全国各地中考数学二次函数压轴题汇编 63页

‎2012年中考二次函数（三）‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2012•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜‎2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在该抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，‎ ‎①求顶点P的坐标；‎ ‎②求的值；‎ ‎（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．‎ ‎2．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．‎ ‎3．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．‎ ‎4．（2012•台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：‎ 时间t（秒）‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎…‎ 行驶距离s（米）‎ ‎0‎ ‎2.8‎ ‎5.2‎ ‎7.2‎ ‎8.8‎ ‎10‎ ‎10.8‎ ‎…‎ ‎（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；‎ ‎（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；‎ ‎（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？‎ ‎②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．‎ ‎5．（2012•随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：‎ ‎（1）解方程x2﹣2x﹣3=0‎ 巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：‎ ‎（2）解关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3=0（m为常数，且m≠0）．‎ 老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：‎ ‎（3）已知关于x的函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m为常数）‎ ‎①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；‎ ‎②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B．当△ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．‎ 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．‎ ‎6．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．‎ ‎7．（2012•苏州）如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为　_________　，点C的坐标为　_________　（用含b的代数式表示）；‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎8．（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；‎ ‎（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？‎ ‎9．（2012•绍兴）把一边长为‎40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．‎ ‎（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．‎ ‎①要使折成的长方形盒子的底面积为‎484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？‎ ‎②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．‎ ‎（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．‎ ‎10．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．‎ ‎（1）求A点坐标及线段AB的长；‎ ‎（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．‎ ‎①当PQ⊥AC时，求t的值；‎ ‎②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．‎ ‎11．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．‎ ‎（1）“抛物线三角形”一定是　_________　三角形；‎ ‎（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；‎ ‎（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎12．（2012•山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．‎ ‎13．（2012•日照）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；‎ ‎（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．‎ ‎14．（2012•泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．‎ ‎（1）求h的值；‎ ‎（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；‎ ‎（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．‎ ‎15．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．（2012•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：‎ ‎（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；‎ ‎（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；‎ ‎（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．‎ ‎17．（2012•黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；‎ ‎（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；‎ ‎（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（2012•黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎19．（2012•莆田）如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y（km）与飞行时间x（s）之间的关系式为 （0≤x≤10）．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是‎2km，再过3s后，导弹到达B点．‎ ‎（1）求发射点L与雷达站R之间的距离；‎ ‎（2）当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角（即∠BRL）的正切值．‎ ‎20．（2012•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．‎ ‎（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．‎ ‎21．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；‎ ‎（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．‎ ‎①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；‎ ‎②若⊙M的半径为，求点M的坐标．‎ ‎22．（2012•南通）如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；‎ ‎（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．‎ ‎23．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；‎ ‎（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．‎ ‎24．（2012•南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．‎ ‎①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ ‎25．（2012•内江）如图，已知点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．‎ ‎26．（2012•绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．‎ ‎①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；‎ ‎②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．‎ ‎27．（2012•娄底）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣‎2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．‎ ‎28．（2012•临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎29．（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？‎ ‎30．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？‎ ‎（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案与评分标准 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2012•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜‎2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在该抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，‎ ‎①求顶点P的坐标；‎ ‎②求的值；‎ ‎（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式；‎ ‎①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标；‎ ‎②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、CyC的值，然后计算的值即可；‎ ‎（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出x0=＜﹣1，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），证出Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到==1﹣x2，再根据△AEG∽△BCD得到=1﹣x1，然后求出yA、yB、yC、EyE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜﹣1，从而利用不等式求出的最小值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，‎ 此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10．‎ ‎①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为P（﹣2，6）．‎ ‎②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，‎ ‎∴yA=15，yB=10，yC=7．‎ ‎∴==5．‎ ‎（Ⅱ）由0＜2a＜b，得x0=＜﹣1．‎ 由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．‎ 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1．‎ 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），‎ 则∠FAA1=∠CBD．‎ 于是Rt△AFA1∽Rt△BCD．‎ 有，即==1﹣x2．‎ 过点E作EG⊥AA1于点G，‎ 易得△AEG∽△BCD．‎ 有，即=1﹣x1．‎ ‎∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，‎ 得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=，‎ ‎∴=1﹣x1．‎ 化简，得，‎ 解得x1=﹣2（x1=1舍去）．‎ ‎∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，‎ 则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3．‎ ‎∴的最小值为3．‎ 点评：‎ 本题考查了配方法求二次函数顶点坐标，函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质，利用不等式求最值，综合性很强，旨在考查同学们的综合逻辑思维能力，要认真对待．‎ ‎2．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答；‎ ‎（2）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出c的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵正方形OABC的边长为2，‎ ‎∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）令y=0，则﹣x2+x+2=0，‎ 整理得，x2﹣2x﹣3=0，‎ 解得x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）（3，0），‎ ‎∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单．‎ ‎3．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；‎ ‎（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；‎ ‎（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；‎ ‎（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）如答图1，连接OB．‎ ‎∵BC=2，OC=1‎ ‎∴OB==‎ ‎∴B（0，）‎ 将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式 得，解得，‎ ‎∴y=﹣x2+x+．‎ ‎（2）存在．‎ 如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．‎ ‎∵B（0，），O（0，0），‎ ‎∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，‎ 得﹣x2+x+=；‎ 解得x=1±，‎ ‎∴P（1±，）．‎ ‎（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．‎ 设M（xm，ym），‎ 则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB ‎=（ym+）xm+（3﹣xm）ym﹣×3×‎ ‎=xm+ym﹣‎ ‎∵ym=﹣xm2+xm+，‎ ‎∴S△MAB=xm+（﹣xm2+xm+）﹣‎ ‎=xm2+xm ‎=（xm﹣）2+‎ ‎∴当xm=时，S△MAB取得最大值，最大值为．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题，重点考查二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线/勾股定理、面积求法等知识点．第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．本题考查知识点较多，要求同学们对所学知识要做到理解深刻、融会贯通、灵活运用，如此方能立于不败之地．‎ ‎4．（2012•台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：‎ 时间t（秒）‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎…‎ 行驶距离s（米）‎ ‎0‎ ‎2.8‎ ‎5.2‎ ‎7.2‎ ‎8.8‎ ‎10‎ ‎10.8‎ ‎…‎ ‎（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；‎ ‎（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；‎ ‎（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？‎ ‎②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．‎ 考点：‎ 二次函数的应用。菁优网版权所有 专题：‎ 行程问题。‎ 分析：‎ ‎（1）描点，用平滑曲线连接即可；‎ ‎（2）设出二次函数解析式，把3个点的坐标代入可得二次函数解析式，进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上；‎ ‎（3）①汽车在刹车时间最长时停止，利用公式法，结合（2）得到的函数解析式，求得相应的最值即可；‎ ‎②分别求得所给代数式的值，根据所给时间的大小，比较即可．‎ 解答：‎ 解：（1）描点图所示：（画图基本准确均给分）；‎ ‎（2）由散点图可知该函数为二次函数 设二次函数的解析式为：s=at2+bt+c，‎ ‎∵抛物线经过点（0，0），‎ ‎∴c=0，‎ 又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：‎ 解得：a=﹣5，b=15；‎ ‎∴二次函数的解析式为：s=﹣5t2+15t；‎ 经检验，其余个点均在s=﹣5t2+15t上．‎ ‎（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离，‎ 当t=﹣时，滑行距离最大，S=，‎ 即刹车后汽车行驶了米才停止．‎ ‎②∵s=﹣5t2+15t，∴s1=﹣5t12+15t1，s2=﹣5t22+15t2∴=﹣5t1+15；‎ 同理=﹣5t2+15，‎ ‎∴t1＜t2，‎ ‎∴＞，‎ 其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速度小于刹车后到t1时间内的平均速度．‎ 点评：‎ 考查二次函数的应用；结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小是解决本题的难点．‎ ‎5．（2012•随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：‎ ‎（1）解方程x2﹣2x﹣3=0‎ 巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：‎ ‎（2）解关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3=0（m为常数，且m≠0）．‎ 老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：‎ ‎（3）已知关于x的函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m为常数）‎ ‎①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；‎ ‎②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B．当△ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．‎ 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）直接根据因式分解法解得x2﹣2x﹣3=0的根；‎ ‎（2）观察方程mx2+（m﹣3）x﹣3=0可把原方程分解成（x+1）•（mx﹣3）=0，解出方程的两根即可；也可以运用公式法进行解答；‎ ‎（3）①首先进行分类讨论，当m=0时，函数是一次函数，可以求出函数恒过x轴、y轴上的两个定点，当m≠0时，该函数是二次函数，函数的图象是抛物线，结合（2）问知识，可以得到恒过x轴、y轴上的两个定点；②当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（﹣1，0），C（0，﹣3）和B（，0），观察图象并结合题干条件，当△ABC为Rt△时，可知△AOC∽△COB，进而求出OB的长度，若△ABC为锐角三角形时，则0＜＜9，解出m的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由x2﹣2x﹣3=0，得（x+1）（x﹣3）=0，‎ ‎∴x1=1，x2=3； …（3分）‎ ‎（2）方法一：由mx2+（m﹣3）x﹣3=0，得（x+1）•（mx﹣3）=0，‎ ‎∵m≠0，∴x1=﹣1，x2=…（3分）‎ 方法2：由公式法：，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=；‎ ‎（3）①1°当m=0时，函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3为y=﹣3x﹣3，‎ 令y=0，得x=﹣1；令x=0，则y=﹣3．‎ ‎∴直线y=﹣3x﹣3过定点A（﹣1，0），C（0，﹣3）…（2分）‎ ‎2°当m≠0时，函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3为y=（x+1）•（mx﹣3），‎ ‎∴抛物线y=（x+1）•（mx﹣3）恒过两定点A（﹣1，0），C（0，﹣3）；‎ ‎②当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（﹣1，0），C（0，﹣3）和B（，0），…（1分）‎ 观察图象，可知，当△ABC为直角三角形时，‎ 则△AOC∽△COB，‎ ‎∴，‎ ‎∴|OC|2=|OA|•|OB|，‎ ‎∴32=1×|OB|，‎ ‎∴OB=9，即B（9，0），‎ ‎∴当．即：m＞，‎ 当m＞时，△ABC为锐角三角形； …（2分）‎ ‎②观察图象可知 当m＜0且m≠﹣3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合．‎ ‎∴△ABC中的∠BAC＞90°，‎ ‎∴△ABC是钝角三角形．‎ ‎∴当m＜0且m≠﹣3时，△ABC为钝角三角形，‎ 综上当m＞时，△ABC为锐角三角形． …（2分）‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象得性质，特别是解答第（3）问时，首先解出三角形ABC是直角三角形时m的值，进而求出△ABC是锐角三角形时m的取值范围，此题难度较大．‎ ‎6．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；‎ ‎（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由已知条件得 解得，‎ 所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；‎ ‎（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），‎ ‎∴AO=4，‎ 设点P到x轴的距离为h，‎ 则S△AOP=×4h=4，‎ 解得h=4，‎ ‎①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，‎ 解得x=﹣2，‎ 所以，点P的坐标为（﹣2，4），‎ ‎②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，‎ 解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，‎ 所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），‎ 综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．‎ ‎7．（2012•苏州）如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为　（b，0）　，点C的坐标为　（0，）　（用含b的代数式表示）；‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；‎ ‎（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标；‎ ‎（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；‎ 要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，‎ 解得：x=1或b，‎ ‎∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，‎ ‎∴点B的坐标为（b，0），‎ 令x=0，‎ 解得：y=，‎ ‎∴点C的坐标为（0，），‎ 故答案为：（b，0），（0，）；‎ ‎（2）存在，‎ 假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．‎ 设点P的坐标为（x，y），连接OP．‎ 则S四边形POCB=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，‎ ‎∴x+4y=16．‎ 过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，‎ ‎∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．‎ ‎∴四边形PEOD是矩形．‎ ‎∴∠EPO=90°．‎ ‎∴∠EPC=∠DPB．‎ ‎∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．‎ 由解得 由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，‎ 解得b=＞2符合题意．‎ ‎∴P的坐标为（，）；‎ ‎（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．‎ ‎∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，‎ ‎∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．‎ ‎∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．‎ ‎∵b＞2，‎ ‎∴AB＞OA，‎ ‎∴∠Q‎0A＞∠ABQ．‎ ‎∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，‎ 由QA⊥x轴知QA∥y轴．‎ ‎∴∠COQ=∠OQA．‎ ‎∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．‎ ‎（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．‎ ‎∴AQ=CO=．‎ 由AQ=AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．‎ 解得：b=8±4．‎ ‎∵b＞2，‎ ‎∴b=8+4．‎ ‎∴点Q的坐标是（1，2+）．‎ ‎（II）当∠OQC=90°时，△QCO∽△QOA，‎ ‎∴=，即OQ2=OC•AQ．‎ 又OQ2=OA•OB，‎ ‎∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．‎ 解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，‎ ‎∴点Q的坐标是（1，4）．‎ ‎∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．‎ 点评：‎ 此题是一道综合题，难度较大，主要考查二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，还考查等腰三角形的性质及勾股定理，同时还让学生探究存在性问题，对待问题要思考全面，学会分类讨论的思想．‎ ‎8．（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．‎ ‎（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；‎ ‎（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；‎ ‎（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；‎ ‎（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出是否等于即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，‎ 由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），‎ 可得，‎ 解得：，‎ 故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；‎ ‎（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，‎ 由题意得：，‎ 解得：，‎ 即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．‎ 故可得点E的坐标为（0，2），‎ 从而可得：AE==2，CE==2，‎ 故可得出AE=CE；‎ ‎（3）相似．理由如下：‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得：，‎ 即直线AD的解析式为y=x+4．‎ 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，‎ 解得：，‎ 即点F的坐标为（﹣，），‎ 则BF==，AF==，‎ 又∵AB=5，BC==3，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠ABF=∠CBA，‎ ‎∴△ABF∽△CBA．‎ 故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 点评：‎ 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，解答本题要求我们仔细审题，将所学知识联系起来，综合解答．‎ ‎9．（2012•绍兴）把一边长为‎40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．‎ ‎（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．‎ ‎①要使折成的长方形盒子的底面积为‎484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？‎ ‎②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．‎ ‎（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．‎ 考点：‎ 二次函数的应用；一元二次方程的应用。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40﹣2x）2=484，求出即可；‎ ‎②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（40﹣2x）x，利用二次函数最值求出即可；‎ ‎（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，得出等式方程求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm．‎ 则（40﹣2x）2=484，‎ 即40﹣2x=±22，‎ 解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，‎ ‎∴剪掉的正方形的边长为‎9cm．‎ ‎②侧面积有最大值．‎ 设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，‎ 则y与x的函数关系为：y=4（40﹣2x）x，‎ 即y=﹣8x2+160x，‎ 即y=﹣8（x﹣10）2+800，‎ ‎∴x=10时，y最大=800．‎ 即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2．‎ ‎（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm．‎ ‎2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）=550，‎ 解得：x1=﹣35（不合题意，舍去），x2=15．‎ ‎∴剪掉的正方形的边长为‎15cm．‎ 此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键．‎ ‎10．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．‎ ‎（1）求A点坐标及线段AB的长；‎ ‎（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．‎ ‎①当PQ⊥AC时，求t的值；‎ ‎②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求．‎ ‎（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；‎ ‎②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的．‎ 解答：‎ 解：（1）由抛物线y=x2﹣4x﹣2知：当x=0时，y=﹣2，‎ ‎∴A（0，﹣2）．‎ 由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；‎ 当y=﹣2时，﹣2=x2﹣4x﹣2，解得x1=0，x2=4，‎ ‎∴B（4，﹣2），‎ ‎∴AB=4．‎ ‎（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，‎ Q点移动路程为7（t﹣1）=7t﹣7．‎ 当Q点在OA上时，即0≤7t﹣t＜2，1≤t＜时，‎ 如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．‎ ‎∴=，即，‎ ‎∴t=．‎ ‎∵＞，‎ ‎∴此时t值不合题意．‎ 当Q点在OC上时，即2≤7t﹣7＜6，≤t＜时，‎ 如图2，过Q点作QD⊥AB．‎ ‎∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9．‎ ‎∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t．‎ 若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，‎ ‎∴，即=，∴t=，‎ ‎∵＜＜，‎ ‎∴t=符合题意．‎ 当Q点在BC上时，即6≤7t﹣7≤8，≤t≤时，‎ 如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，‎ 则QG⊥PG，即∠GQP=90°．‎ ‎∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，‎ 此时PQ不与AC垂直．‎ 综上所述，当t=时，有PQ⊥AC．‎ ‎②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．‎ 此时AP=2，BQ=CQ=1，‎ ‎∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）．‎ 抛物线对称轴的解析式为x=2，‎ 当H1为对称轴与OP的交点时，‎ 有∠H1OQ=∠POQ，‎ ‎∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ．‎ 作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，‎ 过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，‎ 在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．‎ ‎∴OQ=，‎ ‎∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM，‎ ‎∴PM=，‎ ‎∴PP′=2PM=，‎ ‎∵NPP′=∠COQ．‎ ‎∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′‎ ‎∴，‎ ‎∴P′N=，PN=，‎ ‎∴P′（，），‎ ‎∴直线OP′的解析式为y=x，‎ ‎∴OP′与NP的交点H2（2，）．‎ ‎∴当yH＞时，∠HOP＞∠POQ．‎ 综上所述，当yH＜﹣2或yH＞时，∠HOQ＞∠POQ．‎ 点评：‎ 函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解．‎ ‎11．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．‎ ‎（1）“抛物线三角形”一定是　等腰　三角形；‎ ‎（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；‎ ‎（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 代数几何综合题；新定义。‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．‎ ‎（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．‎ ‎（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）如图；‎ 根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．‎ 故填：等腰．‎ ‎（2）∵抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，‎ ‎∴该抛物线的顶点（，）满足=（b＞0）．‎ ‎∴b=2．‎ ‎（3）存在．‎ 如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．‎ 当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，‎ 又∵AO=AB，‎ ‎∴△OAB为等边三角形．‎ 作AE⊥OB，垂足为E，‎ ‎∴AE=．‎ ‎∴=•（b′＞0）．‎ ‎∴b′=2．‎ ‎∴A（，3），B（2，0）．‎ ‎∴C（﹣），D（﹣2，0）．‎ 设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则 ‎，‎ 解得．‎ 故所求抛物线的表达式为y=x2+2x．‎ 点评：‎ 这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况．‎ ‎12．（2012•山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标，设AC解析式为y=k1x+b1（k1≠0），利用待定系数法求解即可．‎ ‎（2）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标．‎ ‎（3）因为BD的长固定，要使△BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B'，连接B'D，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B'的坐标，得出B'D的解析式，继而联立AC与B'D的解析式可得出点M的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．‎ ‎∵点A在点B的左侧，‎ ‎∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．‎ 当x=0时，y=3．‎ ‎∴C点的坐标为（0，3）‎ 设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=3x+3．‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，4）． ‎ ‎（2）抛物线上有三个这样的点Q，‎ ‎①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；‎ ‎②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；‎ ‎③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；‎ 综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）． ‎ ‎（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，‎ 过点B′作B′E⊥x轴于点E．‎ ‎∵∠1和∠2都是∠3的余角，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∴Rt△AOC∽Rt△AFB，‎ ‎∴，‎ 由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，‎ ‎∴AC=，AB=4．‎ ‎∴，‎ ‎∴BF=，‎ ‎∴BB′=2BF=，‎ 由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴B′E=，BE=，‎ ‎∴OE=BE﹣OB=﹣3=．‎ ‎∴B′点的坐标为（﹣，）．‎ 设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线B'D的解析式为：y=x+，‎ 联立B'D与AC的直线解析式可得：，‎ 解得，‎ ‎∴M点的坐标为（，）．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．‎ ‎13．（2012•日照）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；‎ ‎（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 数形结合。‎ 分析：‎ ‎（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式；‎ ‎（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=﹣3求得合适的a的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）的坐标代入y=x2+bx+c得，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=x2+2x﹣3 ‎ 由x2+2x﹣3=0，‎ 得：x1=﹣3，x2=1，‎ ‎∴B的坐标是（1，0），‎ 设直线BD的解析式为y=kx+b，则，‎ 解得：，‎ ‎∴直线BD的解析式为y=x﹣1； ‎ ‎（2）∵直线BD的解析式是y=x﹣1，且EF∥BD，‎ ‎∴直线EF的解析式为：y=x﹣a，‎ 若四边形BDFE是平行四边形，‎ 则DF∥x轴，‎ ‎∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为﹣3．‎ 由，得 y2+（‎2a+1）y+a2+‎2a﹣3=0，‎ 解得：y=．‎ 令=﹣3，‎ 解得：a1=1，a2=3．‎ 当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；‎ ‎∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意．‎ ‎∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．‎ 点评：‎ 综合考查二次函数的知识；用到的知识点为：平面直角坐标系中，两直线平行，一次项系数的值相等；两个点所在的直线平行，这两个点的纵坐标相等．‎ ‎14．（2012•泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．‎ ‎（1）求h的值；‎ ‎（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；‎ ‎（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；动点型；数形结合。‎ 分析：‎ ‎（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征，利用待定系数法求得h的值．‎ ‎（2）该小题应从三角形的面积公式入手分析，首先要选取合适的底和高；在△POQ中，OA的长是不变的，那么若以OA为底，P、Q到y轴的距离和为高，即可得到△PQO的面积．先设P点横坐标，然后根据抛物线、直线PA的解析式求出Q点横坐标，通过不等式的相关知识即可解出P、Q到y轴距离和的最小值．‎ ‎（3）判断四边形AOBQ的形状，可从四个顶点的坐标特征上来判断．首先设出P、Q的坐标，然后根据点P、C求出直线BC的解析式，进而表示出点B的坐标，然后再通过直线PQ以及P、A、Q三点坐标，求出Q、B两点坐标之间的关联，进而判断该四边形是否符合梯形的特征．（需要注意的是：判定梯形的条件：一组对边平行且另一组对边不平行）‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=x2+h经过点C（0，1），‎ ‎∴+h=1，‎ 解得h=1．‎ ‎（2）依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）‎ 过点A的直线l：y=kx+2经过点P、Q，‎ ‎∴a2+1=ak+2…①‎ b2+1=bk+2…②‎ ‎①×b﹣②×a得：（a2b﹣b‎2a）+b﹣a=2（b﹣a），‎ 化简得：b=﹣；‎ ‎∴S△POQ=OA•|xQ﹣xP|=•OA•|﹣﹣a|=（﹣）+（﹣a）≥2•=4‎ 由上式知：当﹣=﹣a，即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小；‎ 即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4．‎ ‎（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，‎ 依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）‎ 直线BC：y=k1x+1过点P，‎ ‎∴a2+1=ak1+1，得k1=﹣a，‎ 即y=ax+1．‎ 令y=0得：xB=﹣，‎ 同理，由（2）得：b=﹣‎ ‎∴点B与Q的横坐标相同，‎ ‎∴BQ∥y轴，即BQ∥OA，‎ 又∵AQ与OB不平行，‎ ‎∴四边形AOBQ是梯形，‎ 据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同．‎ 故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形．‎ 点评：‎ 题目考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、不等式的应用、三角形面积的解法、梯形的判定等知识，综合性强，难度较大．注意在判定梯形时不要遗漏“一边不平行”的条件．‎ ‎15．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；‎ ‎（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，‎ 可得c=0，∴，‎ 解得a=，b=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x．‎ ‎（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=‎ ‎∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．‎ 如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，‎ AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．‎ 当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，‎ ‎∴t2﹣t+2=，‎ 化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）‎ ‎∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．‎ ‎（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．‎ 求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），‎ 易知△OQT∽△OCD，可得QT=，‎ ‎∴点Q的坐标为（a，）．‎ 解法一：‎ 设AB与OC相交于点J，‎ ‎∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=‎ ‎∴HT===2﹣a，‎ KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．‎ S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT ‎=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）‎ ‎=a2+a﹣=（a﹣）2+‎ 由于＜0，‎ ‎∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．‎ 解法二：‎ 过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得 ①‎ 由△RKH∽△A′O′B′，得 ②‎ 由①，②得KH=OH，‎ OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③‎ 由△A′KT∽△A′O′B′，得，‎ 则KT= ④‎ 由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）‎ S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH ‎=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）‎ ‎=a2+a﹣=（a﹣）2+‎ 由于＜0，‎ ‎∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．‎ 解法三：‎ ‎∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，‎ ‎∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，‎ ‎∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，‎ 过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH 又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，‎ ‎∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），‎ ‎∴点R坐标R（‎2a﹣2，a﹣1）‎ S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）‎ ‎=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）‎ ‎=a2+a﹣=（a﹣）2+‎ 由于＜0，‎ ‎∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．‎ ‎16．（2012•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：‎ ‎（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；‎ ‎（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；‎ ‎（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．‎ 考点：‎ 二次函数的应用。菁优网版权所有 专题：‎ 销售问题。‎ 分析：‎ ‎（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；‎ ‎（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；‎ ‎（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．‎ 解答：‎ 解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，‎ 图象过点（10，300），（12，240），‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣30x+600，‎ 当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，‎ 即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上．‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+600；‎ ‎（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，‎ 即w与x之间的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；‎ ‎（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，‎ 解得x≥15．‎ w=﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为：x=﹣=13．‎ ‎∵a=﹣30＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，‎ ‎∴当x=15时，w最大=1350，‎ 即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．‎ ‎17．（2012•黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；‎ ‎（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；‎ ‎（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；‎ ‎（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；‎ ‎（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），‎ 将点A（0，4）代入上式解得：a=，‎ 即可得函数解析式为：y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，‎ 故抛物线的对称轴是：x=3；‎ ‎（2）P点坐标为：（6，4），‎ 由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，‎ 又∵点P的坐标中x＞5，‎ ‎∴MP＞2，AP＞2；‎ ‎∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，‎ ‎∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，‎ 在Rt△AOM中，AM===5，‎ ‎∵抛物线对称轴过点M，‎ ‎∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，‎ 即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；‎ 故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，‎ 即P（6，4）；‎ ‎（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．‎ 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），‎ 过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，‎ 由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4；‎ 把x=t代入得：y=﹣x+4，则G（t，﹣t+4），‎ 此时：NG=﹣x+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，‎ ‎∵AM+CF=CO，‎ ‎∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=NG•OC=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，△CAN面积的最大值为，‎ 由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，‎ ‎∴N（，﹣3）．‎ 点评：‎ 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及三角形面积的最大值问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎18．（2012•黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 数形结合。‎ 分析：‎ ‎（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．‎ ‎（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：‎ a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：‎ ‎，‎ 解得；‎ 故直线BC的解析式：y=﹣x+3．‎ 已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；‎ ‎∴故N=﹣m2+‎2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+‎3m（0＜m＜3）．‎ ‎（3）如图；‎ ‎∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，‎ ‎∴S△BNC=（﹣m2+‎3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；‎ ‎∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．‎ 点评：‎ 该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．‎ ‎19．（2012•莆田）如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y（km）与飞行时间x（s）之间的关系式为 （0≤x≤10）．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是‎2km，再过3s后，导弹到达B点．‎ ‎（1）求发射点L与雷达站R之间的距离；‎ ‎（2）当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角（即∠BRL）的正切值．‎ 考点：‎ 二次函数的应用；解直角三角形的应用-仰角俯角问题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长；‎ ‎（2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△BLR中，根据正切函数的定义即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）当x=3时，y=×9+×3=1（km），‎ 在直角△ALR中，LR===（km）．‎ ‎（2）当x=3+3=6时，BL=×36+×6=3，‎ 在直角△BLR中，tan∠BRL===．‎ 点评：‎ 本题是二次函数与三角函数的综合应用，正确求得函数值，理解三角函数的定义是关键．‎ ‎20．（2012•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．‎ ‎（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 动点型。‎ 分析：‎ ‎（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．‎ ‎（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；‎ Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；‎ OA=AD﹣OD=2，即：‎ A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：‎ ‎2×（﹣3）a=4，a=﹣；‎ ‎∴抛物线：y=﹣x2+x+4．‎ ‎（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；‎ 由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：‎ ‎，‎ 解得：，；‎ 由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．‎ ‎（3）∵S△APE=AE•h，‎ ‎∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；‎ 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；‎ 设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，‎ ‎﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；‎ 求得：b=，即直线L：y=﹣x+；‎ 可得点P（，）．‎ 由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；‎ 则点F（，0），AF=OA+OF=；‎ ‎∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．‎ 综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．‎ 点评：‎ 该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．‎ ‎21．（2012•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；‎ ‎（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．‎ ‎①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；‎ ‎②若⊙M的半径为，求点M的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 代数几何综合题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；‎ ‎（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；‎ ‎（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；‎ ‎②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），‎ 将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），‎ 解得a=1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），‎ 即y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，‎ 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，‎ 解得，x=，‎ 即OP=；‎ ‎（3）①∵△CHM∽△AOC，‎ ‎∴∠MCH=∠CAO，‎ ‎（i）如图1，当H在点C下方时，‎ ‎∵∠MCH=∠CAO，‎ ‎∴CM∥x轴，‎ ‎∴yM=﹣2，‎ ‎∴x2﹣x﹣2=﹣2，‎ 解得x1=0（舍去），x2=1，‎ ‎∴M（1，﹣2），‎ ‎（ii）如图1，当H在点C上方时，‎ ‎∵∠MCH=∠CAO，‎ ‎∴PA=PC，由（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，‎ 设直线CM的解析式为y=kx﹣2，‎ 把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，‎ 解得k=，‎ ‎∴y=x﹣2，‎ 由x﹣2=x2﹣x﹣2，‎ 解得x1=0（舍去），x2=，‎ 此时y=×﹣2=，‎ ‎∴M′（，），‎ ‎②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，‎ 在Rt△AOC中，AC===，‎ ‎∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，‎ ‎∴△AED∽△AOC，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得AD=2，‎ ‎∴D（1，0）或D（﹣3，0）．‎ 过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）‎ 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，‎ 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，‎ 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得x1=，x2=，‎ ‎∴点M的坐标为（，3+）或（，3﹣）．‎ 点评：‎ 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．‎ ‎22．（2012•南通）如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；‎ ‎（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．‎ ‎（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．‎ ‎（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；‎ 以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．‎ ‎（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）2﹣（x+m）﹣4+，即：y=x2+（m﹣1）x+m2﹣m﹣；‎ 它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；‎ 由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；‎ 那么直线AB：y=﹣2x﹣4；直线AC：y=x﹣4；‎ 当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=；‎ 当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；‎ ‎∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜；‎ 又∵m＞0，‎ ‎∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．‎ ‎（3）由A（0，﹣4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；‎ 如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；‎ ‎∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB；‎ 如图，在△ABN、△AM1B中，‎ ‎∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，‎ ‎∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；‎ 易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；‎ ‎∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1﹣OA=10﹣4=6；‎ 而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，‎ ‎∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．‎ 综上，AM的长为10或2．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，（3）题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．‎ ‎23．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；‎ ‎（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；‎ ‎（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．‎ 如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），‎ ‎∴，解得 ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．‎ ‎（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．‎ ‎∵AD为切线，∴AC⊥AD，∴AD∥OB．‎ ‎∵tan∠AOB=，∴sin∠AOB=，‎ ‎∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，‎ OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3．‎ 当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．‎ 过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，‎ OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，‎ 由勾股定理得：DF===1.8，‎ ‎∴t=1.8秒；‎ ‎（3）如答图3，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），‎ 此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．‎ ‎∵tan∠AOB=，∴直线OB的解析式为y=x，‎ 由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．‎ ‎∵点R既在直线l上，又在抛物线上，‎ ‎∴x2﹣2x=x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b=0．‎ ‎∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），‎ ‎∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=，‎ 此时原方程的解为x=，即xR=，‎ 而yR=xR2﹣2xR=‎ ‎∴点R的坐标为R（，）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点．难点在于第（3）问，判定何时△ROB的面积最大是解决问题的关键．本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答．‎ 本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨．‎ ‎24．（2012•南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．‎ ‎①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下．‎ 抛物线的对称轴方程：x=﹣；顶点坐标：（﹣，）．‎ ‎（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析．‎ ‎②联系直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化．‎ 解答：‎ 解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；‎ ‎∴﹣=﹣=2，==﹣1；‎ ‎∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）．‎ ‎（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：‎ 对称轴为x=2或定点的横坐标为2，‎ 都经过A（1，0），B（3，0）两点；‎ ‎②线段EF的长度不会发生变化．‎ ‎∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，‎ ‎∴kx2﹣4kx+3k=8k，‎ ‎∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，‎ 解得：x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6，‎ ‎∴线段EF的长度不会发生变化．‎ 点评：‎ 该题主要考查的是函数的基础知识，有：二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握．‎ ‎25．（2012•内江）如图，已知点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式．‎ ‎（2）此题的解法有两种：①过AB的中点作直线CM的垂线，比较该垂线段与AB的一半（半径）的大小关系，若两者相等，则直线CM与AB为直径的圆相切；若该垂线段小于半径长，则两者的位置关系为相交；若该垂线段大于半径长，则两者的位置关系为相离；‎ ‎②连接AB中点（设为点D）和点C，根据直角三角形的性质知：CD为⊙D的半径长，那么只需判断CD是否与CM垂直即可，若垂直，则直线CM与⊙D相切；若不垂直，则相交．‎ ‎（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点．‎ 解答：‎ 解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；‎ 由射影定理，得：OC2=OA•OB=4，则OC=2，即点C（0，2）；‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），将C点代入上式，得：‎ ‎2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）直线CM与以AB为直径的圆相切．理由如下：‎ 如右图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD．‎ 由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB．‎ 由（1）知：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x﹣）2+，‎ 则点M（，），ME=﹣2=；‎ 而CE=OD=，OC=2；‎ ‎∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，‎ ‎∴△COD∽△CEM，‎ ‎∴∠CME=∠CDO，‎ ‎∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，‎ 而CD等于⊙D的半径长，所以直线CM与以AB为直径的圆相切；‎ ‎（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2；‎ 则：S△BCN=BC•h=×2×h=4，h=；‎ 过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G．‎ Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，BG=BF÷sin∠BGF=÷=4；‎ ‎∴G（0，0）或（8，0）．‎ 易知直线BC：y=﹣x+2，则可设直线l：y=﹣x+b，代入G点坐标，得：b=0或b=4，则：‎ 直线l：y=﹣x或y=﹣x+4；‎ 联立抛物线的解析式后，可得：‎ 或，‎ 则 N1（2+2，﹣1﹣）、N2（2﹣2，﹣1+）、N3（2，3）．‎ 点评：‎ 该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法以及直线与圆的位置关系等重点知识，（3）题中，直线l可能在B点左侧也可能在其右侧，一定要将所有情况都考虑到．‎ ‎26．（2012•绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．‎ ‎①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；‎ ‎②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；‎ ‎（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；‎ ‎（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形．‎ ‎①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出=；‎ ‎②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为=不变．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（﹣3，0），M（0，﹣1），‎ ‎∴，‎ 解得a=，c=﹣1．‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=x2+x﹣1．‎ ‎（2）由二次函数的解析式为：y=x2+x﹣1，‎ 令y=0，得x2+x﹣1=0，‎ 解得x1=﹣3，x2=2，∴C（2，0），∴BC=5；‎ 令x=0，得y=﹣1，∴M（0，﹣1），OM=1．‎ 又AM=BC，∴OA=AM﹣OM=4，∴A（0，4）．‎ 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，‎ 则yD=x2+x﹣1=OA=4，‎ 解得x1=5，x2=﹣6（位于第二象限，舍去）‎ ‎∴D点坐标为（5，4）．‎ ‎∴AD=BC=5，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ 即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．‎ 设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（﹣3，0），D（5，4），‎ ‎∴，‎ 解得：k=，b=，‎ ‎∴直线BD解析式为：y=x+．‎ ‎（3）在Rt△AOB中，AB==5，又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形．‎ ‎①若直线l⊥BD，如图1所示．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴AC∥直线l，‎ ‎∴，‎ ‎∵BA=BC=5，‎ ‎∴BP=BQ=10，‎ ‎∴==；‎ ‎②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：‎ ‎∵AD∥BC，CD∥AB，‎ ‎∴△PAD∽△DCQ，‎ ‎∴，‎ ‎∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25．‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解．‎ ‎27．（2012•娄底）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣‎2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去；‎ ‎（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，‎ 令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：‎ x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣‎2m．‎ ‎∴===，‎ 化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．‎ 当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；‎ 当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．‎ ‎（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．‎ 如图所示，连接PA、PB、AC、BC，过点P作PD⊥x轴于D点．‎ ‎∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．‎ ‎∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，‎ ‎∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．‎ 在Rt△PAD与Rt△CBO中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△PAD≌Rt△CBO，‎ ‎∴PD=OC=2，即yP=2，‎ ‎∴直线解析式为y=x+3，‎ ‎∴xP=﹣1，‎ ‎∴P（﹣1，2）．‎ 所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）．‎ 点评：‎ 本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．‎ ‎28．（2012•临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．‎ ‎（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，‎ ‎∵∠AOB=120°，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ 又∵OA=OB=4，‎ ‎∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；‎ ‎（2）∵抛物线过原点O和点A、B，‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，‎ 将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x ‎（3）存在，‎ 如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），‎ ‎①若OB=OP，‎ 则22+|y|2=42，‎ 解得y=±2，‎ 当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，‎ ‎∴∠POD=60°，‎ ‎∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，‎ 即P、O、B三点在同一直线上，‎ ‎∴y=2不符合题意，舍去，‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣2）‎ ‎②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，‎ 解得y=﹣2，‎ 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ ‎③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，‎ 解得y=﹣2，‎ 故点P的坐标为（2，﹣2），‎ 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），‎ 点评：‎ 此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．‎ ‎29．（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？‎ 考点：‎ 二次函数的应用；一次函数的应用。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据每月的利润z=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，‎ ‎（2）把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．‎ ‎（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（﹣2×32+100）‎ 解答：‎ 解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）‎ ‎=﹣2x2+136x﹣1800，‎ ‎∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；‎ ‎（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，‎ 解这个方程得x1=25，x2=43‎ 所以，销售单价定为25元或43元，‎ 将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，‎ 因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；‎ ‎（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，‎ 当25≤x≤43时z≥350，‎ 又由限价32元，得25≤x≤32，‎ 根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），‎ 因此，所求每月最低制造成本为648万元．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．‎ ‎30．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？‎ ‎（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标；‎ ‎（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值；‎ ‎（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4）‎ 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得 ‎，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4．‎ 令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，‎ 解得x1=﹣4，x2=1，∴C（1，0）．‎ ‎（2）如答图1所示，设D（t，0）．‎ ‎∵OA=OB，∴∠BAO=45°，‎ ‎∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）．‎ PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4，‎ ‎∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）．‎ ‎（3）存在．‎ 如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．‎ 设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，‎ ‎∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m．‎ 又M为OA中点，∴MH=2﹣m．‎ ‎△MON为等腰三角形：‎ ‎①若MN=ON，则H为底边OM的中点，‎ ‎∴m=1，∴yQ=4﹣m=3．‎ 由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，‎ ‎∴点Q坐标为（，3）或（，3）；‎ ‎②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，‎ 根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2，‎ 化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）‎ ‎∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，‎ ‎∴点Q坐标为（，2）或（，2）；‎ ‎③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，‎ 根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=（4﹣m）2+m2，‎ 化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，‎ ‎∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．‎ 综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．‎ 所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、一元二次方程的解法及判别式、等腰三角形以及勾股定理等方面知识，涉及考点较多，难度较大．第（3）问中，注意等腰三角形有三种情形，需要分类讨论，避免因漏解而导致失分．‎ 本资料仅限下载者本人学习或教研之用，未经菁优网授权，不得以任何方式传播或用于商业用途。‎