2012中考数学压轴题精选精析2130例 38页

‎2012中考数学压轴题精选精析（21-30例）‎ ‎21．（2011•湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C．‎ ‎（1）求∠ACB的度数；‎ ‎（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解题思路】：(1) ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ∴∠ACB=‎ ‎(2) ∵△AOC∽△ABC ∴ ∵A(－，0)，点C(0，3)，∴ ∴ ∴ ∴B(4,0) 把 A、B、C三点坐标代入得 ‎ ‎(3)‎ ‎1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH= ∴D ‎ ‎2) BD=BO 过D作DG⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5‎ ‎∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= DG= ∴D(,)‎ ‎【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等 ‎24、（2011•湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1． （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点， ①求△ACQ周长的最小值； ②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式． ‎ 考点：二次函数综合题．‎ 分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；‎ ‎（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线；‎ ‎（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值； ②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案．‎ 解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，‎ ‎∵正方形CDEF的面积为1，‎ ‎∴CD=CF=1，‎ 根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，‎ ‎∴BC=2PC=2n，‎ ‎∵而PB=PE，‎ ‎∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，‎ ‎∴5n2=（n+1）2+1，‎ 解得：n=1或n=－ 12（舍去），‎ ‎∴BC=OC=2，‎ ‎∴B点坐标为（2，2）；‎ ‎（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），‎ ‎∵A，C在抛物线上，‎ ‎∴ {c=214×4+2b+c=0，‎ 解得： {c=2b=－32，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y= 14x2－ 32x+2= 14（x－3）2－ 14，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，‎ ‎∵C与G关于直线x=3对称，‎ ‎∴CF=FG=1，‎ ‎∴MF= 12FG= 12，‎ 在Rt△PEF与Rt△EMF中，‎ ‎∠EFM=∠EFP，‎ ‎∵ FMEF=121=12， EFPF=12，‎ ‎∴ FMEF=EFPF，‎ ‎∴△PEF∽△EMF，‎ ‎∴∴∠EPF=∠FEM，‎ ‎∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，‎ ‎∴ME是⊙P的切线；‎ ‎（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，‎ 则有AQ=A′Q，‎ ‎∴△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长， ‎∵A与A′关于直线x=3对称，‎ ‎∴A（0，2），A′（6，2），‎ ‎∴A′C=（6－2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，‎ ‎∴△ACQ周长的最小值为2 2+2 5；‎ ‎②当Q点在F点上方时，S=t+1，‎ 当Q点在线段FN上时，S=1－t，‎ 当Q点在N点下方时，S=t－1．‎ 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用．‎ ‎22、（2011•襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的⊙O'与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是⊙O'的切线，AD丄CD于点D，tan∠CAD=，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．‎ ‎（1）求证：∠CAD=∠CAB；‎ ‎（2）①求抛物线的解析式；‎ ‎②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；‎ ‎（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；‎ ‎②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；‎ ‎（3）根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解．‎ 解答：（1）证明：连接O′C，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴O′C⊥CD，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴O′C∥AD，‎ ‎∴∠O′CA=∠CAD，‎ ‎∵O′A=O′C，‎ ‎∴∠CAB=∠O′CA，‎ ‎∴∠CAD=∠CAB；‎ ‎（2）①∵AB是⊙O′的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴∠CAB=∠OCB，‎ ‎∴△CAO∽△BCO，‎ ‎∴，‎ 即OC2=OA•OB，‎ ‎∵tan∠CAO=tan∠CAD=，‎ ‎∴AO=2CO，‎ 又∵AB=10，‎ ‎∴OC2=2CO（10﹣2CO），‎ ‎∵CO＞0，‎ ‎∴CO=4，AO=8，BO=2，‎ ‎∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，‎ ‎∴c=4，‎ 由题意得：，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+4；‎ ‎②设直线DC交x轴于点F，‎ ‎∴△AOC≌△ADC，‎ ‎∴AD=AO=8，‎ ‎∵O′C∥AD，‎ ‎∴△FO′C∽△FAD，‎ ‎∴，‎ ‎∴8（BF+5）=5（BF+10），‎ ‎∴BF=，F（，0）；‎ 设直线DC的解析式为y=kx+m，‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴直线DC的解析式为y=﹣x+4，‎ 由y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+3）2+得顶点E的坐标为（﹣3，），‎ 将E（﹣3，）代入直线DC的解析式y=﹣x+4中，‎ 右边=﹣×（﹣3）+4==左边，‎ ‎∴抛物线顶点E在直线CD上；‎ ‎（3）存在，P1（﹣10，﹣6），P2（10，﹣36）．‎ 点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．‎ ‎23、（2011•江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．‎ ‎（1）直接填写：a=　﹣1　，b=　﹣2　，顶点C的坐标为　（﹣1，4）　；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；‎ ‎（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．‎ ‎（3）首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．‎ 解答：解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；‎ ‎（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．‎ 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，‎ ‎∴△CED∽△DOA，∴．‎ 设D（0，c），则．变形得c2﹣‎4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．‎ 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），‎ 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．‎ ‎（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．‎ 延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．‎ 设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．‎ 设直线CM的解析式为y=k1x+b1，‎ 则，解之得，．‎ ‎∴直线CM的解析式．‎ 联立，解之得或（舍去）．‎ ‎∴．‎ ‎②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．‎ 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．‎ 由△CFA∽△CAH得，‎ 由△FNA∽△AHC得．‎ ‎∴AN=2，FN=1，点F坐标为（﹣5，1）．‎ 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，‎ 解之得．‎ ‎∴直线CF的解析式．‎ 联立，解之得或（舍去）．‎ ‎∴．‎ ‎∴满足条件的点P坐标为或．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．‎ ‎24．（2011湖北黄冈鄂州，24，14分））如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．‎ ‎⑴求b的值．‎ ‎⑵求x1•x2的值 ‎⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．‎ ‎⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第24题图 ‎【解题思路】第（1）问，将F（0，1）代入y=kx＋b即可得b值。‎ ‎⑵要将坐标转化为方程组的解，将方程组变形得关于x的一元二次方程，‎ 再利用根与系数的关系得=－4‎ ‎（3）要结合条件并利用（2）中的结论得到F‎1M1•F1N1=－x1•x2=4，结合（1）中的结论得 F F1=2，再把两个结论结合得到F‎1M1•F1N1=F‎1F2‎ 判定直角三角形相似，再利用直角三角形的相似性质，‎ 就可得到∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN‎1F1＋∠F1FN1=90°，‎ 所以△M1FN1是直角三角形．‎ ‎（4）表示线段长利用坐标所在的函数关系，将函数式相加减表示距离。‎ 运用梯形中位线的性质，来证明。‎ ‎【答案】解：⑴b=1‎ ‎⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第24题解答用图 P Q ‎⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：‎ 由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，‎ 则F‎1M1•F1N1=－x1•x2=4，而F F1=2，所以F‎1M1•F1N1=F‎1F2，‎ 另有∠M‎1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN‎1F1，‎ 故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN‎1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．‎ ‎⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：‎ 直线y=－1即为直线M1N1．‎ 如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF 同理MM1=MF．‎ 那么MN=MM1＋NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1＋NN1）=MN，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切．‎ ‎【点评】：‎ 此题第（1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。‎ ‎（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“根与系数”的关系求解。‎ ‎（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。‎ ‎（4）用函数的加减来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。‎ 难度较大 ‎25、（2011•宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣b，m2﹣mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1▪x2的值；‎ ‎（3）当﹣1≤x≤1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）把点（0，﹣）代入抛物线可以求出c的值．‎ ‎（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣，然后把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x1•x2的值．‎ ‎（3）抛物线y=x2+bx﹣的顶点（﹣，﹣﹣），当b＜0时，x=﹣1时y的值大；当b＞0时，x=1时y的值大．然后比较x=﹣1，x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定|y0|的最小值．‎ 解答：解：（1）把点（0，﹣）代入抛物线，得：c=﹣；‎ ‎（2）把点（0，﹣）代入直线得：n=﹣．‎ 把点（m﹣b，m2﹣mb+n）代入抛物线，得：‎ a（m﹣b）2+b（m﹣b）+c=m2﹣mb+n ‎∵c=n=﹣，‎ ‎∴a（m﹣b）2+b（m﹣b）=m2﹣mb，‎ am2﹣2abm+ab2+bm﹣b2﹣m2+mb=0‎ ‎（a﹣1）m2﹣（a﹣1）•2bm+（a﹣1）b2=0‎ ‎（a﹣1）（m2﹣2bm+b2）=0‎ ‎（a﹣1）（m﹣b）2=0‎ ‎∴a=1，‎ 当m﹣b=0时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以m≠b．‎ 把a=1，c=﹣代入抛物线有：‎ y=x2+bx﹣，‎ 当y=0时，x2+bx﹣=0，‎ ‎∴x1•x2=﹣；‎ ‎（3）y=x2+bx﹣，顶点（﹣，﹣﹣）‎ 当b≤0时，x=﹣1时，y=﹣b，‎ 比较﹣b与+的大小，得到：‎ ‎﹣4≤b≤0时，﹣b≥+，‎ 所以当b=0时，|y0|的最小值为．‎ b≤﹣4时，﹣b≤+，‎ 所以当b=﹣4时，|y0|的最小值为．‎ 当b≥0时，x=1时，y=+b，‎ 比较+b与+的大小，得到：‎ ‎0≤b≤4时，+b≥+，‎ 所以当b=0时，|y0|的最小值为．‎ b≥4时，+b≤+，‎ 所以当b=4时，|y0|的最小值为．‎ 故|y0|的最小值为或．‎ 点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c的值．（2）结合一元二次方程的解确定x1•x2的值．（3）在x的取值范围内确定|y0|的最小值．‎ ‎26、（2011•滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=‎4米，点B到水平面距离为‎2米，OC=‎8米．‎ ‎（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）‎ ‎（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax2，又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接BD交OC于点P，则点P即为所求；‎ ‎（3）首先根据题意求得点B与D的坐标，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BD的函数解析式，把x=0代入y=﹣x+4，即可求得点P的坐标．‎ 解答：解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，‎ 设抛物线的函数解析式为y=ax2，‎ 由题意知点A的坐标为（4，8）．‎ ‎∵点A在抛物线上，‎ ‎∴8=a×42，‎ 解得a=，‎ ‎∴所求抛物线的函数解析式为：y=x2；‎ ‎（2）找法：‎ 延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，‎ 则点A、D关于OC对称．‎ 连接BD交OC于点P，则点P即为所求．‎ ‎（3）由题意知点B的横坐标为2，‎ ‎∵点B在抛物线上，‎ ‎∴点B的坐标为（2，2），‎ 又∵点A的坐标为（4，8），‎ ‎∴点D的坐标为（﹣4，8），‎ 设直线BD的函数解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：k=﹣1，b=4．‎ ‎∴直线BD的函数解析式为y=﹣x+4，‎ 把x=0代入y=﹣x+4，得点P的坐标为（0，4），‎ 两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是‎4米．‎ 点评：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．‎ ‎23、（2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．‎ ‎（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．‎ ‎（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：‎ ‎①求出点A，B，C的坐标．‎ ‎②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；‎ ‎（2）①连接PB，设点P（x，），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=，利用sin∠PBG=，列方程求x即可；‎ ‎②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可．‎ 解答：（1）四边形OKPA是正方形．‎ 证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，‎ ‎∴PA⊥OA，PK⊥OK．‎ ‎∴∠PAO=∠OKP=90°．‎ 又∵∠AOK=90°，‎ ‎∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．‎ ‎∴四边形OKPA是矩形．‎ 又∵OA=OK，‎ ‎∴四边形OKPA是正方形．（2分）‎ ‎（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．‎ 过点P作PG⊥BC于G．‎ ‎∵四边形ABCP为菱形，‎ ‎∴BC=PA=PB=PC．‎ ‎∴△PBC为等边三角形．‎ 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，‎ PG=．‎ sin∠PBG=，即．‎ 解之得：x=±2（负值舍去）．‎ ‎∴PG=，PA=BC=2．（4分）‎ 易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，‎ ‎∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．‎ ‎∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．（6分）‎ 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．‎ 据题意得： 解之得：a=，b=，c=．‎ ‎∴二次函数关系式为：．（9分）‎ ‎②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得： 解之得：u=，v=．‎ ‎∴直线BP的解析式为：．‎ 过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．‎ 解方程组： 得：；．‎ 过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．‎ ‎∴0=．‎ ‎∴．‎ ‎∴直线CM的解析式为：．‎ 解方程组： 得：；．‎ 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，‎ 分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）‎ 解法二：∵，‎ ‎∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．‎ 延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．‎ 又∵AM∥BC，‎ ‎∴．‎ ‎∴点M的纵坐标为．‎ 又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．‎ ‎∴点M（4，）符合要求．‎ 点（7，）的求法同解法一．‎ 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，‎ 分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）‎ 解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．‎ 又∵AM∥BC，‎ ‎∴．‎ ‎∴点M的纵坐标为．‎ 即．‎ 解得：x1=0（舍），x2=4．‎ ‎∴点M的坐标为（4，）．‎ 点（7，）的求法同解法一．‎ 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，‎ 分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．（12分）‎ 点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由菱形、圆的性质，形数结合解题．‎ ‎27、（2011•泰安）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．‎ ‎（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？‎ ‎（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 专题：销售问题。‎ 分析：（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．可计算出一个月可获利多少元；‎ ‎（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，得到y与x的二次函数关系式求出函数的最大值即可．‎ 解答：解：（1）获利：（30﹣20）[105﹣5（30﹣25）]=800；‎ ‎（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，‎ 由题意，得y=（x﹣20）[105﹣5（x﹣25）]=﹣5x2+330x﹣4600=﹣5（x﹣33）2+845，‎ 当x=33时，y的最大值为845，‎ 故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元．‎ 点评：本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．‎ ‎29、（2011•泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．‎ ‎（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；‎ ‎（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，‎ ‎（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．‎ 解答：解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，‎ ‎∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，‎ ‎∴∠CAD=∠CBD=45°，‎ ‎∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，‎ ‎∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠CBG，‎ ‎∴△AEC≌△CGB，‎ ‎∴AE=CG，‎ ‎（2）BE=CM，‎ 证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，‎ ‎∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，‎ ‎∴∠CMA=∠BEC，‎ 又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，‎ ‎∴△BCE≌△CAM，‎ ‎∴BE=CM．‎ 点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．‎ ‎28、（2011•临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；‎ ‎（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）由于抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D的坐标；‎ ‎（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．‎ 解答：解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得 ‎，‎ 解得．‎ 故抛物线的解析式为y=x2+2x；‎ ‎（2）①当AE为边时，‎ ‎∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，‎ ‎∴DE=AO=2，‎ 则D在x轴下方不可能，‎ ‎∴D在x轴上方且DE=2，‎ 则D1（1，3），D2（﹣3，3）；‎ ‎②当AO为对角线时，则DE与AO互相平方，‎ 因为点E在对称轴上，‎ 且线段AO的中点横坐标为﹣1，‎ 由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）‎ 故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；‎ ‎（3）存在，‎ 如上图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：‎ BO2=18，CO2=2，BC2=20，‎ ‎∴BO2+CO2=BC2．‎ ‎∴△BOC是直角三角形．‎ 假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，‎ 设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，‎ ‎①若△AMP∽△BOC，则=，‎ 即 x+2=3（x2+2x）‎ 得：x1=，x2=﹣2（舍去）．‎ 当x=时，y=，即P（，）．‎ ‎②若△PMA∽△BOC，则=，‎ 即：x2+2x=3（x+2）‎ 得：x1=3，x2=﹣2（舍去）‎ 当x=3时，y=15，即P（3，15）．‎ 故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．‎ 点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标．‎ ‎29、（2011•潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣‎3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）‎ ‎（1）写出A、B、D三点的坐标；‎ ‎（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；‎ ‎（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；‎ ‎（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；‎ ‎（3）分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．‎ 解答：解：（1）A（﹣m，0），B（‎3m，0），D（0，m）．‎ ‎（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（﹣3，0），D（0，m）代入得：‎ 解得，k=，b=m．‎ ‎∴直线ED的解析式为y=mx+m．‎ 将y=﹣（x+m）（x﹣‎3m）化为顶点式：y=﹣（x+m）2+m．‎ ‎∴顶点M的坐标为（m，m）．代入y=mx+m得：m2=m ‎∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．‎ 连接CD，C为AB中点，C点坐标为C（m，0）．‎ ‎∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上 又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，‎ EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．‎ ‎∴∠FDC=90°‎ ‎∴直线ED与⊙C相切．‎ ‎（3）当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=m（3﹣m）‎ S=﹣m2+m．‎ 当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m（m﹣3）．‎ 即S=m2_m．‎ 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．‎ ‎30、（2011•菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；‎ ‎（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b得值，即可的出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；‎ ‎（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值 解答：解：（1）把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx﹣2，‎ 整理后解得，‎ 所以抛物线的解析式为．（2分）‎ 顶点D；（3分）‎ ‎（2）AB=5．AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．（6分）‎ ‎（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，‎ 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．‎ 设抛物线的对称轴交x轴于点E，‎ ‎△C′OM∽△DEM．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴m=．（10分）‎ 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．‎