45多边形与平行四边形五年中考荟萃 8页

§4.5 多边形与平行四边形 A 组 2015 年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·山东济宁，7，3 分)只有下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 解析 设正多边形的每个内角的度数为 n 度，若能平面镶嵌则 360÷n 为整数． 答案 B 2．(2015·安徽，8，4 分)在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，点 E 在边 AB 上， ∠AED＝60°，则一定有 ( ) A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝1 2 ∠ADC D．∠ADE＝1 3 ∠ADC 解析 利用三角形的内角和为 180°，四边形的内角和为 360°，分别表示出 ∠A，∠B，∠C，根据∠A＝∠B＝∠C，得到∠ADE＝1 2 ∠EDC，因为∠ADC ＝∠ADE＋∠EDC＝1 2 ∠EDC＋∠EDC＝3 2 ∠EDC，所以∠ADE＝1 3 ∠ADC，即 可解答． 答案 D 3．(2015·湖北孝感，8，3 分)已知一个正多边形的每个外角等于 60°，则这个正 多边形是 ( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 解析 设所求正 n 边形边数为 n，则 60°·n＝360°，解得 n＝6.故正多边形 的边数是 6. 答案 B 4．(2015·江苏常州，6，2 分)如图，▱ABCD 的对角 线 AC，BD 相交于点 O，则下列说法一定正确的 是 ( ) A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB 解析 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断 即可．对角线不一定相等，A 错误；对角线不一定互相垂直，B 错误；对角 线互相平分，C 正确；对角线与边不一定垂直，D 错误． 答案 C 5．(2015·江苏连云港，5，3 分)已知四边形 ABCD，下列说法正确的是 ( ) A．当 AD＝BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形 B．当 AD＝BC，AB＝DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形 C．当 AC＝BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC＝BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形 解析 ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确． 答案 B 6. (2015·江西南昌，5，3 分)如图，小贤为了体验四边形 的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，B 与 D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然 后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断 错误的是 ( ) A．四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形 B．BD 的长度增大 C．四边形 ABCD 的面积不变 D．四边形 ABCD 的周长不变 解析 由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，B 与 D 两点之间用一 根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形 变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平 行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD 的长度增加了． 答案 C 7．(2015·浙江衢州，4，3 分)如图，在▱ABCD 中，已 知 AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于 ( ) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 解析 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC，所以∠DAE＝∠AEB， 又因为 AE 平分∠BAD，所以∠BAE＝∠DAE，所以∠BAE＝∠AEB，所以 BE ＝AB＝8，所以 EC＝12－8＝4(cm)． 答案 C 二、填空题 8．(2015·浙江杭州，16，4 分)如图，在四边形纸片 ABCD 中， AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，将 纸片先沿直线 BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点 出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图 形中有一个是面积为 2 的平行四边形，则 CD＝________． 解析 如图 1 所示：延长 AE 交 CD 于点 N，过点 B 作 BT⊥EC 于点 T， 当四边形 ABCE 为平行四边形时，∵AB＝BC，∴四边形 ABCE 是菱形．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°， BC∥AN，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，则 ∠NAD＝60°，∴∠AND＝90°.∵四边形 ABCE 面积为 2，∴设 BT＝x，则 BC＝EC＝2x，故 2x·x＝2，解得：x ＝1(负数舍去)，则 AE＝EC＝2，EN＝ 22－12＝ 3，故 AN＝2＋ 3，则 AD＝DC＝4＋2 3； 如图 2，当四边形 BEDF 是平行四边形时，∵BE＝BF， ∴平行四边形 BEDF 是菱形．∵∠A＝∠C＝90°， ∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°.∵BE＝DE，∴∠ 图 1 图 2 AEB＝30°，∴设 AB＝y，则 BE＝2y，AE＝ 3y.∵四边形 BEDF 面积为 2， ∴AB×DE＝2y2＝2，解得：y＝1，故 AE＝ 3，DE＝2，则 AD＝2＋ 3. 综上所述：CD 的值为 2＋ 3或 4＋2 3. 答案 2 3＋4 或 2＋ 3 9．(2015·湖北十堰，14，3)如图，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 为边 向外作等边△ACD、 等边△ABE，EF⊥AB，垂足为 F，连结 DF，当AC AB ＝ ________时，四边形 ADFE 是平行四边形． 解析 由△ABE 为等边三角形，EF 垂直于 AB，利 用三线合一得到 EF 为角平分线，得到∠AEF＝30°.若四边形 ADFE 是平行 四边形，则 AD∥EF，∴∠DAF＝∠AFE＝90°.又∵∠DAC＝60°，∴∠CAB ＝30°.又∵cos∠CAB＝AC AB ，∴AC AB ＝ 3 2 . 答案 3 2 三、解答题 10．(2015·四川遂宁，19，9 分)如图，▱ABCD 中，点 E， F 在对角线 BD 上，且 BE＝DF，求证： (1)AE＝CF； (2)四边形 AECF 是平行四边形． 证明 (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中， AB＝CD， ∠ABE＝∠CDF， BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF. (2)∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF.∵AE＝CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形． 11．(2015·江苏扬州，23，10 分)如图，将▱ABCD 沿过 点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′处， 折痕 l 交 CD 边于点 E，连结 BE. (1)求证：四边形 BCED′是平行四边形； (2)若 BE 平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2. 证明 (1)∵将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处， ∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E. ∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′， ∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA， ∴∠DAD′＝∠DED′， ∴四边形 DAD′E 是平行四边形， ∴DE＝AD′. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB 綊 DC，∴CE 綊 D′B， ∴四边形 BCED′是平行四边形． (2)∵BE 平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA. ∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°. ∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2＋BE2. B 组 2014～2011 年全国中考题组 一、选择题 1．(2013·浙江杭州，3，3 分)在▱ABCD 中，下列结 论一定正确的是 ( ) A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180° C．AB＝AD D．∠A≠∠C 解析 平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直，∴A 错误；∵AD∥BC， ∴∠A＋∠B＝180°，∴B 正确；平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等， ∴C 错误；∵∠A＝∠C，∴D 错误．故选 B. 答案 B 2．(2014·江苏宿迁，3，3 分)如图，▱ABCD 中，BC ＝BD，∠C＝74°，则∠ADB 的度数是( ) A．16° B．22° C．32° D．68° 解析 ∵BC＝BD，∠C＝74°，∴∠BDC＝∠C＝74°，∴∠DBC＝180°－ 74°×2＝32°.∵▱ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝32°.故选 C. 答案 C 3．(2014·贵州黔东南，3，4 分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( ) A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 解析 A 中，条件为一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形；B 中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形 ABCD 是平 行四边形；C 中，条件是两组对边相等，能判断四边形 ABCD 是平行四边形； D 中，条件是对角线互相平分，能判断四边形 ABCD 是平行四边形．故选 A. 答案 A 二、填空题 4．(2014·江苏泰州，9，3 分)五边形的内角和为________． 解析 (5－2)×180°＝540°，则五边形的内角和为 540°. 答案 540° 5. (2014·福建福州，14，4 分)如图，在▱ABCD 中， DE 平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD 的周长是________． 解析 在▱ABCD 中，BC＝AD＝6，∵BE＝2， ∴CE＝4.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED.∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE＝ ∠CDE.∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE＝4.∴▱ABCD 的周长是(6＋4)×2＝20. 答案 20 6．(2011·浙江丽水，15，4 分)如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过 BC 的中点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则△DEF 的面积是________． 解析 ∵AB∥DC，∴∠H＝∠BFE＝90°，∠ECH＝∠B.又∵BE＝EC，∴Rt △BEF≌Rt△CEH，∴BF＝CH，FE＝EH，∴S△DEF＝S△DEH＝1 2S△DFH.在 Rt△ BEF 中，∠ABC＝60°，BE＝1 2BC＝2，∴BF ＝1，FE＝BEsin 60°＝2× 3 2 ＝ 3，∴S△DFH＝1 2DH·FH＝1 2 ×(1＋3)×2 3＝4 3，∴S△DEF＝2 3. 答案 2 3 三、解答题 7．★(2013·北京，19，5 分)如图，在▱ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝1 2BC， 连结 DE，CF. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求 DE 的长． (1)证明 在▱ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC. ∵F 是 AD 中点，∴DF＝1 2AD. 又∵CE＝1 2BC，∴DF＝CE 且 DF∥CE. ∴四边形 CEDF 为平行四边形． (2)解 过点 D 作 DH⊥BE 于 H， 在▱ABCD 中， ∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°. ∵AB＝4，∴CD＝4. ∴CH＝2，DH＝2 3. 在▱CEDF 中，CE＝DF＝1 2AD＝3. ∴EH＝1. 在 Rt△DHE 中，DE＝ （2 3）2＋12＝ 13. 8．(2013·浙江台州，22，12 分)如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，AB 上，DE＝ BF，把平行四边形沿直线 EF 折叠，使得 点 B，C 分别落在点 B′，C′处，线段 EC′ 与线段 AF 交于点 G，连结 DG，B′G. 求证：(1)∠1＝∠2； (2)DG＝B′G. 证明 (1)在▱ABCD 中，AB∥CD， ∴∠2＝∠FEC. 由折叠，得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2. (2)由(1)知：∠1＝∠2，∴EG＝GF. ∵AB∥CD，∴∠DEG＝∠EGF 由折叠，得 EC′∥FB′，∴∠B′FG＝∠EGF， ∴∠B′FG＝∠DEG.∵DE＝BF＝B′F， ∴DE＝B′F.∴△DEG≌△B′FG.∴DG＝B′G.