（首先算清各角的度数）‎ ‎∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°‎ 且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°‎ ‎∴∠APB=∠APM 又∵AP是BAC的角平分线，‎ ‎∴∠BAP=∠MAP AP是公共边 ‎∴△ABP≌△AMP(角边角）‎ ‎∴AB=AM，BP=MP 在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°‎ ‎∴MP=MC ‎∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC中 ‎∵∠QBC=QCB=40°‎ ‎∴BQ=QC ‎∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ‎∴BQ+AQ=AB+BP ‎ 赞同 ‎4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，‎ 求证： ‎ ‎ 延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC ‎∵∠1=∠2‎ ‎∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）‎ ‎∴在Rt△DFA与Rt△DEC中 ‎｛AD=DC,DF=DE}‎ ‎∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL)‎ ‎∴∠3=∠C 因为∠4+∠3=180°‎ ‎∴∠4+∠C=180°‎ 即∠A+∠C=180°♢‎ ‎ ‎ ‎5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 延长AC至E，使AE=AB，连结PE。‎ 然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~）‎ ‎△PCE中，EC>PE-PC ‎∵EC=AE-AC，AE=AB ‎∴EC=AB-AC 又PB=PE ‎∴PE-PC=PB-PC ‎∴AB-AC>PB-PC ‎ 应用：‎ 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.‎ 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.‎ 四、借助角平分线造全等 ‎1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 在AC上取点F，使AF=AE ‎∵AD是角A的平分线 ‎∴角EAO＝角FAE/‎ ‎∵AO=AO ‎∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）‎ ‎∴EO=FO ，角AOE＝角AOF ‎∵CE是角C的平分线 ‎∴角DCO＝角FCO ‎∵角B＝60°‎ ‎∴角A+角C＝180－60＝120°‎ ‎∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度 ‎∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60°‎ ‎∴角OCF＝角COD ‎∵OC=OC ‎∴三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等）‎ ‎∴CF=CD ‎∴AC=AF+CF＝AE+CD 即：AE+CD=AC ‎2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ‎ ‎（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.‎ 证明：连接BD,CD DG⊥BC于G且平分BC 所以GD为BC垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD 角平分线上的点到角两边距离相等 ‎,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F 所以DE=DF 在RT△BED,RT△CFD中 DE=DF BD=CD RT△BED≌RT△CFD(HL)‎ BE=CF 应用：‎ 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.‎ ‎ 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG，‎ 所以三角形AEF全等于AEG 所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90‎ 所以∠EAF=45度 ‎ 例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。‎ （1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。‎ （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。‎ 做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q ‎∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC ‎∴DP=DQ=½BC=½AC 又∵∠FDQ=∠PDE(旋转）∠DQF=∠DPE=90°‎ ‎∴△DQF≌△DPE ‎∴S△DQF=S△DPE 又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE ‎∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值）‎ ‎∴四边形DECF面积不会改变 例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；‎ ‎ ‎ 我简单说一下 过D点做DE⊥AB的延长线 然后证明DMN≌DME ‎（注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的）‎ ‎ ‎ 全等三角形证明经典50题(含答案)‎ 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A D B C 解：延长AD到E,使AD=DE ‎∵D是BC中点 ‎∴BD=DC ‎ 在△ACD和△BDE中 AD=DE ‎∠BDE=∠ADC BD=DC ‎∴△ACD≌△BDE ‎∴AC=BE=2‎ ‎∵在△ABE中 ‎ AB-BE＜AE＜AB+BE ‎∵AB=4‎ 即4-2＜2AD＜4+2‎ ‎1＜AD＜3‎ ‎∴AD=2‎ 2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：‎ D A B C ‎ 延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ‎∵DP=DC,DA=DB ‎∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90‎ ‎∴平行四边形ACBP为矩形 ‎∴AB=CP=1/2AB ‎ 1. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F ‎2‎ ‎1‎ 证明：连接BF和EF ‎∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ‎∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)‎ ‎∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ‎∴ ∠EBF=∠BEF。‎ ‎∵ ∠ABC=∠AED。‎ ‎∴ ∠ABE=∠AEB。‎ ‎∴ AB=AE。‎ 在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF,‎ ‎∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ‎∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。‎ 2. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC B A C D F ‎2‎ ‎1‎ E ‎ 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ‎ ‎∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC ‎ ‎ 1. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠EAD＝∠CAD ‎∵AE＝AC，AD＝AD ‎∴△AED≌△ACD （SAS）‎ ‎∴∠E＝∠C ‎∵AC＝AB+BD ‎∴AE＝AB+BD ‎∵AE＝AB+BE ‎∴BD＝BE ‎∴∠BDE＝∠E ‎∵∠ABC＝∠E+∠BDE ‎∴∠ABC＝2∠E ‎∴∠ABC＝2∠C 1. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE ‎ 证明： ‎ 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ‎ ‎∵CE⊥AB ‎ ‎∴∠CEB＝∠CEF＝90° ‎ ‎∵EB＝EF，CE＝CE， ‎ ‎∴△CEB≌△CEF ‎ ‎∴∠B＝∠CFE ‎ ‎∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ‎ ‎∴∠D＝∠CFA ‎ ‎∵AC平分∠BAD ‎ ‎∴∠DAC＝∠FAC ‎ ‎∵AC＝AC ‎ ‎∴△ADC≌△AFC（SAS） ‎ ‎∴AD＝AF ‎ ‎∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE 2. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A D B C 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2‎ 1. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：‎ D A B C ‎ 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2‎ 1. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2‎ A B C D E F ‎2‎ ‎1‎ 证明：连接BF和EF。‎ ‎∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。‎ ‎∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。‎ ‎∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。‎ 连接BE。‎ 在三角形BEF中,BF=EF。‎ ‎∴ ∠EBF=∠BEF。‎ 又∵ ∠ABC=∠AED。‎ ‎∴ ∠ABE=∠AEB。‎ ‎∴ AB=AE。‎ 在三角形ABF和三角形AEF中，‎ AB=AE,BF=EF,‎ ‎∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。‎ ‎∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。‎ ‎∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。‎ 2. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC B A C D F ‎2‎ ‎1‎ E ‎ 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴‎ ‎△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC 1. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A C D B 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ‎∵AD平分∠BAC ‎∴∠EAD＝∠CAD ‎∵AE＝AC，AD＝AD ‎∴△AED≌△ACD （SAS）‎ ‎∴∠E＝∠C ‎∵AC＝AB+BD ‎∴AE＝AB+BD ‎∵AE＝AB+BE ‎∴BD＝BE ‎∴∠BDE＝∠E ‎∵∠ABC＝∠E+∠BDE ‎∴∠ABC＝2∠E ‎∴∠ABC＝2∠C 2. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE ‎ 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ‎ ‎∵CE⊥AB ‎ ‎∴∠CEB＝∠CEF＝90° ‎ ‎∵EB＝EF，CE＝CE， ‎ ‎∴△CEB≌△CEF ‎ ‎∴∠B＝∠CFE ‎ ‎∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ‎ ‎∴∠D＝∠CFA ‎ ‎∵AC平分∠BAD ‎ ‎∴∠DAC＝∠FAC ‎ 又∵AC＝AC ‎ ‎∴△ADC≌△AFC（SAS） ‎ ‎∴AD＝AF ‎ ‎∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE ‎12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。‎ ‎ 在BC上截取BF=AB，连接EF ‎∵BE平分∠ABC ‎∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ‎∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）‎ ‎∴∠A=∠BFE ‎∵AB//CD ‎∴∠A+∠D=180º ‎∵∠BFE+∠CFE=180º ‎∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD ‎ CE=CE ‎∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）‎ ‎∴CD=CF ‎∴BC=BF+CF=AB+CD ‎13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C D C B A F E AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，‎ ‎∵∠EAB=∠BDE，‎ ‎∴∠AED=∠ABD，‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形。‎ ‎∴得：AE=BD，‎ ‎∵AF=CD,EF=BC，‎ ‎∴三角形AEF全等于三角形DBC，‎ ‎∴∠F=∠C。‎ 14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A B C D 证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：‎ ‎△AED是等腰三角形。‎ ‎∴AE=DE 而AB=CD ‎∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）‎ ‎∴△BEC是等腰三角形 ‎∴∠B=∠C.‎ 14. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PBDE。当∠AEB越小，则DE越小。‎ 证明：‎ 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。‎ RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°‎ ‎∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°‎ ‎△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°‎ RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ‎ ‎∠AFB=90°-∠FBA>45°‎ ‎∴AB>AF ‎∵AB=CE AF=DE ‎∴CE>DE ‎49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.‎ A B E C D ‎∵AB=DC,AC=DB，BC=BC ‎∴△ABC≌△DCB，‎ ‎∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE，AB=DC ‎∴△ABE≌△DCE ‎∴AE=DE ‎50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．‎ A B C D E F 图9‎ 作CG⊥AB,交AD于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB ∴△CFD≌△BED ∴∠ADC=∠BDE ‎ ‎51.已知：AB=10，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A D B C 证明: 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2‎ 在三角形ABE中,AB-BEPB－PC。‎ ‎ ‎ 法二：‎ 延长至，使，连接 在与中 ‎(SAS)‎ 在中， ‎ ‎。‎ 思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。‎ 小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。‎ 同步练习 一、选择题：‎ ‎1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )‎ ‎ A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 ‎ C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等 ‎2. 根据下列条件，能画出唯一的是( )‎ ‎ A. ，， B. ，，‎ ‎ C. ，， D. ，‎ ‎3. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④。其中能使的条件有( )‎ ‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎4. 如图，，，交于点，下列不正确的是( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. 不全等于 D. 是等腰三角形 ‎5. 如图，已知，，，则等于( )‎ ‎ A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：‎ ‎6. 如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________；‎ ‎7. 如图，已知，，是上的两点，且，若，，则____________；‎ ‎8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_________；‎ ‎9. 如图，在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于____________；‎ ‎10. 如图，点在同一条直线上，//，//，且，若，，则___________；‎ 三、解答题：‎ ‎11. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。‎ ‎12. 如图，，，为上一点，，，交延长线于点。求证：。‎ 同步练习的答案 一、选择题：‎ ‎1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题：‎ ‎6. 4 7. 8. 9. 10 10. 6‎ 三、解答题：‎ ‎11. 解：为等边三角形 ‎，‎ 在与中 ‎(SAS)‎ ‎。‎ ‎12. 证明：，‎ 在与中 ‎(AAS)‎ ‎。‎