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- 2021-05-10 发布
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2016年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题:每小题3分,共30分
1.的倒数是( )
A.﹣ B. C.2016 D.﹣2016
2.等腰三角形有一个角是90°,则另两个角分别是( )
A.30°,60° B.45°,45° C.45°,90° D.20°,70°
3.平面直角坐标系内的点A(﹣1,2)与点B(﹣1,﹣2)关于( )
A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称
4.中国的领水面积约为370000km2,其中南海的领水面积约占我国领水面积的,用科学记数法表示中国南海的领水面积是( )
A.37×105km2 B.37×104km2 C.0.85×105km2 D.1.85×105km2
5.从数字2,3,4中任选两个数组成一个两位数,组成的数是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,使其拐角∠ABC=150°,∠BCD=30°,则( )
A.AB∥BC B.BC∥CD C.AB∥DC D.AB与CD相交
7.一个长方体的三视图如图所示,则这个长方体的体积为( )
A.30 B.15 C.45 D.20
8.如图,⊙O的半径为1,分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为( )
A.π B.π C.π D.2π
9.函数y=k(x﹣k)与y=kx2,y=(k≠0),在同一坐标系上的图象正确的是( )
A. B. C. D.
10.8月份是新学期开学准备季,东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售.优惠方案分别是:在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后,超出部分按50%收费;在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后,超出部分按60%收费,郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书,她在哪家书店消费更优惠( )
A.东风 B.百惠 C.两家一样 D.不能确定
二、填空题:每小题3分,共18分
11.分解因式:4x2﹣4xy+y2= .
12.数据499,500,501,500的中位数是 .
13.如图,两同心圆的大圆半径长为5cm,小圆半径长为3cm,大圆的弦AB与小圆相切,切点为C,则弦AB的长是 .
14.下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是 (填序号)
15.如图,正方形ABCD的面积为3cm2,E为BC边上一点,∠BAE=30°,F为AE的中点,过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=AE,则AM的长等于 cm.
16.甲乙二人在环形跑道上同时同地出发,同向运动.若甲的速度是乙的速度的2倍,则甲运动2周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度3倍,则甲运动
周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度4倍,则甲运动周,甲、乙第一次相遇,…,以此探究正常走时的时钟,时针和分针从0点(12点)同时出发,分针旋转 周,时针和分针第一次相遇.
三、解答题:共102分
17.计算:(﹣)﹣1+3tan30°﹣+(﹣1)2016.
18.化简:÷并任选一个你认为合理的正整数代入求值.
19.在平面直角坐标系内按下列要求完成作图(不要求写作法,保留作图痕迹).
(1)以(0,0)为圆心,3为半径画圆;
(2)以(0,﹣1)为圆心,1为半径向下画半圆;
(3)分别以(﹣1,1),(1,1)为圆心,0.5为半径画圆;
(4)分别以(﹣1,1),(1,1)为圆心,1为半径向上画半圆.
(向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方)
20.下表是博文学校初三•一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩(单位:分).
慧慧
116
124
130
126
121
127
126
122
125
123
聪聪
122
124
125
128
119
120
121
128
114
119
回答下列问题:
(1)分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数;
(2)分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差;
(3)根据(1)(2)你认为选谁参加全国数学竞赛更合适?并说明理由;
(4)由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱,学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动,求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率.
21.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查,一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°,C岛在北偏东15°,航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°,求B,C两岛及A,C两岛的距离(≈2.45,结果保留到整数)
22.如图,一块长5米宽4米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度;
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.
23.如图,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(0,﹣6),B(8,0)三点在⊙P上.
(1)求圆的半径及圆心P的坐标;
(2)M为劣弧的中点,求证:AM是∠OAB的平分线;
(3)连接BM并延长交y轴于点N,求N,M点的坐标.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与一次函数y=k(x﹣2)的图象交点为A(3,2),B(x,y).
(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标;
(2)若C是y轴上的点,且满足△ABC的面积为10,求C点坐标.
25.如图,正方形ABCD的边长为3cm,P,Q分别从B,A出发沿BC,AD方向运动,P点的运动速度是1cm/秒,Q点的运动速度是2cm/秒,连接A,P并过Q作QE⊥AP垂足为E.
(1)求证:△ABP∽△QEA;
(2)当运动时间t为何值时,△ABP≌△QEA;
(3)设△QEA的面积为y,用运动时刻t表示△QEA的面积y(不要求考t的取值范围).(提示:解答(2)(3)时可不分先后)
26.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(2,0),C(3,5).
(1)求过点A,C的直线解析式和过点A,B,C的抛物线的解析式;
(2)求过点A,B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使AQ与⊙P相切,若存在请求出Q点坐标.
2016年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:每小题3分,共30分
1.的倒数是( )
A.﹣ B. C.2016 D.﹣2016
【考点】倒数.
【分析】根据倒数的定义,即可解答.
【解答】解:的倒数是2016.
故选:C.
2.等腰三角形有一个角是90°,则另两个角分别是( )
A.30°,60° B.45°,45° C.45°,90° D.20°,70°
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】由于等腰三角形的两底角相等,所以90°的角只能是顶角,再利用三角形的内角和定理可求得另两底角.
【解答】解:∵等腰三角形的两底角相等,
∴两底角的和为180°﹣90°=90°,
∴两个底角分别为45°,45°,
故选B.
3.平面直角坐标系内的点A(﹣1,2)与点B(﹣1,﹣2)关于( )
A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点:纵坐标互为相反数,横坐标不变可得答案.
【解答】解:平面直角坐标系内的点A(﹣1,2)与点B(﹣1,﹣2)关于x轴对称.
故选:B.
4.中国的领水面积约为370000km2,其中南海的领水面积约占我国领水面积的,用科学记数法表示中国南海的领水面积是( )
A.37×105km2 B.37×104km2 C.0.85×105km2 D.1.85×105km2
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,整数位数减1即可.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:370000×=185000=1.85×105,
故选D.
5.从数字2,3,4中任选两个数组成一个两位数,组成的数是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出组成的数是偶数的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中组成的数是偶数的结果数为4,
所以组成的数是偶数的概率==.
故选A.
6.如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,使其拐角∠ABC=150°,∠BCD=30°,则( )
A.AB∥BC B.BC∥CD C.AB∥DC D.AB与CD相交
【考点】平行线的判定.
【分析】根据同旁内角互补,两直线平行即可求解.
【解答】解:∵∠ABC=150°,∠BCD=30°,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴AB∥DC.
故选:C.
7.一个长方体的三视图如图所示,则这个长方体的体积为( )
A.30 B.15 C.45 D.20
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】易得该长方体长为3,宽为2,高为5,根据长方体的体积=长×宽×高列式计算即可求解.
【解答】解:观察图形可知,该几何体为长3,宽2,高5的长方体,
长方体的体积为3×2×5=30.
故选:A.
8.如图,⊙O的半径为1,分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为( )
A.π B.π C.π D.2π
【考点】圆的认识.
【分析】将下面阴影部分进行对称平移,根据半圆的面积公式列式计算即可求解.
【解答】解:π×12×
=π×1×
=π.
答:图中阴影部分的面积为π.
故选:B.
9.函数y=k(x﹣k)与y=kx2,y=(k≠0),在同一坐标系上的图象正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.
【分析】将一次函数解析式展开,可得出该函数图象与y轴交于负半轴,分析四个选项可知,只有C选项符合,由此即可得出结论.
【解答】解:一次函数y=k(x﹣k)=kx﹣k2,
∵k≠0,
∴﹣k2<0,
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴.
A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,A不正确;
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,B不正确;
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴,C可以;
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,D不正确.
故选C.
10.8月份是新学期开学准备季,东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售.优惠方案分别是:在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后,超出部分按50%收费;在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后,超出部分按60%收费,郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书,她在哪家书店消费更优惠( )
A.东风 B.百惠 C.两家一样 D.不能确定
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】分析:本题可以直接求出郝爱在两家书店购买学习用品或工具书的钱数,比较一下便可得到答案.
【解答】解:依题意,
若在东风书店购买,需花费:60+×50%=180(元),
若在百惠书店购买,需花费:50+×60%=200(元).
∵180<200
∴郝爱同学在东风书店购买学习用品或工具书便宜.
故选:A
二、填空题:每小题3分,共18分
11.分解因式:4x2﹣4xy+y2= (2x﹣y)2 .
【考点】因式分解-运用公式法.
【分析】符合完全平方公式的特点:两项平方项,另一项为两底数积的2倍,直接利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解:4x2﹣4xy+y2,
=(2x)2﹣2×2x•y+y2,
=(2x﹣y)2.
12.数据499,500,501,500的中位数是 500 .
【考点】中位数.
【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列,再根据中位数的概念解答即可.
【解答】解:将该组数据按照从小到大的顺序排列为:499,500,500,501,
可得改组数据的中位数为: =500,
故答案为:500.
13.如图,两同心圆的大圆半径长为5cm,小圆半径长为3cm,大圆的弦AB与小圆相切,切点为C,则弦AB的长是 8cm .
【考点】切线的性质.
【分析】根据切线的性质以及垂径定理,在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC,即可得出AB的长.
【解答】解:∵AB是⊙O切线,
∴OC⊥AB,
∴AC=BC,
在Rt△BOC中,∵∠BCO=90°,OB=5,OC=3,
∴BC==4(cm),
∴AB=2BC=8cm.
故答案为:8cm.
14.下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是 ①②③④ (填序号)
【考点】轴对称图形.
【分析】结合图象根据轴对称图形的概念解答即可.
【解答】解:根据轴对称图形的概念,可得出①②③④均为轴对称图形.
故答案为:①②③④.
15.如图,正方形ABCD的面积为3cm2,E为BC边上一点,∠BAE=30°,F为AE的中点,过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N.若MN=AE,则AM的长等于 或 cm.
【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
【分析】如图,作DH∥MN,先证明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE,在RT△AFM中求出AM即可,再根据对称性求出AM′,由此即可解决问题.
【解答】解:如图,作DH∥MN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠B=90°,AB∥CD,
∴四边形DHMN是平行四边形,
∴DH=MN=AE,
在RT△ADH和RT△BAE中,
,
∴△ADH≌△BAE,
∴∠ADH=∠BAE,
∴∠ADH+∠AHD=∠ADH+∠AMN=90°,
∴∠BAE+∠AMN=90°,
∴∠AFM=90°,
在RT△ABE中,∵∠B=90°,AB=,∠BAE=30°,
∴AE•cos30°=AB,
∴AE=2,
在RT△AFM中,∵∠AFM=90°,AF=1,∠FAM=30°,
∴AM•cos30°=AF,
∴AM=,
根据对称性当M′N′=AE时,BM′=,AM′
故答案为或.
16.甲乙二人在环形跑道上同时同地出发,同向运动.若甲的速度是乙的速度的2倍,则甲运动2周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度3倍,则甲运动周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度4倍,则甲运动周,甲、乙第一次相遇,…,以此探究正常走时的时钟,时针和分针从0点(12点)同时出发,分针旋转 周,时针和分针第一次相遇.
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】直接利用时针和分针第一次相遇,则时针比分针少转了一周,再利用分针转动一周60分钟,时针转动一周720分钟,进而得出等式求出答案.
【解答】解:设分针旋转x周后,时针和分针第一次相遇,则时针旋转了(x﹣1)周,
根据题意可得:60x=720(x﹣1),
解得:x=.
故答案为:.
三、解答题:共102分
17.计算:(﹣)﹣1+3tan30°﹣+(﹣1)2016.
【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式(﹣)﹣1+3tan30°﹣+(﹣1)2016的值是多少即可.
【解答】解:(﹣)﹣1+3tan30°﹣+(﹣1)2016
=﹣3+3×﹣3+1
=﹣3+﹣3+1
=﹣2﹣2
18.化简:÷并任选一个你认为合理的正整数代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简,再选取合适的a的值代入进行计算即可.
【解答】解:原式=÷
=×
=﹣,
当a=1时,原式=﹣
19.在平面直角坐标系内按下列要求完成作图(不要求写作法,保留作图痕迹).
(1)以(0,0)为圆心,3为半径画圆;
(2)以(0,﹣1)为圆心,1为半径向下画半圆;
(3)分别以(﹣1,1),(1,1)为圆心,0.5为半径画圆;
(4)分别以(﹣1,1),(1,1)为圆心,1为半径向上画半圆.
(向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方)
【考点】作图—复杂作图.
【分析】(1)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可;
(2)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可;
(3)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可;
(4)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可.
【解答】解:(1)如图所示:⊙O,即为所求;
(2)如图所示:半圆O1,即为所求;
(3)如图所示:⊙O2,⊙O3,即为所求;
(4)如图所示:半圆O2,半圆O3,即为所求.
20.下表是博文学校初三•一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩(单位:分).
慧慧
116
124
130
126
121
127
126
122
125
123
聪聪
122
124
125
128
119
120
121
128
114
119
回答下列问题:
(1)分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数;
(2)分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差;
(3)根据(1)(2)你认为选谁参加全国数学竞赛更合适?并说明理由;
(4)由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱,学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动,求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率.
【考点】列表法与树状图法;算术平均数;方差.
【分析】(1)把慧慧和聪聪的成绩都减去125,然后计算她们的平均成绩;
(2)根据方差公式计算两组数据的方差;
(3)根据平均数的大小和方差的意义进行判断;
(4)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出两名学生分别在初三•二班和初三•三班的结果数,然后根据概率公式计算.
【解答】解:(1)慧慧的平均分数=125+(﹣9﹣1+5+1+6+2+1﹣3+0﹣2)=125(分),
聪聪的平均分数=125+(﹣3﹣1+0+3﹣6﹣5+6+3﹣11﹣6)=123(分);
(2)慧慧成绩的方差 S2= [92+12+52+12+42+22+12+32+02+22]=14.2,
聪聪成绩的方差S2= [12+12+22+52+42+32+82+52+92+42]=24.2,
(3)根据(1)可知慧慧的平均成绩要好于聪聪,根据(2)可知慧慧的方差小于聪聪的方差,因为方差越小越稳定,所以慧慧的成绩比聪聪的稳定,因此选慧慧参加全国数学竞赛更合适一些.
(4)画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中两名学生分别在初三•二班和初三•三班的结果数为2,
所以两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率==.
21.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查,一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°,C岛在北偏东15°,航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°,求B,C两岛及A,C两岛的距离(≈2.45,结果保留到整数)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D,由等腰直角三角形的性质求出AD的长,再由直角三角形的性质即可得出结论.
【解答】解:由题意知:∠BAC=45°,∠FBA=30°,∠EBC=45°,AB=100海里;
过B点作BD⊥AC于点D,
∵∠BAC=45°,
∴△BAD为等腰直角三角形;
∴BD=AD=50,∠ABD=45°;
∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°,
∴∠C=30°;
∴在Rt△BCD中BC=100≈141海里,CD=50,
∴AC=AD+CD=50+50≈193海里.
22.如图,一块长5米宽4米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度;
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】(1)设条纹的宽度为x米,根据等量关系:配色条纹所占面积=整个地毯面积的,列出方程求解即可;
(2)根据总价=单价×数量,可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数,再相加即可求解.
【解答】解:(1)设条纹的宽度为x米.依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4,
解得:x1=(不符合,舍去),x2=.
答:配色条纹宽度为米.
(2)条纹造价:×5×4×200=850(元)
其余部分造价:(1﹣)×4×5×100=1575(元)
∴总造价为:850+1575=2425(元)
答:地毯的总造价是2425元.
23.如图,在平面直角坐标系中,O(0,0),A(0,﹣6),B(8,0)三点在⊙P上.
(1)求圆的半径及圆心P的坐标;
(2)M为劣弧的中点,求证:AM是∠OAB的平分线;
(3)连接BM并延长交y轴于点N,求N,M点的坐标.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)先利用勾股定理计算出AB=10,再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径,则得到⊙P的半径是5,然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标;
(2)根据圆周角定理由=,∠OAM=∠MAB,于是可判断AM为∠OAB的平分线;
(3)连接PM交OB于点Q,如图,先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB,BQ=OQ=OB=4,再利用勾股定理计算出PQ=3,则MQ=2,于是可写出M点坐标,接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4,然后写出N点的坐标.
【解答】解:(1)∵O(0,0),A(0,﹣6),B(8,0),
∴OA=6,OB=8,
∴AB==10,
∵∠AOB=90°,
∴AB为⊙P的直径,
∴⊙P的半径是5
∵点P为AB的中点,
∴P(4,﹣3);
(2)∵M点是劣弧OB的中点,
∴=,
∴∠OAM=∠MAB,
∴AM为∠OAB的平分线;
(3)连接PM交OB于点Q,如图,
∵=,
∴PM⊥OB,BQ=OQ=OB=4,
在Rt△PBQ中,PQ===3,
∴MQ=2,
∴M点的坐标为(4,2);
∵MQ∥ON,
而OQ=BQ,
∴MQ为△BON的中位线,
∴ON=2MQ=4,
∴N点的坐标为(0,4).
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与一次函数y=k(x﹣2)的图象交点为A(3,2),B(x,y).
(1)求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标;
(2)若C是y轴上的点,且满足△ABC的面积为10,求C点坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)根据点A(3,2)在反比例函数y=,和一次函数y=k(x﹣2)上列出m和k的一元一次方程,求出k和m的值即可;联立两函数解析式,求出交点坐标;
(2)设C点的坐标为(0,yc),求出点M的坐标,再根据△ABC的面积为10,知×3×|yc﹣(﹣4)|+×1×|yc﹣(﹣4)|=10,求出yC的值即可.
【解答】解:(1)∵点A(3,2)在反比例函数y=,和一次函数y=k(x﹣2)上;
∴2=,2=k(3﹣2),解得m=6,k=2;
∴反比例函数解析式为y=,和一次函数解析式为y=2x﹣4;
∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点,
∴=2x﹣4,解得x1=3,x2=﹣1;
∴B点的坐标为(﹣1,6);
(2)∵点M是一次函数y=2x﹣4与y轴的交点,
∴点M的坐标为(0,﹣4),
设C点的坐标为(0,yc),由题意知×3×|yc﹣(﹣4)|+×1×|yc﹣(﹣4)|=10,
解得|yc+4|=5,
当yc+4≥0时,yc+4=5,解得Yc=1,
当yc+4≤0时,yc+4=﹣5,解得Yc=﹣9,
∴点C的坐标为(0,1)或(0,﹣9).
25.如图,正方形ABCD的边长为3cm,P,Q分别从B,A出发沿BC,AD方向运动,P点的运动速度是1cm/秒,Q点的运动速度是2cm/秒,连接A,P并过Q作QE⊥AP垂足为E.
(1)求证:△ABP∽△QEA;
(2)当运动时间t为何值时,△ABP≌△QEA;
(3)设△QEA的面积为y,用运动时刻t表示△QEA的面积y(不要求考t的取值范围).(提示:解答(2)(3)时可不分先后)
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可;
(2)根据全等三角形的判定和性质,利用勾股定理解答即可;
(3)根据相似三角形的性质得出函数解析式即可.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形;
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°,
∵QE⊥AP;
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°
∴∠BAP=∠EQA,∠B=∠AEQ;
∴△ABP∽△QEA(AA)
(2)∵△ABP≌△QEA;
∴AP=AQ(全等三角形的对应边相等);
在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2,AQ2=(2t)2
即32+t2=(2t)2
解得t1=,t2=﹣(不符合题意,舍去)
答:当t取时△ABP与△QEA全等.
(3)由(1)知△ABP∽△QEA;
∴=()2
∴=()2
整理得:y=.
26.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(2,0),C(3,5).
(1)求过点A,C的直线解析式和过点A,B,C的抛物线的解析式;
(2)求过点A,B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使AQ与⊙P相切,若存在请求出Q点坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)利用抛物线和x轴的两个交点坐标,设出抛物线的解析式y=a(x﹣x1)(x﹣x2),代入即可得出抛物线的解析式,再设出直线AC的解析式,利用待定系数法即可得出答案;
(2)先求得抛物线的顶点D的坐标,再设点P坐标(0,Py),根据A,B,D三点在⊙P上,得PB=PD,列出关于Py的方程,求解即可得出P点的坐标;
(3)假设抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切,设Q点的坐标为(m,m2﹣4),根据平面内两点间的距离公式,即可得出关于m的方程,求出m的值,即可得出点Q的坐标.
【解答】解:(1)∵A(﹣2,0),B(2,0);
∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣2)(x+2)…①,
把C(3,5)代入①得a=1;
∴二次函数的解析式为:y=x2﹣4;
设一次函数的解析式为:y=kx+b(k≠0)…②
把A(﹣2,0),C(3,5)代入②得,
解得,
∴一次函数的解析式为:y=x+2;
(2)设P点的坐标为(0,Py),
由(1)知D点的坐标为(0,﹣4);
∵A,B,D三点在⊙P上;
∴PB=PD;
∴22+Py2=(﹣4﹣Py)2,
解得:Py=﹣;
∴P点的坐标为(0,﹣);
(3)在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切.
理由如下:设Q点的坐标为(m,m2﹣4);
根据平面内两点间的距离公式得:AQ2=(m+2)2+(m2﹣4)2,PQ2=m2+(m2﹣4+)2;
∵AP=,
∴AP2=;
∵直线AQ是⊙P的切线,
∴AP⊥AQ;
∴PQ2=AP2+AQ2,
即:m2+(m2﹣4+)2=+[(m+2)2+(m2﹣4)2]
解得:m1=,m2=﹣2(与A点重合,舍去)
∴Q点的坐标为(,).
2016年8月10日