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- 2021-05-10 发布
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24：方程、不等式和函数的综合
一、选择题
1．（广西百色3分）二次函数的图像如图，则反比例函数y=－与一次函数的图像在同一坐标系内的图像大致是
【答案】B。
【考点】一、二次函数和反比例函数的图象特征与性质。
【分析】根据二次函数的图象和性质，知图象开口向下，＜0；顶点在第一象限，＞0，得＞0。
所以反比例函数y=－的＞0，它的图象在一、三象限；一次函数的图象在一、四、三象限。故选B。
2.（福建福州4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】反比例函数的图象。
【分析】根据图象可知：函数是反比例函数，且＞0，选项B的=4＞0，符合条件。故选B。
3.（广西贺州3分）函数y＝ax－2 (a≠0)与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
【答案】A。
【考点】一、二次函数图象的特征。
【分析】由一次函数知，它的图象与轴的交点为（0，－2），故排除B、D选项；若，二次函数的图象的开口向上，故排除C选项。故选A。
4.（广西钦州3分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是
【答案】A。
【考点】一、二次函数图象的特征。
【分析】由一次函数知，它的图象与轴的交点为（0，－2），故排除B、D选项；若，二次函数的图象的开口向上，故排除C选项。故选A。
5.（广西玉林、防城港3分）已知二次函数的图象开口向上，则直线经过的象限是
A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限
C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系。
【分析】∵二次函数图象的开口向上，∴二次项系数＞0；
又∵直线与y轴交与负半轴上的－1，
∴经的象限是第一、三、四象限。故选D。
6.（湖南湘潭3分）在同一坐标系中，一次函数=+1与二次函数=2+的图象可能是
【答案】C。
【考点】一、二次函数的图象。
【分析】A、由抛物线可知，＜0，，由直线可知，＞0，错误；B、由抛物线可知，＞0，二次项系数为负数，与二次函数=2+矛盾，错误；C、由抛物线可知，＜0，由直线可知，＜0，正确；D、由直线可知，直线经过（0，1），错误。故选C。
7.(江苏无锡3分 )如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于的不等式的解集是
A．>1 B．<－1 C．0<<1 D．－1<<0
【答案】D．
【考点】点的坐标与方程的关系, 不等式的解集与图像的关系，二次函数图像。
【分析】由抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1, 代入可得交点A的纵坐标是2。把(1，2) 代入可得。从而。则求不等式的解集等同于问当为何值时函数图像在函数图像下方。由二次函数图像性质知，函数图像开口向下，顶点在（0，－1），与图像的交点横坐标是－1。故当－1<<0时，函数图像在函数图像下方，从而关于的不等式的解集是－1<<0。．
8．（山东莱芜3分）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致可能是
【答案】A。
【考点】一、二次函数和反比例函数的图象。
【分析】由二次函数的图象可知，开口向下，，故反比例函数
的图象在二、四象限，从而排除C、D选项；又在中令，得，由于时且，所以，从而正比例函数的图象在一、三象限。故选A。
9.（广东佛山3分）下列函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大的是
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】一次函数、二次函数和反比例函数的性质。
【分析】根据两一次函数和反比例函数的性质知，A、函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而减小；B、函数的图像在对称轴左边，值随值的增大而减小，在对称轴右边，值随值的增大而增大；C、函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而减小；D、、函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大。故选D。
10.（广东广州3分）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】二次函数、一次函、正比例函数、反比例函数的性质。
【分析】A、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（＞0时），随的增大而增大；故本选项错误；B、一次函数的图象，随的增大而增大； 故本选项错误；C、正比例函数的图象在一、三象限内，随的增大而增大； 故本选项错误；D、反比例函数中的1＞0，所以随的增大而减小； 故本选项正确；故选D。
11.（四川凉山4分）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像是
【答案】B。
【考点】二次函数、反比例函数、正比例函数的图象和性质。
【分析】由二次函数的图象可知，∵图象开口向下，∴；∵对称轴在轴左侧，∴，由，知。根据反比例函数图象的性质，当时，函数图象在二、四象限；根据正比例函数图象的性质，当时，函数图象经过二、四象限。故选B。
12.（四川自贡3分）有下列函数：① ② ③ ④，其中函数值随自变量增大而增大的函数有
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【答案】C。
【考点】正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的图象特征。
【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的图象特征，得①随自变量增大而减小；②随自变量增大而增大；③随自变量增大而增大；④的对称轴为且，所以，在对称轴左边随自变量增大而减小，在对称轴右边随自变量增大而增大。从而，函数值随自变量增大而增大的函数有②③。故选C。
13.（安徽芜湖4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是
【答案】D。
【考点】二次函数、反比例函数和一次函数的图象和性质。
【分析】根据二次函数、反比例函数和一次函数的性质知，二次函数的图象开口向下，，故反比例函数的图象在二四象限；，二次函数的图象经过坐标原点，，故一次函数的图象也经过坐标原点，故选D。
14.（云南曲靖3分）已知正比例函数y=ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y=ax2＋k在坐系中的大致图象是
【答案】B。
【考点】正比例、反比例和二次函数的图象和性质。
【分析】根据正比例函数的图象和性质，由所给正比例函数y=ax的图象知a<0；根据反比例函数的图象和性质，由所给正比例函数的图象知k>0。因此根据二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2＋k，a<0，图象开口向下；k>0图象与y轴交点在x轴上方。故选项B正确。
15.（贵州黔南4分）下列函数：①；②；③；④，随的增大而减小的函数有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】B。
【考点】一、二次函数和反比例函数的性质。
【分析】根据这些函数的性质及自变量的取值范围，逐一判断：：①，随的增大而减小；②，随的增大而增大；③，在和两个区域内，随的增大而增大；④，随的增大而减小。因此随的增大而减小的函数有2个。故选B。
16.（福建龙岩4分）下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是
【答案】D。
【考点】一次、二次、反比例函数图象的增减性。
【分析】A：直线y随x增大而增大，选项错误；B：抛物线在对称轴左边y随x增大而减小，右边y随x增大而增大，选项错误； C：双曲线分别在两个象限内y随x增大而增大，选项错误； D、直线y随x增大而减小，选项正确。故选D。
二、填空题
1.（浙江义乌4分）如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
（2）已知点P是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线沿y轴向上平移，分别交轴、轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 ▲ .
【答案】（）；，（2，2），，。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元方程组。
【分析】（1）由可知图象的对称轴为 ，将代入中，可求B点坐标（）。
（2）设D（0，2），则直线CD解析式为，可知C（，0），即OC：OD=1：2。则OD=2，OC=，根据勾股定理可得CD=。则以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，因此分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标：
当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=，
设P的坐标是，则纵坐标是-
根据题意得：，解得。
则P的坐标为。
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2）。
当∠DCP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则P。
若DC：PD=OC：OD=1：2，则P。
综上所述，点P的坐标为，（2，2），，。
2.（广西河池3分）如图是二次函数和一次函数
的图象，当1＞2时，的取值范围是 ▲ ．
【答案】或。
【考点】二次函数和一次函数的图象。
【分析】从图象可知，当1＞2时，即二次函数的图象在一次函数的图象上方，此时或。
3.（江苏扬州3分）如图，已知函数 与的图象交于点P，点P的纵坐标为１，则关于的方程的解为 ▲ ．
【答案】－3。
【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，函数与方程的关系。
【分析】 先把1代入求出点P的横坐标为－3。而关于的方程
的解就是函数 与的图象交点的横坐标－3。
三、解答题
1.（江苏盐城10分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品
零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【答案】解：（1）设甲商品的进货单价是元，乙商品的进货单价是元．
根据题意，，解得，
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元。
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s＝(1－m)(500＋100×)＋(2－m)(300＋100×) ，
即 s＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705。
∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705。
答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润
是1705元。
【考点】根据等量关系列方程组和函数关系式，二次函数的最大值。
【分析】（1）根据信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；易列第一个方程。
根据信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元
知道甲商品零售单价为＋1,乙商品零售单价为2－1，
根据信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元，列第二个方程。联立求解即可。
（2）根据利润＝销售收入－销售成本公式 甲种商品的销售收入为：(3－m)(500＋100×)，销售成本为：2(500＋100×)，利润为 (1－m)(500＋100×)。乙种商品的销售收入为：(5－m)(300＋100×)，销售成本为：3(300＋100×)，利润为 (2－m)(300＋100×)。从而列出二次函数式，化为顶点式的形式即可求。
2.（新疆自治区、兵团10分）某商场推销一种书包，进价为30元，在试销中发现这种书包每天的销
售量（个）与每个书包销售价（元）满足一次函数关系式．当定价为35元时，每天销售30个；
定价为37元时，每天销售26个．问：如果要保证商场每天销售这种书包获利200元，求书包的销售
单价应定为多少元？
【答案】解：设，则，解得：。
∴。
若书包定价为元，则有，∴。
解得。
答：书包的销售单价应定为40元。
【考点】一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式。
【分析】根据题意找出销售价和销售量的关系，然后根据利润200元列方程求解，设此时书包的单价是
元。
3.（黑龙江龙东五市10分）2010年6月5日
是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”。为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求。市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
30
32
B型
42
45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使
获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么
从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由。
【答案】解：（1）设A型汽车购进辆，则B型汽车购进（16－）辆。
根据题意得， ，解得，。
∵为整数，∴取6、7、8。
∴有三种购进方案：
A型
6辆
7辆
8辆
B型
10辆
9辆
8辆
（２）设总利润为w万元，
根据题意得，w＝(32－30) ＋(45－42)(16－) ＝－＋48
∵－1＜0，∴w随的增大而减小。
∴当x=6时，w有最大值，w最大＝－6＋48＝42（万元）。
∴当购进A型车６辆，B型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元。
（3）设电动汽车行驶的里程为万公里。
当3２＋0.65＝4５时，＝２０＜30 ，
∴选购太阳能汽车比较合算。
【考点】一元一次不等式组的应用，一次函数的应用。
【分析】
（1）根据已知信息和若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，列出不等式组，求解得出进车方案。
（2）根据已知列出利润函数式，求最值，选择方案。
（3）根据已知通过计算分析得出答案。
4.（广西南宁10分）南宁市五象新区有长24000m的新建道路要铺上沥青．
(1)写出铺路所需时间t(天)与铺路速度v(m/天)的函数关系式．
(2)负责铺路的工程公司现有的铺路机每天最多能铺路400m，预计最快多少天可以完成铺路任务？
(3)为加快工程进度，公司决定投入不超过400万元的资金，购进10台更先进的铺路机．现有甲、
乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和日铺路能力如下表．在原有的铺路机连续铺路40天后，新购进的10台机器加入铺路，公司要求至少比原来预计的时间提前10天完成任务．问有哪几种方案？请你通过计算说明选择哪种方案所用资金最少．
甲
乙
价格(万元/台)
45
25
每台日铺路能力(m)
50
30
【答案】解：（1）铺路所需要的时间与铺路速度之间的函数关系式是。
（2）当=400时， ＝60（天）。
（3）解：设可以购买甲种机器台，则购买乙种机器（10－）台，则有
，解之，得。
∴可以购买甲种机器3台、乙种机器7台；甲种机器4台、乙种机器6台；甲种机器5台，乙种机器5台；总共三种方案.
第一种方案所花费费用为：45×3＋25×7＝310（万元）；
第二种方案花费为：4×45＋6×25＝330（万元）；
第三种方案花费为：5×45＋5×25＝350（万元）。
因此选择第一种方案花费最少。
【考点】列函数关系式，求函数值，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据工作量，工作效率和工作时间的关系可列函数关系式。
（2）由已知直接求出函数值。
（3）不等式组应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式组求解。本题不等量关系为：
①购买甲种机器的金额＋购买乙种机器的金额“不超过”400万元
②10×（原每天工作量＋甲种机器每天工作量＋乙种机器每天工作量）“不低于”余下的工作量
5.（四川攀枝花8分）某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．
（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；
（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来．
每瓶香水利润
每瓶护肤品利润
甲公司
180
200
乙公司
160
150
【答案】解：（1）依题意，甲公司的护肤品瓶数为：40﹣x，
乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：70﹣x，30﹣（40﹣x）=x﹣10，
∴w=180x+200（40﹣x）+160（70﹣x）+150（x﹣10）=﹣30x+17700，
即甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式w=﹣30x+17700。
（2）甲公司的利润为：180x+200（40﹣x）=8000﹣20x，
乙公司的利润为：160（70﹣x）+150（x﹣10）=9700﹣10x，
∵8000﹣20x﹣（9700﹣10x）=﹣1700﹣10x＜0，
∴甲公司的利润会不会比乙公司的利润高。
（3）根据题意得：，解得：10≤x≤11。
∴有两种不同的分配方案：
①当x=10时，总公司分配给甲公司10瓶香水，30瓶护肤品；乙公司60瓶香水，0瓶护肤品。
②当x=11时，总公司分配给甲公司瓶11香水， 29瓶护肤品；乙公司59瓶香水， 1护肤品。
【考点】一次函数和一元一次来等式组的应用。
【分析】（1）设总公司分配给甲公司x瓶香水，用x表示出分配给甲公司的护肤品瓶数、乙公司的香水和护肤品瓶数，根据已知列出函数关系式。
（2）根据（1）计算出甲、乙公司的利润进行比较说明。
（3）由已知求出x的取值范围，通过计算得出几种不同的方案。
6.（辽宁锦州10分）随着私家车拥有量的增加，停车问题已经给人们的生活带来了很多不便. 为了缓解停车矛盾，某小区开发商欲投资16万元，建造若干个停车位，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍. 据测算，建造费用及年租金如下表：
类别
室内车位
露天车位
建造费用(元/个)
5 000
1 000
年租金(元/个)
2 000
800
(1)该开发商有哪几种符合题意的建造方案？写出解答过程．
(2)若按表中的价格将两种车位全部出租，哪种方案获得的年租金最多？并求出此种方案的年租金. (不考虑其他费用)
【答案】解：(1)设建造室内停车位为x个，则建造露天停车位为个。
根据题意，得解得20≤x≤。
∵ x为整数，∴x取20，21，22。
∴ 取60，55，50。
∴ 共有三种建造方案：
方案一：室内停车位20个，露天停车位60个；
方案二：室内停车位21个，露天停车位55个；
方案三：室内停车位22个，露天停车位50个。
(2)设年租金为w元。根据题意，得
w＝2 000x＋800·＝－2 000x＋128 000。
∵k＝－2 000＜0，∴w随x的增大而减小。
∴当x＝20时，w最大＝－2 000×20＋128 000＝88 000。
答：当建造室内停车位20个，露天停车位60个时租金最多，最多年租金为88 000元。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用，一次函数的增减性。
【分析】(1) 不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：
①露天车位的数量“不少于” 2倍的室内车位的数量
≥ 2 x；
②露天车位的数量“不超过” 3倍的室内车位的数量
≤ 3 x。
最后求出整数解。
（2）求出一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可求解。
7.（云南昆明9分）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．
（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？
【答案】解：（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：
y=300x+200（42﹣x）+150（50﹣x）+250（x﹣2），即y=200x+15400，
∴y与x的函数关系式为：y=200x+15400。
又∵，解得：2≤x≤42，且x为整数，
∴自变量x的取值范围为：2≤x≤42，且x为整数．
（2）∵此次调运的总费用不超过16000元，∴200x+15400≤16000，解得：x≤3，
又∵，∴x可以取：2或3。
方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆；
方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆。
∵y=200x+154000是一次函数，且k=200＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小，即方案一费用最小，此时，y=200×2+15400=15800。
∴最小费用为：15800元。
【考点】一次函数的应用，不等式组的应用。
【分析】（1）由已知用x表示出各种情况的费用，列出函数关系式，化简即得．根据已知列出不等式组求解。
（2）根据（1）得出的函数关系，由此次调运的总费用不超过16000元，计算讨论得出答案。
8.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧8分）随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过140000元购进、两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于29000元的利润，、两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示：
A品牌电动摩托
B品牌电动摩托
进价（元/辆）
4000
3000
售价（元/辆）
5000
3500
设该商场计划进品牌电动摩托辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润元.
写出与之间的函数关系式；
该商场购进品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？
【答案】解：（1）该商场计划进品牌电动摩托辆，则进品牌电动摩托辆，所以依题意有，
即与之间的函数关系式为：。
（2）依题意有，
解之，得，取整数
∴该商场购进品牌电动摩托20辆时获利最大，最大利润是10000元。
【考点】列函数关系式，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）列函数关系式的关键是找出等量关系（其中销量=进量）：
利润=（销量×售价－进量×进价）＋（销量×售价－进量×进价）
（2）不等式组的应用的关键是找出不等量关系：
①进量×进价＋进量×进价“不超过”140000
4000 · ＋ 3500·（40－） ≤ 140000
② 利润“不少于”29000
1500－20000 ≥ 29000 （由（1）得）
9.（辽宁大连10分）如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图1是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．
⑴在注水过程中，注满A所用时间为______s，再注满B又用了_____s；
⑵求A的高度hA及注水的速度v；
⑶求注满容器所需时间及容器的高度．
【答案】（1）10s， 8s。
（2）根据题意和函数图象得，
，解得，。
∴A的高度hA为4cm，注水的速度为10 cm3/s
（3）设C的容积为cm3，则由C的容积是容器容积的，有，
4＝10＋8＋将＝10代入计算得，＝60。
∴容器C的高度为：60÷5=12（cm）。
∴这个容器的高度是：12+12=24（cm）。
∴注满C的时间是：60÷v=60÷10=6（s）。
∴注满这个容器的时间为：10+8+6=24（s）。
【考点】一次函数的应用，解二元一次方程组。
【分析】（1）看函数图象可知，注满A所用时间为10s，再注满B又用了 8s。
（2）根据函数图象所给时间和高度列出一个含有hA及的二元一次方程组，解此方程组可得答案。
（3）根据C的容积和总容积的关系求出C的容积，再求C的高度及注满C的时间，就可以求出注满容器所需时间及容器的高度。
10.（湖北黄冈、鄂州8分随州9分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米
（1）设从A水库调往甲地的水量为万吨，完成下表
（2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米）
【答案】解：（1）
（2）设调运量是=50+30（14﹣）+60（15﹣）+45（﹣1），即y=5+1275，
又，解得：1≤≤14，
∵随的增大而增大，∴当=1时，y最小。
则由A到甲1吨，到乙13吨；由B到甲14吨，到乙0吨，水的调运总量尽可能小。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）根据由A到甲和乙的总和是14吨，即可表示出由A到乙是14﹣吨；由到甲的总和是15吨，即可表示由B到甲是15﹣；由到乙的总和是13吨，即可表示由B到乙是﹣1吨。
（2）首先用表示出调运量的和与的取值范围，根据一次函数的性质，即可确定的值，从而确定方案。
11. （陕西省8分）2011年4月28日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种：
票得种类
夜票（A）
平日普通票（B）
指定日普通票（C）
单价（元/张）
60
100
150
某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张数为y
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）设购票总费用为w元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式；
（3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数．
【答案】解：（1）∵A种票张数为x，B种票数为：3x＋8，
则y=100－x－（3x＋8），即y=－4x＋92。
∴y与x之间的函数关系式为：y=－4x＋92。
（2）w=60x＋100（3x＋8）＋150（－4x＋92），即w=－240x＋14600。
∴购票总费用w与x（张）之间的函数关系式为：w=－240x＋14600。
（3）由题意得，解得，20≤x＜23。
∵x是正整数，∴x可取20、21、22。
∴共有3种购票方案。
由函数关系式w=﹣240x+14600可以看出w随x的增大而减小，
∴当x=22时，w的最值最小，即当A票购买22张时，购票的总费用最少。
购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为22、74、4。
【考点】优选方案问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的增减性。
【分析】（1）根据A、B、C三种票的数量关系列出y与x的函数关系式。
（2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数w，即可求出W（元）与X（张）之间的函数关系式。
（3）根据题意求出x的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析w随x的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少。
12.（辽宁营口12分） 某家电商场计划用44 000元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共20台．三种家电的进价和售价如下表所示：
价格
种类
进价(元/台)
售价(元/台)
电视机
2 000
2 100
冰箱
2 400
2 500
洗衣机
1 600
1 700
其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机的数量不大于电视机数量的一半. 国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴. 设购进电视机的数量为x台，三种家电国家财政共需补贴农民y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)在不超出现有资金的前提下，商场有哪几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，如果这20台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
【答案】解：(1)根据题意，得y＝13%×[2100x＋2500x＋1700(20－2x)]，
∴y＝156x＋4420。
(2)根据题意，得
解得8≤x≤10 。
∵x是非负整数，
∴x分别等于8，9，10。
∴共有三种进贷方案：
电视机
冰箱
洗衣机
方案1
8
8
4
方案2[
9
9
2
方案3
10
10
0
(3)由(1) y＝156x＋4420，
∵k＝156＞0，∴y随着x的增大而增大。
∴当x＝10时，y最大＝156×10＋4420＝5980(元)。
答：国家财政最多补贴农民5980元。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用，一次函数的增减性。
【分析】（1）由购进电视机、冰箱、洗衣机共20台和购进电视机的数量和冰箱的数量相同，即知购进电视机和冰箱的数量为x台，洗衣机的数量为20－x台。从而根据售价的13%领取补贴即可得到y与x之间的函数关系式。
（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：①洗衣机的数量不大于电视机数量的一半，②不超出现有资金44000元。
（3）由一次函数的增减性即可求解。
13.（贵州黔南9分）北京时间2011年3月11日46分，日本东部海域发生9级强烈地震并引发海啸．在其灾区，某药品的需求量急增．如图所示，在平常对某种药品的需求量（万件）．供应量（万件）与价格（元∕件）分别近似满足下列函数关系式：，，需求量为0时，即停止供应．当时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
（3）由于该地区灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．
【答案】解:（1）由题意得,
当＝时,即－＋70＝2－38，∴3＝108,＝36.
∴当＝36时, ＝＝34。
所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件。
（2）令＝0,得＝70,由图象可知,
当药品每件价格在大于36小于70时,该药品的需求量低于供应量。
（3）设政府对该药品每件补贴元，则有,
解得。
∴政府部门对该药品每件应补贴9元1
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）令需求量与供应量相等，联立两函数关系式求解即可。
（2）由图象可以看出，价格在稳定价格到需求量为0的价格这一范围内，需求量低于供应量。
（3）通过对供应量和需求量相等时，需求量增至34+6（万件），对供应量的价格补贴元，联立两方程即可求解。
14.（福建三明12分）海崃两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升．现有一位外商计划来我市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经营标价为每平方米220元的该品牌木地板．经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠．
（1）设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请问该外商选择哪一经销商购买更合算？
【答案】解：（1）y1＝0.95×220x＝209 x
当0＜x≤500时，y2＝220x，
当x＞500时，y2＝220×500＋0.9×220（x－500），即y2＝198 x＋11000。
（2）当0＜x≤500时，209 x＜220x，选择甲经销商；
当x＞500时，
由y1＜y2即209 x＜198 x＋11000，得x＜1000；
由y1＝y2即209 x＝198 x＋11000，得x＝1000；
由y1＞y2即209 x＞198 x＋11000，得x＞1000。
综上所述：当0＜x＜1000时，选择甲经销商；
当x＝1000时，选择甲、乙经销商一样；
当x＞1000时，选择乙经销商。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）y1=0.95×220x；对于y2要分类讨论：当0＜x≤500时，不打折y2=220x，当0＜x≤500时，超过500平方米的部分按标价的9折优惠y2=220×500+0.9×220（x﹣500）。
（2）当0＜x≤500时自然选择甲经销商；当x＞500时，分别计算出当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时对应的x的范围，然后综合即可得到当0＜x＜1000时，选择甲经销商购买合算；当x=1000时，选择甲、乙经销商一样合算；当x＞1000时，选择乙经销商购买合算。
15.（福建南平10分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少
元？
【答案】解：（1）y＝80x＋60(20－x)＝1200＋20 x。
（2）x≥3(20－x) 解得x≥15
要使总费用最少，x必须取最小值15
y＝1200＋20×15＝1500
答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少．最少费用是1500元。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共20个，
已知篮球每个80元，排球每个60元可列出函数式．
（2）设购买篮球x个，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍，求出篮球的个数的最小值，
从而可求出解。
16.（黑龙江龙东五市6分）已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。
（2）试确定抛物线的解析式。
（3）观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围。
【答案】解：（1）在＝+3中，
当＝0时, ＝3， ∴点A的坐标为(－3，0)。
当＝0时, ＝3，∴点C坐标为（0，3）。
∵抛物线的对称轴为直线＝－2，∴点A与点B关于直线＝－2对称。
∴点B的坐标是（－1，0）。
（2）∵抛物线的对称轴为直线＝－2，∴设二次函数的解析式为
∵二次函数的图象经过点C（0，3）和点A(－3,0)，
∴可得方程组： ，解得。
∴二次函数的解析式为，即。
（3）由图象观察可知，当－3＜＜0时，二次函数值小于一次函数值。
【考点】待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，一、二次函数的图象。
【分析】（1）根据已知得出点A、C的坐标，再由点A与点B关于直线＝－2对称，即可求出B点坐标。
（2）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出答案。
（3）由图象观察可知，当－3＜＜0时，二次函数的图象在一次函数值的图象下方，即二次函数值小于一次函数值，从而得出的取值范围。
17.（广东省6分）已知抛物线与轴没有交点．
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线与轴没有交点，
∴对应的一元二次方程没有实数根。
∴ 。
（2）顺次经过三、二、一象限。因为对于直线，所以根据一次函数的图象特征，知道直线顺次经过三、二、一象限。
【考点】二次函数与一元二次方程的关系，一次一次函数的图象特征。
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系知，二次函数的图象与x轴没有交点，对应的一元二次方程没有实数根，其根的判别式小于0。据此求出c的取值范围。
（2）根据一次函数的图象特征，即可确定直线经过的象限。
18.（北京7分）在平面直角坐标系Oy中，二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC=45°时，求m的值；
（3）已知一次函数=k+b，点P（n，0）是轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．
【答案】解：（1）∵点A、B是二次函数的图象与轴的交点，
∴令=0，即m2+（m﹣3）﹣3=0解得1=﹣1，。
又∵点A在点B左侧且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）。
（2）由（1）可知点B的坐标为，
∵二次函数的图象与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3）。
∵∠ABC=45°，∴。∴m=1。
（3）由（2）得，二次函数解析式为=2﹣2﹣3。
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2。
由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），
将交点坐标分别代入一次函数解析式=k+b中，
得解得：。
∴一次函数解析式为y=﹣2+1。
【考点】二次函数综合题。
【分析】（1）令=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标。
（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得。
（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得。
19.（辽宁沈阳12分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为
2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年
成本增加0.7倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5倍，则预计今年年销售量将
比去年年销售量增加倍（本题中0＜≤11）．
⑴用含的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每
件的出厂价为_________元．
⑵求今年这种玩具的每件利润元与之间的函数关系式．
⑶设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销
售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．
【答案】解：⑴10＋7 ； 2＋6。
⑵由⑴，得=(12＋6)－（10＋7）。即=2－。
∴年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式为=2－。
⑶∵w=2（1＋）（2－）=－22＋2＋4，∴w=－2(－0.5)2＋4.5。
∵－2＜0，0＜≤11，∴w有最大值。
∴当=0.5时，w最大=4.5（万元）。
答：当为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7倍，即为（10＋10•0.7）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5倍，即为（12＋12•0.5）元/件。
（2）今年这种玩具的每件利润等于每件的出厂价减去每件的成本价，即=（12＋6）－（10＋7），然后整理即可。
（3）今年的年销售量为（2＋2）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价-每件玩具的成本）×年销售量，得到w=-2（1＋）（－2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案。
20.（辽宁本溪12分）我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量（件）是售价（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．
（1）求y与的函数关系式；
（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本）
【答案】解：（1）设与的函数关系式为，
把=22，=780和=25，=750代入，得，
解得， 。
∴与的函数关系式为。
（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，
则，
∵，∴当时，w随x的增大而增大。
所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大。
元。
答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元。
【考点】待定系数法求一次函数解式，解二元一次方程组，二次函数性质的应用。
【分析】（1）用待定系数法将=22，=780和=25，=750代入即可求得与的函数关系式。
（2）先求得每天获得的利润w关于的函数关系式，再利用二次函最大值的性质求出当=30时获得的利润最大。
21．（湖南长沙10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令=0，可得=1，我们就说1是函数的零点。
己知函数 (为常数)。
（1）当=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式。
【答案】解：（1）当=0时，该函数为，令=0，可得，
∴当=0时，求该函数的零点为和。
（2）令=0，得△=，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。
即无论取何值，该函数总有两个零点。
（3）依题意有，
由得，即，解得。
∴函数的解析式为。
令=0，解得。
∵点A在点B左侧，∴A()，B(4，0)。
作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。
易求得直线与轴、轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。
连结CB’，则∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。
∴∠BCB’=90°，即B’（）。
设直线AB’的解析式为，则
，解得
∴直线AB’的解析式为，即AM的解析式为。
【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，等量代换，对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，解二元一次方程组。
【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将=0代入，然后令=0即可解得函数的零点；
（2）令=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可。
（3）根据题中条件求出函数解析式从而求得A、B两点坐标，作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标，应用待定系数法即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式。
22．（山东潍坊10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬. 8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落. 已知1月份至7月份，该农产品的月平均价格元/千克与月份呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份满足二次函数关系式. 其中1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.
（1）分别求出当1≤≤7和7≤≤12时，关于的函数关系式；
（2）2010年1月至12月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
【答案】解：（1）当1≤≤7时，设
将点（1，8）、（7，26）分别代入得：，解之得，。
∴函数的解析式为：。
当7≤≤12时，将点（7，26）、（9，14）、（12，11）代入得：
，解之得，。
∴函数的解析式为。
（2）当1≤≤7时，为增函数，∴当=1时，有最小值8。
当7≤≤12时，，∴当=11时，有最小值10。
∴该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/千克。
（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴=4时的月平均价格17是前7个月的平均值。
将=8和=10分别代入得=19和=11。
∴后5个月的月平均价格分别为19、14、11、10、11。
∴年平均价格为≈15.3（元/千克）。
又当=3时，=14＜15.3，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格。
【考点】一、二次函数的应用（销售问题），待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一、二次函数的性质，加权平均数。
【分析】（1）根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可。
（2）根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可。
（3）分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可。
23.（山东青岛10分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
(1)写出销售量件与销售单价元之间的函数关系式；
(2)写出销售该品牌童装获得的利润元与销售单价元之间的函数关系式；
(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场
销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】解：(1)由题意，得：＝200＋（80－）·20＝－20＋1800，
∴销售量件与销售单价元之间的函数关系式为：＝－20＋1800。
(2) 由题意，得：＝（－60）（－20＋1800）＝－202＋3000 －108000，
∴利润元与销售单价元之间的函数关系式为：＝－202＋3000 －108000。
(3) 由题意，得：，解得76≤≤78。
对于＝－202＋3000 －108000，对称轴为＝，
∴当76≤≤78时，随增大而减小。
∴当＝76时，＝（76－60）（－20×76＋1800）＝4480。
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元。
【考点】列一次、二次函数关系式，二次函数的性质。
【分析】(1) (2)根据已知条件，直接得出结果。
（3）根据已知条件，求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出函数的最大值。
24.（广东佛山10分）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：
①销售成本（元/千克）与销售月份的关系如图所示：
②销售收入（元/千克）与销售月份满足；
③销售量（千克）与销售月份满足；
试解决以下问题：
（1） 根据图形，求与之间的函数关系式；
（2） 求该种商品每月的销售利润（元）与销售月份的函数关系式，并求出哪个月的
销售利润最大？
【答案】解：（1）根据图形，知与之间的函数关系是一次函数关系，
故设为，并有
，解之得 。
故与之间的函数关系式为。
（2）依题意，月销售利润，
化简，得。
所以4月份的销售利润最大。
【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，列二次函数关系式，二次函数最大值。
【分析】（1）根据点（1，9），（6，4）在一次函数的图象上，点的坐标满足方程的关系，将（1，9），（6，4）代入即可求出，从而求得一次函数的解析式。
（2）根据“销售利润=（单位销售收入—单位销售成本）×销售量”这一等量关系列出该种商品每月的销售利润（元）与销售月份的函数关系式。然后利用二次函数最大值求法求出求出哪个月的销售利润最大。
25.（湖北荆州10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投
资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所
示的函数对应关系.
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额（万元）
5
2
4
补贴金额（万元）
2
2.4
3.2
（1）分别求和的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的
方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
【答案】解：（1）由题意得：①5=2，=， ∴ 。
②∴， . ∴。
（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10－t）万元，共获补贴Q万元。
∴ ，
∴ 。
∵＜0，∴Q有最大值，即当时，Q最大＝。
∴ (万元) 。
即投资7万元购Ⅰ型设备， 3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元。
【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。
（2）根据得出关于的二次函数，求出二次函数最值即可。
26.（重庆１０分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份（1≤≤9，且取整数）之间的函数关系如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格2（元）与月份（10≤≤12，且取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出1与之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出2与之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份满足函数关系式p1=0.1+1.1（1≤≤9，且取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份满足函数关系式p2=﹣0.1+2.9（10≤≤12，且取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出的整数值．
（参考数据：992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）
【答案】解：（1）1与之间的函数关系式为 （1≤≤9，且取整数）。
2与之间的一次函数关系式为（10≤≤12，且取整数）。
（2）设去年第月的利润为W元．
当1≤≤9，且取整数时，
W=P1×（1000﹣50﹣30﹣1）=﹣22+16+418=﹣2（﹣4）2+450，
∴=4时，W最大=450元。
当10≤≤12，且取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣2）=（﹣29）2。
∵当＜29时，函数W随的增加而减小，
∴=10时，W最大=361元。
∴综上所述，去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450元。
（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件），
今年原材料价格为：750+60=810（元），今年人力成本为：50×（1+20%）=60（元），
∴依题意，得5×[1000×（1+%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×%）=1700，
设t=%，整理得10t2﹣99t+10=0，解得t=。
∵9401更接近于9409，∴≈97。
∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴1≈10或2≈980。
∵1.7（1﹣0.1×%）≥1，∴≈10．
∴估算出的整数值为10。
【考点】一、二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，近似值。
【分析】（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得1的解析式：设，
则，解得，∴1的解析式为（1≤≤9，且取整数）。把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得2的解析式：设，则把（10，730），（12，750）代入得
，解得，∴2的解析式为（10≤≤12，且取整数）。
（2）分情况探讨得：1≤≤9和时，利润=P1×（售价﹣各种成本）；10≤≤12时，利润=P2×（售价﹣各种成本）；用二次函数的最值原理求出最大利润即可。
（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可。
27.（重庆江津10分）已知双曲线：与抛物线：交于A（2，3）、B（m，2）、C（﹣3，n）三点．
（1）求双曲线与抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．
【答案】解：（1）把点A（2，3）代入得，=6。
∴双曲线的解析式为。
把B（m，2）、（﹣3，n）分别代入 得，m=3，n=﹣2。
把A（2，3）、B（3，2）、C（﹣3，﹣2）分别代入得：
，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）描点画图得：
S△ABC=S梯形ADEC﹣S△ADB﹣S△BCE=（1＋6）×5－×1×1﹣×6×4=5。
【考点】二次函数综合题，曲线上的点与方程的关系，解多元方程组。
【分析】（1）函数图象过某一点时，这点就满足关系式，利用待定系数法分别求出反比例函数与二次函数解析式即可。
（2）根据A，B，C三点的坐标可以得出△ADB，△BCE和梯形ADEC的面积，用梯形面积减去两三角形面积即可得到△ABC的面积。
28.（浙江湖州10分）我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼，有关成本、
销售额见下表：
养殖种类
成本(万元/亩)
销售额(万元/亩)
甲鱼
2.4
3
桂鱼
2
2.5
(1)2010年，王大爷养殖甲鱼20亩、桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？
(收益＝销售额－成本)
(2)2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每
亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？
(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输
成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次装载饲料的总量．
【答案】解：（1）2010年王大爷的收益为：20×(3－2.4)＋10×(2.5－2)＝17(万元)
（2）设养殖甲鱼亩,则养殖桂鱼(30－)亩，
则题意得2.4＋2(30－)≤70，解得≤25。
又设王大爷可获得收益为万元，
则＝0.6＋0.5(30－)，即＝，
∵，∴函数值随的增大而增大。
∴当＝25时，可获得最大收益。
答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，桂鱼5亩。
（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料㎏，
由（2）得，共需要饲料为500×25＋700×5＝16000㎏。
根据题意得，解得＝4000㎏。
答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000㎏。
【考点】一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质。
【分析】（1）根据已知列算式求解。
（2）先设养殖甲鱼亩，则养殖桂鱼（30-）亩列不等式，求出的取值，再表示出王大爷可获得收益为万元函数关系式求最大值；
（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料㎏，结合（2）列分式方程求解。
29.（浙江宁波10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗
每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%．
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低，并求出最低费用．
【答案】解：(1) 设购买甲种树苗株，乙种树苗株，则
列方程组， 解得 。
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株.
(2) 设购买甲种树苗株，乙种树苗株，则
列不等式
解得
答：甲种树苗至多购买320株.
（3）设甲种树苗购买株，购买树苗的费用为W元，则
∵－6＜0，∴W随的增大而减小。
∵，∴当时，W有最小值。
元
答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22080元.
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用。
【分析】（1）根据关键描述语“购买甲、乙两种树苗共800株，”和“购买两种树苗共用21000元”，列出方程组求解。
（2）先找到关键描述语“这批树苗的成活率不低于88%”，从而找到所求的量的不等量关系，列出不等式求出甲种树苗的取值范围。
（3）根据题意列出购买两种树苗的费用之和与甲种树苗的函数关系式，根据一次函数的特征求出最低费用。
30.（辽宁阜新12分）随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐
年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两
种轿车的进价和售价如下表：
类别
甲
乙
进价（万元/台）
10.5
6
售价（万元/台）
11.2
6.8
（1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润．
（注：其他费用不计，利润＝售价－进价）
【答案】解：（1）设订购甲种轿车台，乙种轿车30－台。依题意，得
，解得。
∵为整数，∴取11，12，13。
∴经销商共有三进货方案：
方案一：订购甲种轿车11台，乙种轿车19台；
方案二：订购甲种轿车12台，乙种轿车18台；
方案三：订购甲种轿车13台，乙种轿车17台。
（2）设销售利润为万元，依题意，得
＝（11.2－10.5）＋（6.8－6）（30－）
＝24－0.8
∵一次函数＝24－0.8中－0.8＜0，∴销售利润随甲种轿车台数 增大而减少。
∴三种方案中, 方案一获利最多，最大利润为
24－0.8×11＝15.2（万元）。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）不等式组的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式组求解。本题不等量关系为：
① 订购甲种轿车的资金＋订购乙种轿车的资金“不低于”228万元
② 订购甲种轿车的资金＋订购乙种轿车的资金“不高于”240万元
。
（2）一次函数的应用解题关键是找出等量关系，列出函数关系式求解。本题等量关系为：
销售总利润＝甲种轿车的（售价－进价）×销量＋乙种轿车的（售价－进价）×销量
＝ （11.2－10.5） · ＋ （6.8－6） ·（30－）。
31.（广西北海8分）2009年，王先生在某住宅小区购买了一套140m2的住房，当时该住房的价格为2500元/m2，两年后该住房的价格变为3600元/m2．
(1)问该住房价格的年平均增长率是多少？
(2)王先生准备进行室内装修，在购买相同质量的材料时，甲、乙两建材商店有不同的优惠方式：
在甲商店累计购买2万元材料后，再购买的材料按原价的90%收费；在乙商店累计购买1万元材料后，再购买的材料按原价的95%收费．当王先生计划累计购买材料超过2万元时，请你帮他算一算在何种情况下选择哪一家建材商店购买材料可获得更大优惠．
【答案】解：（1）设该住房价格的年平均增长率为，由题意得：
2500（1＋）2＝3600
解得1＝0.2＝20%，2＝－2.2不合题意，舍去）
答：该住房价格的年平均增长率为20%。
（2）设王先生计划累计购买材料的费用为万元，
则王先生在甲建材商店购买材料的费用为，在乙建材商店购买材料的费用为，因此：
①当时，解得，
即当王先生累计购买材料的费用时，在乙建材商店可获得更大优惠；
②当时，解得＝3，
即当王先生累计购买材料的费用＝3万元时，在甲、乙两建材商店可获得优惠相同。
③当时，解得，，
即当王先生累计购买材料的费用万元时，在甲建材商店可获得更大优惠。
【考点】二次函数和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）根据题意，一年后该住房价格为2500（1＋），两年后该住房价格为2500（1＋）（1＋），从而得方程2500（1＋）2＝3600，解之即可。
（2）根据题意，王先生在甲建材商店购买材料的费用为，在乙建材商店购买材料的费用为，比较它们的大小，即能作出判断。
32.（广西贺州7分）某生姜种植基地计划种植A、B两种生姜30亩．已知A、B两种生姜的年产量分
别为2 000千克/亩、2 500千克/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克．
（1）若该基地收获两种生姜的年总产量为68 000千克，求A、B两种生姜各种多少亩？
（2）若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半，那么种植A、B两种生姜各多少亩时，全部收购
该基地生姜的年总收入最多？最多是多少元？
【答案】解：（1）设该基地种植A种生姜亩，那么种植B种生姜(30－)亩，
根据题意，得2000＋2500(30－)＝68000
解得＝14，30－＝16。
答：种植A种生姜14亩，那么种植B种生姜16亩.
（2）由题意得，≥(30－)， 解得≥10 。
设全部收购该基地生姜的年总收入为元，则
＝8×2000＋7×2500(30－) ＝－1500 ＋525000
∵随的增大而减小，当＝10时，有最大值。
此时，30－＝20，的最大值为510000元 。
答：种植A种生姜10亩，种植B种生姜20亩，全部收购该基地生姜的年总收入最多为510000元。
【考点】一元一次方程、不等式和一次函数的应用。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
A种生姜年产量＋B种生姜年产量＝ 两种生姜的年总产量68 000千克
2000 ＋ 2500(30－) ＝ 68000
产量＝亩数×每亩产量。
（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：
种植A种生姜的亩数“不少于”B种生姜的亩数的一半
≥ (30－)
一次函数的应用题关键是找出等量关系，列出函数关系式，根据函数的性质求解。
33.（广西梧州10分）
由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．
（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，应取何值？
【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为元，由题意得，
＝，解得＝1500。
经检验x=1500是方程的解。
∴今年甲型号手机每台售价为1500元。
（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机20－m台，由题意得，
17600≤1000m＋800（20－m）≤18400，
解得，8≤m≤12。
∵m只能取整数，∴m取8、9、10、11、12，共有5种进货方案。
（3）设总获利W元，则
W＝（1500－1000）m＋（1400－800－）（20－m）＝（－100）m＋12000－20
当m＝8时，有W8＝11200－12
当m=9时，有W9＝11100－11
由W8＝W9，即11200－12＝11100－11，解得＝100。
可以验证，当＝100时，W8＝W9＝W10＝W11＝W12。
∴当＝100时，（2）中所有方案获利相同。
【考点】分式方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
今年的销售量＝去年的销售量
＝
其中销售量＝销售额÷销售价格。
（2）不等式组的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式组求解。本题不等量关系为：
①购进甲型号手机金额＋购进乙型号手机金额“不多于”1.84万元
1000m ＋ 800（20－m） ≤ 18400
②购进甲型号手机金额＋购进乙型号手机金额“不少于”1.76万元
1000m ＋ 800（20－m） ≥ 17600
（3）先求出总获利W元关于购进甲型号手机m台的一次函数关系式，然后根据要求求出符合条件的值。
34.（湖南益阳10分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）设每月用水量为吨，应交水费为y元，写出y与之间的函数关系式；
（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？
【答案】解：⑴设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元。
则，，解得 。
答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元。
⑵当时，。
当时，。
∴所求函数关系式为：。
⑶∵，
∴把代入得，。
答：小英家三月份应交水费39元。
【考点】二元一次方程组和一次函数的应用。
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可。
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内与之间的函数关系，注意自变量的取值范围。
（3）根据小英家的用水量判断其再哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可。
35.（山东菏泽9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出该专卖店当一次销售时，所获利润（元）与（只）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？
【答案】解：（1）设一次购买只，才能以最低价购买，依题意，得 0.1（﹣10）=20﹣16，
解这个方程得=50。
答：一次至少买50只，才能以最低价购买。
（3）∵依得意，，∴
配方得
∴店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元。
【考点】一元一次方程的应用，二次函数的性质和应用。
【分析】（1）设一次购买只，才能以最低价购买，根据题意找出等量关系，列出有关x的一元一次方程，解得即可。
（2）根据购买的数量的不同有不同的优
惠方法，列出分段函数，注意自变量的取值范围。
（3）列出有关购买只数的二次函数求其最大值即可，可以采用配方法求其最值，也可以用公式求其最值。
36．（山东潍坊10分）2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
到凤凰社区的路程(千米)
运费（元/吨·千米）
甲厂
20
12
乙厂
14
15
（1）若某天总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）若每天甲厂最多可调出80吨，乙厂最多可调出90吨. 设从甲厂调运饮用水吨，总运费为W元. 试写出W关于的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？
【答案】解：（1）设从甲厂调运了吨饮用水，从甲厂调运了120－吨饮用水，
由题意得：20·12＋14·15（120－）＝26700，解得：＝50。
当＝50时，120－＝70。
∴从甲、乙两水厂各调运了50吨、70吨饮用水。
（2）从甲厂调运饮用水吨，则需从乙调运水120－吨，
∵≤80，且120－≤90，∴30≤≤80。
∴总运费W＝20·12＋14·15（120－x）＝30＋25200。
∴W关于与的函数关系式为W＝30＋25200（30≤≤80）。
∵W随的增大而增大，∴当＝30时，W最小＝26100元。
∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省。
【考点】一元一次方程组和一次函数的应用（优选方案问题），一次函数的性质。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
毎天从甲厂调运水的运费＋毎天从乙厂调运水的运费＝毎天调运水的总运费为26700元
20·12 ＋ 14·15（120－） ＝ 26700。
（2）首先根据题意求得一次函数W＝30
＋25200，又由甲厂毎天最多可调出80吨，乙厂毎天最多可调出90吨，确定的取值范围，则由一次函数的增减性即可求得答案。
37.（山东济宁8分） “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别
彩电
冰箱
洗衣机
进价
2000
1600
1000
售价
2200
1800
1100
（1）若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?
（2）若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价－进价）
【答案】解：（1）设商店购买彩电台，则购买洗衣机（100-）台。
由题意，得 2000＋1000(100－)=160000 ， 解得=60。则100－=40。
答：商店可以购买彩电60台，洗衣机40台。
（2）设购买彩电台，则购买洗衣机为(100－2)台。
根据题意，得
解得 。因为是整数，所以 =34、35、36、37。
因此，共有四种进货方案。
设商店销售完毕后获得的利润为w元。
则w=(2200－2000) ＋(1800－1600) ＋(1100－1000)(100－2)=200＋10000
∵ 200>0 ，∴ w随a的增大而增大。
∴ 当=37时 w最大值=200×37＋10000=17400 。
所以，当购买彩电37台，购买冰箱37台，购买洗衣机为26台时，商店销售完这批家电后获得的利润最大，商店获得的最大利润为17400元。
【考点】一元一次方程和不等式组的应用，一次函数的应用（优选方案问题）。
【分析】（1）一元一次方程应用的关键是找出等量关系，列出方程。等量关系是：
彩电进价×购买彩电数量＋洗衣机进价×购买洗衣机数量=总金额
2000 · ＋ 1000 · (100－) = 160000
（2）一元一次不等式组应用首先是找出不等量关系，列出不等式组，解出后根据要求进行讨论。不等量关系是：
①彩电进价×购买彩电数量＋冰箱进价×购买冰箱数量＋洗衣机进价×购买洗衣机数量“不超过”总金额
2000 · ＋ 1600 · ＋ 1000 · （100－2） ≤ 160000
②购买洗衣机的台数“不超过”购买彩电的台数
100－2 ≤
一次函数应用的关键是找出等量关系，列出函数关系式，然后根据要求进行讨论。等量关系是：
总利润=彩电单位利润×购买彩电数量＋冰箱单位利润×购买冰箱数量＋洗衣机单位利润×购买洗衣机数量
W = (2200－2000)· ＋(1800－1600) · ＋ (1100－1000) · (100－2)
其中单位利润=售价－进价。
38.（广东茂名8分）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．
（1）若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？
（2）若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只？
（3）相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？
【答案】解：设购买甲种小鸡苗只，那么乙种小鸡苗为（200﹣）只。
（1）根据题意列方程，得2+3（2000﹣）=4500，
解这个方程得：=1500（只），2000﹣=2000﹣1500=500（只），
∴购买甲种小鸡苗1500只，乙种小鸡苗500只。
（2）根据题意得：2+3（2000﹣）≤4700，解得：≥1300，
∴选购甲种小鸡苗至少为1300只。
（3）设购买这批小鸡苗总费用为元，
根据题意得：=2+3（2000﹣）=﹣+6000，
又由题意得：94%x+99%（2000﹣）≥2000×96%，解得：≤1200，
因为购买这批小鸡苗的总费用随增大而减小，所以当=1200时，总费用最小，乙种小鸡为：2000﹣1200=800（只），
∴购买甲种小鸡苗为1200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用最小，最小为4800元。
【考点】一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用。
【分析】（1）利用这批鸡苗的总费用为等量关系列出一元一次方程后解之即可：
购买甲种小鸡苗的费用+购买乙种小鸡苗的费用=总费用
2 + 3（2000﹣） =4500
（2）利用这批鸡苗费用不超过4700元列出一元一次不等式求解即可：
购买甲种小鸡苗的费用+购买乙种小鸡苗的费用“不超过”预定总费用
2 + 3（2000﹣） ≤ 4700
（3）列出有关总费用的函数关系式，求得当总费用最少时自变量的取值范围即可。
39.（广东清远9分）某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元．
（1） 问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2） 为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3） 电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获得最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是元，则依题意，得
解之，得＝2500，
经检验＝2500 满足题意。
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元。
（2）设购进A型号彩电台，则购进B型号彩电(20－)台。
根据题意可得： ， 解得 ≤≤10 。
∵y是整数，∴y可取的值为7，8，9，10。
共有以下四种方案：购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台；
购进A型号彩电8台，则购进B型号彩电12台；
购进A型号彩电9台，则购进B型号彩电11台；
购进A型号彩电10台，则购进B型号彩电10台。
（3）设利润为W元，则
W＝(2000－1800) ＋(1800－1500) (20－)＝6000－100
∵W随的增大而减小， ∴y取最小值7时利润最大。
W＝6000－100 ＝6000－100×7＝5300（元）
购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台时，利润最大，最大利润是5300元。
【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用，函数的最大值。
【分析】（1）列方程解应用题的关键是找出等量关系，列出方程。等量关系为：
去年四月份销售量＝今年四月份销售量
＝
（其中销售量=销售额÷销售价格）。
（2）不等式组应用的关键是找出不等量关系，列出不等式组，然后解不等式组，根
据实际情况进行分析。不等量关系为：
A型号彩电进货额＋B型号彩电进货额“不多于”3.3万元
1800 ＋ 1500(20－) ≤ 33000
A型号彩电进货额＋B型号彩电进货额“不少于”3.2万元
1800y ＋ 1500(20－) ≥ 32000
(其中进货额＝进货价×进货量)。
（3）求如何进货才能使电器城获得最大和最大利润是多少，也要列出函数关系式，然后根据函数性质分析如何进货才能使电器城获得最大和最大利润是多少。函数关系式为：
利润总额＝（A彩电销售收入－A彩电销售成本）＋（B彩电销售收入－B彩电销售成本）
W ＝ (2000 － 1800) ＋ [ 1800(20－) － 1500 (20－)]
即 W ＝ (2000－1800) ＋ (1800－1500) (20－)
(其中销售收入＝销售价×销售量，销售成本＝进货价×进货量，销售量＝进货量)。从化简后的函数关系
式知，它是一次函数，根据一次函数的性质，因为，所以W随的增大而减小，从而得出结论。
40.（广东深圳9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：
（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？
【答案】解：（1）填写表2如下所示
依题意，得： ＝800＋700(18－)＋500(17－)＋600(－3)
即：＝200＋19300（3≤≤17）
（2）∵要使总运费不高于20200元， ∴200＋19300<20200
解得：
∵3≤≤17，∴且设备台数只能取正整数。∴只能取3或4。
∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：
（3）由（1）和（2）可知，总运费为：
＝200＋19300（＝3或＝4）
由一次函数的性质，可知：
当＝3时，总运费最小，最小值为：＝200×3＋19300＝19900（元）。
答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。
【考点】一次函数，一元一次不等式，函数的最小值。
【分析】（1）已知条件直接填写表2，再根据等量关系列出函数关系式：
总运费=甲地运A馆运费＋乙地运A馆运费＋甲地运B馆运费＋乙地运B馆运费
= 800 ＋ 700(18－) ＋ 500(17－) ＋ 600(3－)
考虑到甲地共生产了17台和乙地运B馆3－台，有3≤≤17。
（2）根据所列一元一次不等式求解，并结合实际得出的取值进行分析，并根据一次函数的增减性求解。
41.（湖北孝感10分）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.
（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？
（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？（5分）
【答案】解：（1）设该公司组装A型器材套，则组装B型器材（40-x）套，依题意得
，解得
由于为整数，∴取22，23，24，25，26，27，28，29，30。
∴组装A、B两种型号的健身器材共有9组装方案。
（2）总的组装费用＝20＋18(40－)＝2＋720，
∵k＝2>0 ，∴随的增大而增大。
∴当＝22时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22＋720＝764元。
总组装费用最少的组装方案：组装A型器材22套，组装B型器材18套。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有9种组装方案。
（2）根据组装方案的费用关于 的方程，解得当=22时，组装费用最小为764。
42.（湖北恩施10分）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A、B两种材料共50箱．已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨；B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨；不计箱子之间的空隙，设A种材料进了x箱．
（1）求厂家共有多少种进货方案（不要求列举方案）？
（2）若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y（万元）与x（箱）的函数关系大致如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式（求函数解析式不取近似值），确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润．
x
15
20
25
30
38
40
45
50
y
10
约27.58
40
约48.20
约49.10
约47.12
40
约26.99
【答案】解：（1）设A种材料进了x箱，则B种材料进了50﹣x箱，根据题意得：
，解得12.5≤x≤50。
x取整数，故有38种进货方案。
（2）由以上数据画出简图，可知该函数为二次函数。
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由表可知二次函数经过（15，10）（25，40）（45，40），
将三点坐标代入二次函数解析式可得a=﹣0.1，b=7，c=﹣72.5．
∴二次函数的解析式为y=﹣0.1x2＋7x－72.5。
∵二次函数的解析式可化为y=﹣0.1（x－3.5）2＋50.1
∴当x=35时，能让厂家获得最大利润，最大利润为50.10万元。
【考点】一元一次不等式组的应用，二次函数的应用。
【分析】（1）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：
①A种材料容积＋B两种材料容积“不大于”90立方米
＋ 90
②A种材料重量＋B两种材料重量“不大于”50吨
＋ 50。
（2）根据所给数据判断该函数为二次函数，再将三点坐标代入其中即可求得二次函数的解析式，从而求得最大利润。
43.（内蒙古包头10分）为了鼓励城市周边的农民的种菜的积极性，某公司计划新建A，B两种温室80栋，将其中售给农民种菜．该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元．且所筹资金全部用于新建温室．两种温室的成本和出售价如下表：
A型
B型
成本（万元/栋）
2.5
2.8
出售价（万元/栋）
3.1
3.5
（1）这两种温室有几种设计方案？
（2）根据市场调查，每栋A型温室的售价不会改变，每栋B型温室的售价可降低m万元（0＜m＜0.7）且所建的两种温室可全部售出．为了减轻菜农负担，试问采用什么方案建设温室可使利润最少．
【答案】解：（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80﹣x）套．
由题意知209.6≤2.5x＋2.8（80﹣x）≤210.2。
解得46≤x≤48。
∵x取非负整数，∴x为46，47，48。
∴有三种建房方案：
方案一：A种户型的住房建46套，B种户型的住房建34套；
方案二：A种户型的住房建47套，B种户型的住房建33套；
方案三：A种户型的住房建48套，B种户型的住房建32套。
（2）由题意知W=（5＋m）x＋6（80－x）=（m－1）x＋480，
∴当0＜m＜0.7时，W随x的增大而减小，即x=48，W最小。
∴A型建48套，B型建32套。
【考点】一元一次不等式和一次函数的应用。
【分析】（1）根据“该公司建设温室所筹资金不少于209.6万元，但不超过210.2万元”，列出不等式进行求解，确定建房方案。
（2）利润W可以用含a的代数式表示出来，对m进行分类讨论。
44.（内蒙古乌兰察布10分）某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．
(l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？
【答案】解：（1）设搭配A种造型个，则搭配B种造型个，得
，解得：，
∵为正整数，∴取29，30，31，32，33。
∴共有五种方案：
方案一：A：29，B：21；方案二：A：30，B：20；
方案三：A：31，B：19；方案四：A：32，B：18；
方案五：A：33，B：17。
（2）设费用为y，则。
∵，∴y随x的增大而减小。
∴当时，即方案五的成本最低，最低成本=。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式组，直接解一元一次不等式组，然后取整数解即可得出答案。
（2）求出费用y关于A种造型个的函数关系式，根据函数的增减性确定成本最低的方案即可。
45.（内蒙古呼伦贝尔10分）某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘
型号
A
B
成本（万元/台）
200
240
售价（万元/台）
250
300
机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，
但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示：
（1该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高万元（>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
【答案】解：（1）设生产A型挖掘机台，则B型挖掘机可生产（台，
由题意知：，
解得：。
∵取非负整数，∴为38、39、40 。
∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；
A型39台，B型61台；
A型40台，B型60台。
（2）设获得利润为W（万元），
由题意知：W
∴当=38时， W 最大＝5620（万元），即生产A型38台，B型62台时，获得利润最大。
（3）由题意知：W
∴当0＜＜10时，取=38，W 最大，即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台
当=0，三种生产获得利润相等；
当＞10时，取=40，W最大，即A型挖掘机生产40台，B型生产60台。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式组，直接解一元一次不等式组，然后取整数解即可得出答案。
（2）求出利润为W关于A型挖掘机台的函数关系式，根据函数的增减性确定得最大利润的方案即可。
46.（四川广元9分）某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装12件、B种服装8件，需
要资金1880元；若购进A种服装9件、B种服装10件，需要资金1810元．
(1)求A、B两种服装的进价分别为多少元？
(2)销售一件A服装可获利18元，销售一件B服装可获利30元．根据市场需求，服装店决定：购
进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，且A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装全部销售完毕后的总获利不少于699元．设购进B种服装件，那么
①请写出A、B两种服装全部销售完毕后的总获利元与件之间的函数关系式；
②请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？
【答案】解：（1）设A种型号服装每件元，B种型号服装每件元。
依题意可得，解得。
答：A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元。
（2）①设购进B种服装件，则购进A种服装的数量是2＋4，
∴=30＋（2＋4）×18=66＋72；
②设B型服装购进m件，则A型服装购进（2m+4）件，
根据题意得，解得9≤m≤12。
∵m是正整数，∴m=10，11，12，2m＋4=24，26，28。
当m=10时，=66×10＋72=732，
当m=11时，=66×11＋72=798，
当m=12时，=66×12＋72=864。
答：有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件。B型服装购进12件，A型服装购进28件获利最多。
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用。
【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A种型号服装9件，B种型号服装10件，需要1810元”和“A种型号服装12件，B种型号服装8件，需要1880元”，列方程组求解即可。
（2）①若设购进B种服装件，则购进A种服装的数量是2＋4，则=30＋（2＋4）×18。
②利用两个不等关系列不等式组，结合实际意义求解。
47.（四川凉山9分）我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会。现有A型、B型、C型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，
解答问题。
（1） 设A型汽车安排辆，B 型汽车安排辆，求与之间的函数关系式。
（2） 如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。
（3） 为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。
【答案】解：（1）根据题意得
化简得： 。
（2）由 ， 得 ，
解得 。
∵为正整数，∴，6，7。故车辆安排有三种方案，即：
方案一：A型车辆，B型车辆，C型车辆；
方案二：A型车辆，B型车辆，C型车辆；
方案三：A型车辆，BB型车辆，C型车辆 。
（3）设总运费为W元，则
。
∵W随的增大而增大，且，
∴当时，元。
答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）根据21辆汽车装运这三种土特产共120吨，列函数关系式。
（2）根据已知条件列出不等式组求解。
（3）求出总运费的函数关系式，根据一次函数的性质求解。
48.（四川达州7分）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运A种物资的车辆数为，装运B种物资的车辆数为．求与的函数关系式；
（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．
物资种类
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨所需运费（元/吨）
240
320
200
【答案】解：（1）根据题意，得：
，
即，，
∴。
（2）根据题意，得： 解之得：
∵取正整数，
∴5，6，7，8。
∴共有4种方案，即
A
B
C
方案一
5
10
5
方案二
6
8
6
方案三
7
6
7
方案四
8
4
8
（3）设总运费为M元，
则M=
即：M=
∵M是的一次函数，且M随增大而减小，
∴当=8时，M最小，最少为48640元。
【考点】一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】（1）根据题意列式：，变形后即可得到。
（2）根据装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，得，解不等式组即可。
（3）根据题意列出利润与之间的函数关系可发现是二次函数，利用二次函数的顶点公式即可求得最大值，根据实际意义可知整数=8时，利润最大。
49.（四川南充8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：
（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数解析式为：y=x+。
∵该函数图象过点（0，300），（500，200），
∴，解得，∴y=﹣x+300（x≥0）。
当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y=﹣×600+300=180（元/千度）。
（2）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：
W=my=m（﹣x+300）=[m﹣（10m+500）+300]=﹣2（m﹣50）2+5000。
由题意，m≤60，∴当m=50时，w最大=5000。
∴当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。
【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）把（0，300），（500，200）代入直线解析式可得一次函数解析式，把x=600代入函数解析式可得利润的值。
（2）利润=用电量×每千度电产生利润，结合该工厂每天用电量不超过60千度，得到利润的最值即可。
50.（辽宁朝阳12分）为迎接2011年中国国际旅游节，某宾馆将总面积为6 000平方米的房屋装修改造成普通客房(每间26平方米)和高级客房(每间36平方米)共100间及其他功能用房若干间，要求客房面积不低于总面积的50%，又不超过总面积的60%.
(1)求最多能改造成普通客房多少间．
(2)在(1)的情况下，旅游节期间，普通客房以每间每天100元的价格全部租出，高级客房每天租出的间数y(间)与其价格x(元/间)之间的关系如图所示．试问：该宾馆一天的最高客房收入能达到12 000元吗？若能，求出此时高级客房的价格；若不能，请说明理由．
【答案】解：(1)设改造成的普通客房为n间(n为正整数)，
则3 000≤26n＋36(100－n)≤3 600，
解此不等式组，得－600≤－10n≤0，0≤n≤60。
∴最多可改造成普通客房60间。
(2)由图象，得y与x之间的函数关系为y＝－x＋110。
由题意，设每天的客房收入为w元，
则w＝6000＋x＝－x2＋110x＋6000＝－(x－110)2＋12050。
∵高级客房租出的间数最多为40间，即－x＋110≤40，x≥140。
由二次函数的性质，知x＝140时，w有最大值为11600元。
∵11600＜12000，
∴ 该宾馆一天最高客房收入不能达到12000元。
【考点】一元一次不等式组和二次函数的应用，一次函数的图象，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的增减性。
【分析】（1）由已知条件列出不等式组求解即可。
（2）由图象中（160，30），（200，10），用待定系数法可求出y与x之间的函数关系。求出客房收入关于价格x的函数关系式，应用二次函数的增减性求出答案。
51.（重庆江津12分）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB=米，BC=米．（注：取 π=3.14）
（1）试用含的代数式表示；
（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于的函数关系式；
②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？
③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得，π+π=628，
∵3.14+3.14=628，∴+=200则=200﹣。
（2）①W=428+400π+400π，
=428（200﹣）+400×3.14×+400×3.14×
=2002﹣40000+12560000；
②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，
由①知W=200（﹣100）2+1.056×107＞107，所以不能。
③由题意可知：≤即x≤（200﹣），解之得≤80。
∴0≤≤80，
又由题意得：W=200（﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，
整理得（﹣100）2=441，
解得1=79，2=121（不合题意舍去），
∴只能取=79，则=200﹣79=121。
∴设计方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆。
【考点】二次函数的应用（工程问题），解一元一次不等式和一元二次方程。
【分析】（1）把组合图形惊醒分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可。
（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答。
②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论。
③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题。
52.（湖北宜昌11分）已知抛物线与直线=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣，m2﹣m+n），其中 ，，，m，n为实数，且，m不为 0．
（1）求的值；
（2）设抛物线与轴的两个交点是（1，0）和（2，0），求1▪2的值；
（3）当﹣1≤≤1时，设抛物线上与轴距离最大的点为P（0，0），求这时|0丨的最小值．
【答案】解：（1）∵（0，－）在上，∴ ，∴ ＝－。
（2）∵（0，－）在=m+n上，∴ n＝－。
∴抛物线与直线另一交点的坐标为（m﹣，m2﹣m－）
∵ 点（m﹣，m2﹣m+n）在上，
∴ m2－m＝（m－）2＋（m－），∴（－1）（m－）2＝0。
若（m－）＝0，则（m－， m2－m＋n）与（0，－）重合，与题意不合。
∴ ＝1。
∴抛物线，就是。
∵ △＝2－4＝2－4×（－）＞0，
∴抛物线与轴的两个交点的横坐标就是关于的方程的两个实数根，∴由根与系数的关系，得1▪2＝－。
（3）抛物线的对称轴为，最小值为。
设抛物线在轴上方与轴距离最大的点的纵坐标为H，在轴下方与轴距离最大的点的纵坐标为h。
①当<－1，即＞2时，
在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），∴｜H｜＝o＝＋＞。
在轴下方与轴距离最大的点是（－1，o），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－｜＝－＞。
∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜o｜的最小值大于。
② 当－1≤≤0，即0≤≤2时，
在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），∴｜H｜＝yo＝＋≥，当＝0时等号成立。
在轴下方与轴距离最大点的是 （，），∴｜h｜＝｜｜＝≥，当＝0时等号成立。
∴这时｜o｜的最小值等于。
③ 当0＜≤1，即－2≤＜0时,
在轴上方与轴距离最大的点是（－1，yo），
∴｜H｜＝yo＝｜1＋（－1）－｜＝｜－｜＝－＞。
在轴下方与轴距离最大的点是 （，），
∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞。
∴ 这 时 ｜o｜的 最 小 值 大 于 。
④ 当1＜，即＜－2时，
在轴上方与轴距离最大的点是（－1，o），∴｜H｜＝－＞。
在轴下方与轴距离最大的点是(1，o)，∴｜h｜＝｜＋｜＝－（＋）＞，
∴｜H｜＞｜h｜。
∴这时｜o｜的最小值大于。
综上所述，当＝0，0＝0时，这时｜o｜取最小值，为｜o｜＝。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）把点（0，﹣）代入抛物线可以求出的值。
（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣，然后把点（m﹣，m2﹣m+n）代入抛物线，整理后可确定的值，把，的值代入抛物线，当=0时由一元二次方程根与系数的关系可以求出1▪2的值。
（3）求出抛物线的顶点（，），分<－1，－1≤≤0，0＜≤1和1＜四种情况讨论，确定|0|的最小值。
53.（内蒙古乌兰察布16分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点。
(1）求 m的值；
( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；
( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）设反比例函数为，
把A(3，3)代入，得，∴。
∴反比例函数为。
∵B(6，m)在反比例函数上，∴。
（2）设正比例函数为，
把A(3，3)代入，得，∴。
∴正比例函数为。
设直线BD的解析式为，
∵直线BD过，∴，∴。
∴直线BD的解析式为。
在中，令，得，∴D()。
在中，令，得，∴C()。
设过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为，得
，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（3）假设存在E（）满足条件，
，
在中，令，解得，
∴E的坐标应满足，。
∵，
∴，即，
解得：。
∴，即。∴。
∵，∴。
∴。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，解一次方程组和一元一次方程。
【分析】
（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值。
（2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与轴、轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用
待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式。
（3）如图，利用（1）（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为，那么利用可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1是四边形OACD面积S的 即可列出关于的方
程，利用方程即可解决问题。
54.（四川自贡14分）已知抛物线有如下两个特点：①无论实数怎样变化，其顶点都在某一条直线上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线上．
(1)求出当实数变化时，抛物线的顶点所在直线的解析式；
(2)请找出在直线上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
(3)你能根据特点②的启示，对一般二次函数提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明。
【答案】解：(1)取，得抛物线，其顶点为。
取，得抛物线，其顶点为。
由题意有在直线上，设直线的解析式为，
则，解得：。
∴直线的解析式为。
(2)∵抛物线的顶点P坐标为，
显然P在直线上。
又能取到除0以外的所有实数，
∴在上仅有一点(0，3)不是该抛物线的顶点。
(3)猜想：对于抛物线，将其顶点的横坐标减少，纵坐标增加分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线上。证明如下：
∵抛物线的顶点坐标为（），
∴点A的坐标为，点B的坐标为。
∵时，。
∴点A在抛物线，
同理有B也在抛物线上，故结论成立。
【考点】二次函数综合题，二次函数的顶点坐标的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与议程的关系。
【分析】(1)任取两，求出顶点坐标，由待定系数法求出直线的解析式。
（2）求出的所有顶点坐标的表达式，证明它们都在直线上，由，得到直线上不是该抛物线顶点的点(0，3)。
（3）证明点A、B的坐标满足即可。
55.（贵州贵阳12分）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】解：（1）∵AD=（12﹣3x）÷3=4﹣x，
∴列方程：x（4﹣x）=3，即x2﹣4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米。
（2）∵AD=（12﹣4x）÷3=4﹣x，
∴S=。
∴当x=时，S最大=3。
答：当x=时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米。
（3）∵AD=（a﹣nx）÷3=，
∴S=。
∴当x=时，S最大=。
答：当x=时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是平方米。
【考点】一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】（1）先用含x的代数式（12﹣3x）÷3=4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值。
（2）用含x的代数式（12﹣4x）÷3=4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值。
（3）用含x的代数式（a﹣nx）÷3=表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值。
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