- 465.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
专题二 阴影部分面积计算
例 如图,在扇形OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,CD与 AB 交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作 CE 交OB于点E,若OA=4,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)。
1. 如图,把八个等圆按相邻的两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2,则=( )
A. B. C. D. 1
第1题图
2. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,直径MN∥AD,则阴影部分的面积占圆面积的( )
A. B. C. D.
第2题图
3.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
第3题图
4. 如图,四个半径为1的小圆都过大圆圆心且与大圆相内切,阴影部分的面积为( )
A. π B. 2π-4 C. D. +1
第4题图
答案
1. B 【解析】设每个等圆的半径为r.∵正八边形的内角度数是=135°,∴正八边形外侧每一个小扇形的圆心角度数都是360°-135°=225°,∴正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和S1=8×,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和S2=8×,∴==.
2. B 【解析】如解图,连接OD,∵MN∥AD,∴S△ODN=S△AON,∴S
阴影=2S扇形ODN=S⊙O,则阴影部分的面积占圆面积的.
第2题解图
3. D 【解析】如解图,连接DB,GE,FK,则DB∥GE∥FK,∴S△DGB=S△DBE,∴S△DGE=S△GBE,同理,S△GKE=S△GFE,∴S△DEK=S△DGE+S△GKE=S△GBE+S△GFE=S正方形BEFG=42=16.
第3题解图
4. B 【解析】如解图,设两小圆交点为A、C,其中一小圆圆心为B,连接AB,AC,BC,∵四个小圆面积和为4π,大圆的面积也是4π,∴S阴影=S小圆重合部分,∴S阴影=8S弓形AC=8(S扇形ABC-S△ABC)=8×(-×1×1)= 2π-4.
第4题解图
针对演练
◆直接和差法
1. 如图,正方形AEFG的一边AE放置在正方形ABCD的对角线AC
上,EF与CD交于点M,得四边形AEMD,且两正方形的边长均为2,则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )
A. -4-4 B. 4-4
C. 8-4 D. 4+4
第1题图
2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. - D.
第2题图
3. 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上.当正方形CDEF的边长为2时,阴影部分的面积为( )
A. +2 B. 2π-2
C. +2 D. π-2
第3题图 第4题图
4. 如图,在圆心角为135°的扇形OAB中,半径OA=2,点C,D为的三等分点,连接OC,OD,AC,CD,BD,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. π+ C. -3 D. -
5. 如图,已知边长为2的正六边形ABCDEF,点A1,B1,C1,D1,E1,F1分别为所在各边的中点,则图中阴影部分的总面积是( )
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6. 如图,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2,C为的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积为________.
7. 用等分圆周的方法,在半径为1的圆中画出如图所示图形,则图中阴影部分面积为________.
第7题图
◆割补法
8. 如图,△ABC的面积为16,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形.则图中阴影部分的面积是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第8题图 第9题图
9. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点O是边BC的中点,半圆O与△ABC的边AB,AC分别相切于点D,E,则阴影部分的面积为( )
A. 1- B. C. 1- D.
10. 如图是某商品的标志图案.AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10 cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为( )
A. 5π cm2 B. 10π cm2 C. 15π cm2 D. 20π cm2
第10题图
11. 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N,若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
第11题图
12. 如图,正方形的边长为3 cm,点E,F为对角线AC的三等分点,则图中阴影部分的面积为________cm2.
第12题图 第13题图
13. 如图,菱形ABCD的边长为2 cm,∠A=60°,是以点A为圆心、AB长为半径的弧,是以点B为圆心、BC长为半径的弧,则阴影部分的面积为________ cm2.
14. 将边长分别为2、4、6的三个正三角形按如图方式排列,A、
B、C、D在同一直线上,则图中阴影部分的面积的和为________.
第14题图
参考答案
1. B 【解析】由题意知△ADC是等腰直角三角形,AD=CD=2
,则S△ACD=AD·CD=×2×2=2,AC=AD=2,则EC=AC-AE=2-2,∵△MEC是等腰直角三角形,∴S△MEC=ME·EC=(2-2)2=6-4,∴S阴影=S△ACD-S△MEC=2-(6-4)=4-4.
2. A 【解析】由题意可知,△ABC≌△ADE,∵∠ACB=90°,AC=BC=1,由勾股定理得AB=,∴S阴影=S△ADE+S扇形BAD-S△ABC=S扇形BAD==,故选A.
3. D 【解析】如解图,连接OC,∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是的中点,∴∠COD=45°,OD=CD=2,∴在Rt△COD中,OC=CD=2,∴S阴影=S扇形BOC-S△ODC=-×22=π-2.
第3题解图
4. C 【解析】∵C,D是的三等分点,∠AOB=135°,∴∠AOC=∠COD=∠BOD=45°,∵AO=CO=DO=BO,∴△AOC≌△COD≌△BOD,如解图,过点A作AE⊥OC于E,∴在Rt△AOE中,AE=AO·sin45°=2×=,∴S△AOC=OC·AE=×2×
=,∴S阴影=S扇形AOB-3S△AOC=-3=-3.
第4题解图
5. A 【解析】如解图,过点A作AM⊥A1B1于M,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠B1AA1=120°,又∵点A1,B1分别为AF,AB的中点,∴AA1=AB1=×2=1,∠AA1B1==30°,∴AM=AA1=,A1M=AA1·cos30°=1×=,∴A1B1=2A1M=,则S△AA1B1=××=,同理,S△EE1F1=S△CC1D1=,∴阴影部分的总面积为×3=.
第5题解图
6. 【解析】如解图,连接OC、CE,∵C为的中点,∴=,∴∠DOC=∠EOC=∠AOB=45°,又∵D、E分别是OA、OB的中点,∴OD=OA=1,OE=OB=1,∴OD=OE,DE=,∴∠ODE=
45°,∴OC⊥DE,∵OC=OC,∴△OCD≌△OCE(SAS),∴S△ODE=×1×1=,S扇形OBC==,∴S△OCD=OC·DE=,∴S阴影=S扇形OBC+S△OCD-S△ODE=+-=.
第6题解图
7. π- 【解析】如解图,设的中点为P,连接OA、OP、AP,则∠AOP=60°,∴△AOP为等边三角形,S△AOP=××1=,
S扇形OAP==,S弓形AP=S扇形OAP-S△AOP=-,∴S阴影=6×
S弓形=6×(-)=π-.
第7题解图
8. B 【解析】∵四边形BDHG是平行四边形,∴GH=BD=BC,GH∥BC,设△AGH边GH上的高是a,△CGH边GH上的高是b,△ABC边BC上的高是h,则a+b=h,∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH
(a+b)=BD·h=×BC·h=S△ABC=×16=4.
9. B 【解析】如解图,连接OD交BE于点F,连接OE,∵半圆O与△ABC的边AB、AC分别相切于点D、E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点O是BC的中点,∴四边形ADOE是正方形,△OBD和△OCE是等腰直角三角形,∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1,∠ABC=∠EOC=45°,∴AB∥OE,∴∠DBF=∠OEF,∠DOE=90°,在△BDF和△EOF中,∴△BDF≌△EOF(AAS),∴S△BDF=S△EOF,∴S阴影=S扇形DOE==.
第9题解图
10. B 【解析】∵AC与BD是⊙O的两条直径,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∴∠DBA=∠BAC=36°,根据三角形的外角和定理得∠AOD=∠BOC=72°,∵矩形ABCD对角线相等且互相平分,∴OA=OC=OD=OB=5 cm,∴S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD,∴S阴影=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD=2×=10π cm2.
11. D 【解析】如解图,过点E分别作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,则∠EPM=∠EQN=90°,由于E点在正方形的对角线上,则EP=EQ,则四边形EPCQ为正方形,从而可得∠PEM+∠MEQ=∠QEN+∠QEM=90°,∴∠PEM=∠QEN,∴△EPM≌△EQN(ASA)
,∴S四边形EMCN =S四边形EMCQ+S△EQN=
S四边形EMCQ+S△EPM=S正方形EPCQ.∵EQ∥AD,∴==,∴EQ=
a,∴四边形EMCN的面积为a2.
第11题解图
12. 4 【解析】如解图,设过点E的垂线交BC于点H,交CD于点G,过点F的垂线交BC于点I,∵E、F是对角线AC的三等分点,BC=3 cm,∴IC=1 cm,由正方形性质可得S四边形ABHE=S四边形AEGD,S△FIC=FI·IC= cm2,∴S阴影=S△ABC-S△FIC=×3×3-=4 cm2.
第12题解图
13. 【解析】如解图,连接BD,过点D作DE⊥BC,垂足为E,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴△ABD和△BCD是等边三角形,∴S阴影=S△BCD=BC·DE=×2×2×sin60°=2×= cm2.
第13题解图
14. 【解析】如解图,AG分别交BE、CF、BH于点E、F、H.在三个正三角形中,∠ABE=∠BCF=∠CDG=60°,∴BE∥CF∥DG,∴=,即=,解得CF=3,∴第二个三角形中的阴影部分三角形的底边长为4-3=1,同理=,即=,解得BE=1,边长为4的等边三角形的高为4×=2,∵阴影部分的面积的和=△BEH的面积+第二个等边三角形中阴影部分的面积,∴阴影部分的面积的和为×1×2=.
第14题解图